數(shù)字圖像處理：第08章 圖像變換

1、第8章圖像變換1 二維離散傅里葉變換（DFT）1.1 二維連續(xù)傅里葉變換二維連續(xù)函數(shù) f (x, y)的傅里葉變換定義如下：設 是獨立變量 的函數(shù)，且在 上絕對可積，則定義積分 為二維連續(xù)函數(shù) 的傅里葉變換，并定義 為 的反變換。 和 為傅里葉變換對。（8.1） （8.2） 【例】求函數(shù) 的傅里葉變換。 解：將函數(shù)代入到(8.1)式中，得 其幅度譜為二維信號的圖形表示圖8.1 二維信號f (x, y) （a）信號的頻譜圖 （b）圖（a）的灰度圖圖8.2 信號的頻譜圖 二維信號的頻譜圖1.2 二維離散傅里葉變換尺寸為MN的離散圖像函數(shù)的DFT 反變換可以通過對F(u,v) 求IDFT獲得 （8.

2、3） （8.4） （8.5） （8.6） 幅度譜：相位譜：DFT變換進行圖像處理時有如下特點：（1）直流成分為F(0,0)。（2）幅度譜|F(u,v)|對稱于原點。（3）圖像f (x, y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生了變化。 91.3 二維離散傅立葉變換的性質1. 線性性質：2. 比例性質：3. 可分離性：104. 空間位移：5. 頻率位移：圖像中心化：當u0=v0=N/2時，116. 周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN), f(x,y)=f(x+aN,y+bN)7. 共軛對稱性：8. 旋轉不變性：9. 平均值：1210. 卷積定理：f(x,y)*h(x,y) F(u,v

3、)H(u,v)f(x,y)h(x,y) F(u,v)*H(u,v)1周期性和共軛對稱性周期性和共軛對稱性來了許多方便。我們首先來看一維的情況。設有一矩形函數(shù)為,求出它的傅里葉變換： 幅度譜： （a）幅度譜 （b）原點平移后的幅度譜 圖8.4 頻譜圖 DFT取的區(qū)間是0,N-1，在這個區(qū)間內(nèi)頻譜是由兩個背靠背的半周期組成的 ，要顯示一個完整的周期，必須將變換的原點移至u=N/2點。根據(jù)定義，有 在進行DFT之前用(-1)x 乘以輸入的信號 f (x) ，可以在一個周期的變換中（u0，1，2，N1），求得一個完整的頻譜。（8.7） 推廣到二維情況。在進行傅里葉變換之前用(-1)x+y 乘以輸入的圖

4、像函數(shù)，則有： DFT的原點，即F(0,0)被設置在u=M/2和v=N/2上。(0,0)點的變換值為： 即 f (x,y) 的平均值。如果是一幅圖像，在原點的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級，也稱作頻率譜的直流成分。 （8.8） （8.9） （a）原始圖像 (b) 中心化前的頻譜圖 (c) 中心化后的頻譜圖圖8.5 圖像頻譜的中心化 2可分性離散傅里葉變換可以用可分離的形式表示 這里對于每個x值，當v0，1，2，N1時，該等式是完整的一維傅里葉變換。 （8.10） （8.11） 二維變換可以通過兩次一維變換來實現(xiàn)。同樣可以通過先求列變換再求行變換得到2D DFT。 圖8.6 二維DF

5、T變換方法可分離性舉例x方向FFT11001111201-j1+j21-j01+j-1-1-1-1w1y方向FFT1/43離散卷積定理設f(x,y)和g(x,y) 是大小分別為AB和CD的兩個數(shù)組，則它們的離散卷積定義為卷積定理 （8.12） （8.13） M和N的取值 （a）原始圖像 （b）圖像頻譜圖8.7 傅里葉變換4. 旋轉性當變量x，y，u，v都用極坐標表示時，即：則：若：此式含義是：當原圖像旋轉某一角度時，F(xiàn)T后的圖像也旋轉同一角度。旋轉性舉例：原圖像及其傅立葉幅度譜圖像原圖像旋轉45，其幅度譜圖像也旋轉45 5. 二維函數(shù)的相關定理若：則：空域頻域*共軛 乘積 相關 1.4 離散傅

6、立葉變換的矩陣表示目的:（1）用矩陣乘法的程序進行FT；（2）理論推導用。1. 一維DFT的矩陣表示根據(jù)定義:令:則:展開:令:正變換:反變換:(忽略1/N)2. 二維DFT的矩陣表示根據(jù)可分離性：令:忽略1/NFT：IFT：（忽略1/N）1.5 二維傅里葉變換的應用1.傅里葉變換在圖像濾波中的應用 首先，我們來看傅里葉變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。 因此，我們可以在傅里葉變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。2. 傅里葉變換在圖像壓縮中的應用 變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個頻率點上的幅值。在小波變換沒有提出時，用來進行壓縮編碼?？紤]到高頻反映細節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往

7、往認為可將高頻系數(shù)置為0，騙過人眼。傅里葉 變換示意圖傅里葉變換的頻率特性 傅里葉變換的低通濾波傅里葉變換的高通濾波傅里葉變換的壓縮原理壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1傅里葉變換的壓縮原理壓縮率為：8.1：1壓縮率為：10.77：1壓縮率為：16.1：13. 傅里葉變換在卷積中的應用: 從前面的圖像處理算法中知道，如果抽象來看，其實都可以認為是圖像信息經(jīng)過了濾波器的濾波（如：平滑濾波、銳化濾波等 ）。 如果濾波器的結構比較復雜時，直接進行時域中的卷積運算是不可思議的。2 二維離散余弦變換（DCT）任何實對稱函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項，余弦變換是傅里葉變換的特例，

8、余弦變換是簡化DFT的重要方法。2.1 一維離散余弦變換將一個信號通過對折延拓成實偶函數(shù)，然后進行傅里葉變換，我們就可用2N點的DFT來產(chǎn)生N點的DCT。 1以x=-1/2為對稱軸折疊原來的實序列f(n) 得： （8.14） -N-10N-1NN+1f (n)圖8.8 延拓示意圖 2以2N為周期將其周期延拓，其中f（0）f（1），f（N1）f（N） （8.15） （8.16） 3對0到2N1的2N個點的離散周期序列 作DFT，得令i2Nm1，則上式為 為了保證變換基的規(guī)范正交性，引入常量，定義：F(k)C(k) C(k)= （8.17） 其中（8.18） 3.2.2 二維離散余弦變換 （8.1

9、9） DCT逆變換為 【例】應用MATLAB實現(xiàn)圖像的DCT變換。 解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %讀入圖像 I=dct2(A); %對圖像作DCT變換 subplot(1,2,1),imshow(A); %顯示原圖像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I),0 5); （3.20） （a）原圖 （b）DCT系數(shù)圖8.10 離散余弦變換二維DCT的應用常用于信號和圖像處理，典型應用是對靜止圖像和運動圖像進行有損數(shù)據(jù)壓縮。JPEG, MJPEG和MPEG等標準中都使用了8*8塊的DCT變換，并將結果進行量化之后進行熵編碼。DCT具有

10、很強的能量集中在頻譜的低頻部分的特性。3 二維離散沃爾什-哈達瑪變換（DHT）前面的變換都是余弦型變換，基底函數(shù)選用的都是余弦型。圖像處理中還有許多變換常常選用方波信號或者它的變形。沃爾什（Walsh）變換。沃爾什函數(shù)是一組矩形波，其取值為1和-1，非常便于計算機運算。沃爾什函數(shù)有三種排列或編號方式，以哈達瑪排列最便于快速計算。采用哈達瑪排列的沃爾什函數(shù)進行的變換稱為沃爾什-哈達瑪變換，簡稱WHT或直稱哈達瑪變換。 3.1 哈達瑪變換哈達瑪矩陣：元素僅由1和1組成的正交方陣。正交方陣：指它的任意兩行（或兩列）都彼此正交，或者說它們對應元素之和為零。哈達瑪變換要求圖像的大小為N2n 。一維哈達瑪

11、變換核為 其中， 代表z的二進制表示的第k位值。（8.21） 一維哈達瑪正變換為 一維哈達瑪反變換為 二維哈達瑪正反變換為 （8.22） （8.23） （8.24） （8.25） 二維哈達瑪正、反變換也具有相同形式。正反變換都可通過兩個一維變換實現(xiàn)。高階哈達瑪矩陣可以通過如下方法求得：N8的哈達瑪矩陣為 （8.26） （8.27） 3.2 沃爾什變換哈達瑪變換矩陣，其列率的排列是無規(guī)則的。將無序的哈達瑪核進行列率的排序，之后得到的有序的變換就成為沃爾什（Walsh）變換。 一維Walsh變換核為 二維沃爾什正變換和反變換為（8.28） N8時的沃爾什變換核的值為 H8= （8.29） Wals

12、h函數(shù)Walw(i,t)N=8時的波形：規(guī)律：i是波形在正交區(qū)間內(nèi)的變號次數(shù)； 如:Walw(1,t)變號次數(shù)是1 列率：在正交區(qū)間內(nèi)波形變號次數(shù)的1/2稱為列率（Sequency)4. 三種排列的轉換關系三種排列的前8個Walsh函數(shù)之間的關系表WalH(i,t)Walw(i,t)Walp(i,t)WalH(0,t)Walw(0,t)Walp(0,t)WalH(1,t)Walw(7,t)Walp(4,t)WalH(2,t)Walw(3,t)Walp(2,t)WalH(3,t)Walw(4,t)Walp(6,t)WalH(4,t)Walw(1,t)Walp(1,t)WalH(5,t)Walw(

13、6,t)Walp(5,t)WalH(6,t)Walw(2,t)Walp(3,t)WalH(7,t)Walw(5,t)Walp(7,t)4 卡胡南-列夫變換（K-L變換）Kahunen-Loeve變換是在均方意義下的最佳變換。圖像的K-L變換就是求圖像協(xié)方差矩陣特征向量的問題。主分量分析（PCA）的算法依據(jù)優(yōu)點：能夠完全去除原信號中的相關性，因而具有非常重要的理論意義。缺點：基函數(shù)取決于待變換圖像的協(xié)方差矩陣，因而基函數(shù)的形式是不定的，且計算量很大。5 二維離散小波變換一種窗口大小固定，但形狀可改變，因而能滿足時頻局部化分析的要求的變換。 5.1 連續(xù)小波變換設 且 ，按如下方式生成的函數(shù)族 稱

14、為分析小波或連續(xù)小波。 稱為基本小波或母波a稱為伸縮因子，b為平移因子。（8.30） 5.2 離散小波變換把連續(xù)小波變換離散化更有利于實際應用。對a和b按如下規(guī)律取樣： 其中， ； ； ，得離散小波： 離散小波變換和逆變換為 （8.31） （8.32） （8.33） 5.3 快速小波變換算法【例】應用MATLAB實現(xiàn)小波變換的例子。解：MATLAB程序如下：X=imread(pout.tif); %讀入圖像imshow(X);cA1,cH1,cV1,cD1 = dwt2(X,bior3.7); %進行二維小波變換A1 = upcoef2(a,cA1,bior3.7,1); H1 = upcoef2(h,cH1,bior3.7,1);V1 = upcoef2(v,cV1,bior3.7,1);D1 = upcoef2(d,cD1,bior3.7,1);subplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,192);title(Approximation A1)subplot(2,2,2); image(wcodemat(H