高等數(shù)學(xué)公式(專升本)

1、 江蘇省專轉(zhuǎn)本考試?高等數(shù)學(xué)?復(fù)習(xí)指導(dǎo) (二)倒數(shù)關(guān)系 (三)平方關(guān)系 (四) 二倍角公式 五 數(shù)列的公式(一)等差數(shù)列12幾個常見等差數(shù)列的和123 (二) 等比數(shù)列12幾個常見等比數(shù)列的和1234注: 這幾個公式在級數(shù)中會用到,尤其是級數(shù)的間接展開法.六幾個常見裂項公式 七球的公式 八扇形公式 第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)第一局部根本內(nèi)容一函數(shù)的根本概念 兩個要素：定義域與對應(yīng)法那么二 六類根本初等函數(shù) 三 函數(shù)的四個幾何性態(tài)(一)奇偶性 假設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，對于任意，有 顯然，假設(shè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，那么其一定是非奇非偶函數(shù)(二)周期性通常指最小正周期(三)單調(diào)性(四)有界

2、性 對于任意，存在，使得成立，那么稱為區(qū)間上的有界函數(shù)四 關(guān)于復(fù)合函數(shù) 1. 由 復(fù)合而成 2. 由 復(fù)合而成 分解的根本原那么：由外到內(nèi)，層層分解，每步都是根本初等函數(shù)或類似根本初等函數(shù)簡單函數(shù) 五初等函數(shù) 由根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么運算或復(fù)合，并且能用一個式子表示的函數(shù)我們研究的函數(shù)都是初等函數(shù)六關(guān)于極限問題描述性定義 注意：極限記為的情況，屬于極限不存在的情況七數(shù)列的三個特性 注意：邏輯關(guān)系1. 收斂數(shù)列一定有界，有界數(shù)列不一定收斂2. 無界數(shù)列一定發(fā)散，發(fā)散數(shù)列不一定無界3. 單調(diào)有界數(shù)列必收斂八兩類重要極限及其推廣 兩類重要極限 推廣： 注意：利用等價無窮小的近似代換在求極限時，

3、主要用于乘除運算，一般不用于加減運算 例如，當(dāng)時，以下近似代換經(jīng)常用到 ， 變形形式如： 另外，以下公式求極限時也經(jīng)常用到 此結(jié)論可以作為公式使用.九 無窮大量與無窮小量 注意：不能孤立地說一個函數(shù)是無窮大還是無窮小，它離不開自變量的變化趨勢十 關(guān)于無窮小的性質(zhì)與定理 十一關(guān)于無窮小的階的比擬設(shè)，都是在自變量的同一趨勢下的無窮小(1) 如果=0，那么稱是比高階的無窮小，記作0(2) 如果=，那么稱是比低階的無窮小.(3) 如果=，那么稱與同階無窮小，特別是如果，那么稱 與是等價無窮小，記作十二夾逼定理定理 如果, ,滿足以下兩個條件(1) 對于的某一空心鄰域內(nèi)的一切有成立，(2) 那么有十三關(guān)

4、于連續(xù)與間斷點定義1 如果函數(shù)=()在點滿足(1) 在點的某鄰域內(nèi)有定義含點(2) 存在(3) 那么稱函數(shù)=在點處連續(xù)，否那么稱函數(shù)在點處間斷.剖析：同時滿足三個條件，缺一不可 (1) 有定義，存在(2) 有極限，存在(3) 極限值=函數(shù)值，定義2 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果有 成立，那么稱函數(shù)在處連續(xù).十四間斷點及其分類 前提：是間斷點 第一類間斷點 第二類間斷點十五閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理 (最值定理) 在閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.在區(qū)間(0,1)內(nèi)連續(xù)，但在開區(qū)間(0,1)內(nèi)既無最大值也無最小值. 推論 假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上有界. 定理

5、(介值定理) 假設(shè)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，那么它在a,b內(nèi)能取得介于其最小值和最大值之間的任何數(shù). 定理 (零點定理) 設(shè)函數(shù)在a,b上連續(xù)，且與異號，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得. 這一定理說明，假設(shè)閉區(qū)間a,b上的連續(xù)曲線在端點處的函數(shù)值異號，那么該連續(xù)曲線與軸至少有一個交點. 注:要證明根的唯一性時，要用到函數(shù)的單調(diào)性 說明：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖像，象山的輪廓線一樣，上下起伏、連綿不斷，有波峰最大值，也有波谷最小值 第二局部 典型例題專題一：關(guān)于函數(shù)值及表達式，求 答案：2. 假設(shè)，求 答案：3. 假設(shè)，求 答案： ，求的表達式 答案：5. 假設(shè)，求 ， 答案：，6. 假設(shè)

6、可微，且，求 答案：7. 假設(shè)，求 答案：8. 假設(shè)存在，且，求 答案： 9. 假設(shè)，求 答案： 10. 設(shè)，求 答案： 專題二：關(guān)于奇偶性及應(yīng)用 11.判斷以下函數(shù)的奇偶性 答案：奇函數(shù) 答案：奇函數(shù)答案：奇函數(shù)答案：是偶函數(shù) 答案：是奇函數(shù)12. 求以下定積分 答案：，專題三：關(guān)于極限問題13. 求以下極限答案： 答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：14. 設(shè)，求的值答案：15. 設(shè)，求的值答案：16. 設(shè)，求的值答案：專題四：關(guān)于連續(xù)與間斷問題 答案:第一類(可去)間斷點 答案:第一類(跳躍)間斷點 答案: 第二類間斷點 答案: 第二類間斷點 答案: 第一類(跳躍)間斷

7、點 答案: 第一類(可去)間斷點; 第二類間斷點. 18. 判斷函數(shù)的連續(xù)性 答案: 時處處連續(xù),否那么其余點連續(xù),而在處不連續(xù).19. 假設(shè)函數(shù)在處連續(xù),求的值. 答案: 20. 假設(shè)函數(shù)在處連續(xù),求的值. 答案: 專題五：無窮小與無窮大 21.以下函數(shù)何時為無窮小, 何時為無窮大? 答案: 答案: 答案: 答案: 專題六：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 22.證明:假設(shè)在區(qū)間上連續(xù),那么在內(nèi)至少有一點,使 23. 證明:方程(1) 在內(nèi)至少有一根(2) 在內(nèi)有且僅有一根 24. 證明:方程在內(nèi)有且僅有一根在閉區(qū)間上連續(xù),且, 為任意正常數(shù),求證在內(nèi)至少有一點,使等式成立. 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分第一局

8、部根本內(nèi)容一導(dǎo)數(shù)定義函數(shù) 的某鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)極限存在，那么稱函數(shù)在該點可導(dǎo),二導(dǎo)數(shù)的兩種形式(1)增量式(2)兩點式三導(dǎo)數(shù)的幾何意義 () (1)切線方程 (2) 法線方程 四左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)1左導(dǎo)數(shù)2右導(dǎo)數(shù) 注意邏輯關(guān)系：五導(dǎo)數(shù)的運算法那么 推論 推論六導(dǎo)數(shù)的根本公式 常見 七微分的概念1. 假設(shè)，那么記 微分，其中，又， 那么微分 2.微分的幾何意義：表示曲線上點處的切線的縱坐標(biāo)的增量.八微分的運算法那么 推論: 九微分的根本公式 上述公式可以左右互換，這個就是后面經(jīng)常要用到的湊微分公式，這里提前掌握，有利于后面不定積分的學(xué)習(xí)十常見湊微分公式 常用 ， 十一隱函數(shù)的求導(dǎo)的三種方法 方法一

9、：將隱函數(shù)化為顯函數(shù)一般很困難 方法二：方程兩邊同時對求導(dǎo)數(shù) 始終將看成的函數(shù)，對含有的函數(shù)求導(dǎo)時必有 方法三：方程兩邊同時求微分 最后合并同類項，求出即可 十二對數(shù)求導(dǎo)法 適用對象：(1)冪指函數(shù)(2)函數(shù)的連乘、連除、乘方、開方的形式步驟：(1)兩邊同時取自然對數(shù)顯函數(shù)變成隱函數(shù) (2)兩邊同時對求導(dǎo)十三參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo) 十四復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒敲?根本方法：由外到內(nèi)，層層分解，層層求導(dǎo)，逐個相乘 ，由復(fù)合而成 ，由復(fù)合而成 注：復(fù)合函數(shù)的微分形式的不變性注：求復(fù)合函數(shù)的微分既可以按照微分的定義求，也可以按照微分形式不變性求 十五高階導(dǎo)數(shù) 例如：， 注：顯函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)往往要用

10、到歸納的方法，建立與的關(guān)系 十六微分在近似計算中的應(yīng)用 因為時，所以 特別，當(dāng)時，有 第二局部 典型例題專題一：關(guān)于導(dǎo)數(shù)值，求 答案：2. 假設(shè)，按定義求 答案： 3. 假設(shè)，求 答案：在處連續(xù)，且，求 答案：5. 假設(shè)，求 答案：6. 假設(shè)為偶函數(shù)，且在處可導(dǎo)，求證專題二：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 7.答案： 答案：答案：，求答案：可導(dǎo)，求答案：專題三：對數(shù)求導(dǎo)法8. 答案： 答案： 答案： 答案：專題四：隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo) 9. 答案： ,答案：， 答案： 10. 答案： 答案： 專題五：高階導(dǎo)數(shù) 11. ,求 答案： 求 答案： ，求 答案： ，求 答案：專題六：導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1

11、2.求證曲線 上任意點處的切線與軸，軸所圍的三角形的面積為2 13.求證拋物線 上任意點處的切線在兩個坐標(biāo)軸上的截距之和為 14.求曲線 上經(jīng)過點處的切線方程 答案： 15.求曲線 上在處的法線方程 答案：由方程確定，求曲線在點處的切線方程 答案：在點與直線相切，求的值 答案：與的交點為，且在此點處有公共切線，求的值 答案：專題七：關(guān)于分段函數(shù)在點處的連續(xù)性與可導(dǎo)性. 答案:連續(xù)但不可導(dǎo)在點處的連續(xù)性與可導(dǎo)性. 答案:連續(xù)且可導(dǎo),問當(dāng)為何值時,該函數(shù)在點處 (1)連續(xù); (2)可導(dǎo); (3)導(dǎo)函數(shù)連續(xù) 答案:(1); (2) ; (3) 在處可導(dǎo),求的值. 答案: ,求. 答案: 專題八：關(guān)于

12、微分在近似計算中的應(yīng)用 24.(1)求的近似值 答案:(1) (2)求的近似值 答案:(2) 25.證明:當(dāng)時, 第3章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第一局部 根本內(nèi)容一微分中值定理及其推論 1羅爾定理 如果函數(shù)滿足以下條件(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3)在區(qū)間的兩個端點處的函數(shù)值相等，即那么至少存在一點，使得2拉格朗日定理 如果函數(shù)滿足以下條件(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；2在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；那么至少存在一點，使得3柯西定理 如果函數(shù)與滿足以下條件在閉區(qū)間上連續(xù)；2在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并且在內(nèi)每一點處均有，那么至少存在一點，使得推論1 假設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可微，且，那么在內(nèi)是一個常數(shù)推論2 假設(shè)函數(shù)和在內(nèi)

13、每一點的導(dǎo)數(shù)與都相等，那么這兩個函數(shù)在內(nèi)僅僅相差一個常數(shù)二羅必塔法那么適用對象：未定式型與型定理 如果函數(shù)和滿足 (1) ； (2)在點及其附近可導(dǎo),且； (3) ， 那么 注：條件成立，羅必塔法那么可以屢次使用型和型可以轉(zhuǎn)化為型或型三單調(diào)性及其判斷(1) 定理 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)： 1假設(shè)在內(nèi)，那么在內(nèi)是單調(diào)增加的；2假設(shè)在內(nèi)，那么在內(nèi)是單調(diào)減少的； (2) 單調(diào)區(qū)間的分界點只有兩類 四函數(shù)的極值1函數(shù)的極大值與極小值定義 如果函數(shù)在點及附近有定義，對于近旁除點外的所有，滿足 1,那么稱為函數(shù)的一個極大值，稱為函數(shù)的極大值點 2,那么稱為函數(shù)的一個極小值，稱為函數(shù)的極小值點定理1 極值的必

14、要條件 設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，且在點處取得極值，那么必有定理2 極值判別法1 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且為函數(shù)的極值嫌疑點，那么在該鄰域內(nèi) 1當(dāng)時，而當(dāng)時，那么為函數(shù)的極大值，為極大值點 2當(dāng)時，而當(dāng)時，那么為函數(shù)的極小值，為極小值點 3當(dāng)與時，不變號，那么不是函數(shù)的極值，不是極值點定理3 極值判別法2 設(shè)函數(shù)在點處具有二階導(dǎo)數(shù)，且 1假設(shè)，那么為函數(shù)的極大值，為極大值點 2假設(shè)，那么為函數(shù)的極小值，為極小值點(2) 極值嫌疑點兩類 (3) 邏輯關(guān)系 可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是駐點； 駐點不一定是極值點； 函數(shù)的極值點要么是駐點，要么是一階不可導(dǎo)點五函數(shù)的最值 1定義 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，如果存在點

15、，使得對于任意，都有 1,那么稱為函數(shù)在區(qū)間上的最大值，稱為函數(shù)的最大值點 2,那么稱為函數(shù)在區(qū)間上的最小值，稱為 函數(shù)的最小值點最大值與最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點與最小值點統(tǒng)稱為最值點2最值的求法 設(shè)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的四個極值嫌疑點，在上的最大值記為，最小值記為，那么有成立六曲線的凹凸性與拐點 1. 定義 如果在某個區(qū)間內(nèi)1曲線弧總位于其上任一點的切線的上方，那么稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是凹的；2曲線弧總位于其上任一點的切線的下方，那么稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是凸的；3曲線的 凹與凸或凸與凹的分界點，稱為曲線的拐點 2. 凹凸性判定定理定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù) 1如果在內(nèi)，那么曲線在內(nèi)是凹的； 2

16、如果在內(nèi)，那么曲線在內(nèi)是凸的；七曲線的漸近線(1) 水平漸近線假設(shè)，或，那么稱直線為曲線的水平漸近線(2) 垂直漸近線假設(shè)，或，或，那么稱直線 為曲線的垂直漸近線 第二局部 典型例題專題一：不等式的證明 例1 證明以下不等式 專題二：等式的證明例2 設(shè)，證明多項式在內(nèi)有一個零點例3 設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)至少存在一點，使專題三：關(guān)于羅必塔法那么 例4 求以下極限 答案： 答案： 答案： 答案： 答案：答案：答案： 答案： 答案： 答案： 專題四：關(guān)于極值與最值例5 求的最大值 答案：例6 求在區(qū)間上的最值 答案：例7 求函數(shù)在上的最大值和最小值 答案： 例8 甲船以每小時20海里的速

17、度向東行駛，同一時間乙船在甲船正北82海里處以每小時16海里的速度向南行駛，問經(jīng)過多少時間兩船距離最近？ 答案：例9 某廠每批生產(chǎn)某種商品單位的費用為 得到的收益是問每批生產(chǎn)多少單位時才能使利潤最大？答案：例10 從一塊半徑為的圓鐵片上挖去一個扇形做成一個漏斗，問留下的中心角取多大時，做成的漏斗的容積最大？并求最大容積答案：例11 一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)月租金為1000元時,公寓會全部租出去,當(dāng)月租金每增加50元時,就會多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費100元的維修費,試問房租定為多少時,可獲得最大收入. 答案：元 例12 都是函數(shù)的極值點,求的值 答案：專題五：關(guān)于凹

18、凸性與拐點例13 求曲線 的拐點 答案：例14 求曲線 的凹凸區(qū)間 答案：例15 曲線在點處具有水平切線,且點為該曲線的拐點，求的值及曲線方程 答案：專題六：關(guān)于曲線的漸近線 例16 求以下曲線的漸近線 答案：直線為水平漸近線；無垂直漸近線 答案：直線為水平漸近線；為垂直漸近線 答案：直線為水平漸近線；為垂直漸近線 答案：直線為水平漸近線；無垂直漸近線第4、5章 不定積分和定積分第一局部 根本內(nèi)容一兩個定義定義1 原函數(shù) 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間I上有定義，如果存在函數(shù)，對于該區(qū)間上任一點,都有，那么稱函數(shù)是在該區(qū)間上的一個原函數(shù)注：假設(shè)函數(shù)存在原函數(shù)，那么其原函數(shù)有無數(shù)多個，相互之間僅僅相差一個常數(shù)原

19、函數(shù)的全體記作定義2 不定積分假設(shè)是在區(qū)間I上的一個原函數(shù),那么C為任意常數(shù)稱為在該區(qū)間上的不定積分，記為注：求不定積分即求原函數(shù)的全體二不定積分的根本性質(zhì)微分法與積分法互為逆運算口訣：先積后導(dǎo)微，形式不變 口訣：先導(dǎo)微后積，差個常數(shù)三不定積分的根本公式 四第一類換元積分法 定理1第一類換元積分法 技巧：從被積函數(shù)中選擇一個函數(shù)湊成微分形式后，這時前面的被積函數(shù)要同時化成的函數(shù)或者其本身，實現(xiàn)前后一致這時就可以直接應(yīng)用不定積分的根本公式常見的湊微分的公式要求熟練掌握，實際上這些公式就是將微分公式反過來，左右互換被積函數(shù)是商時，一般要變成乘積，這樣容易湊微分 五第二類換元積分法 定理2第二類換元

20、積分法簡單根式代換將無理式化成有理式三角代換將無理式化成有理式六分部積分法 適用對象：被積函數(shù)是兩種或者兩種以上不同類型的函數(shù)的乘積的形式技巧：(1)首先要通過湊微分化成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后應(yīng)用公式 (2)含有冪函數(shù)時,一般不選擇冪函數(shù)湊微分,因為冪函數(shù)湊微分后, 形式上次數(shù)升高了,問題變的更復(fù)雜了例如冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或者與三角函數(shù)相乘時(3)當(dāng)且僅當(dāng)冪函數(shù)與反三角函數(shù)或者與對數(shù)函數(shù)相乘時,只能選擇冪函數(shù)湊微分(4)有時湊微分比擬自由,如指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)相乘時 微積分的根本公式牛頓萊布尼茲公式定理：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，是在區(qū)間上任一原函數(shù)，那么 七 定積分的換元積分法 定理：假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)

21、，函數(shù)在區(qū)間上單值且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),當(dāng)在(或者)上變化時，的值在上變化，且 或者 那么 或 注：應(yīng)用定積分的換元積分法時，換元必?fù)Q限，上限對上限，下限對下限；只管對應(yīng)關(guān)系，不管大小關(guān)系 性質(zhì)：八定積分的分部積分法 九分式函數(shù)不定積分的三種常用方法 方法一：湊因子法常數(shù)因子或者函數(shù)因子 方法二：裂項法 方法三：湊微分法即第一類換元積分法十三角函數(shù)的不定積分遇到三角函數(shù)的高次冪，根本方法是降冪，有兩種方法降冪方法一：正弦和余弦的二次冪，用二倍角公式方法二：通過湊微分降冪十一原函數(shù)存在定理 定理：假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，那么變上限定積分在上可導(dǎo)，且即假設(shè)函數(shù)，那么 推論：假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，都可微，記 ，那么

22、有 第二局部典型例題 專題一：分式函數(shù)的不定積分 答案： 專題二：三角函數(shù)的不定積分 答案： 專題三：分部積分 答案： 專題四：分部積分法中重復(fù)出現(xiàn)的問題 答案： 專題五：分段函數(shù)的定積分答案： 專題六：其他定積分 答案： 專題七：抽象函數(shù)定積分 1假設(shè) ，求 答案： 2假設(shè)是 的一個原函數(shù)，求 答案：3假設(shè) ，求 答案：專題八：變上限定積分 1求極限 答案： 2求極限 答案： 3設(shè) 答案： 4設(shè) 答案： 5設(shè) 答案： 6設(shè) 答案： 7設(shè) 答案： 8求 的極值 答案：為極小值 9討論曲線在區(qū)間上的單調(diào)性和凹凸性 答案：單調(diào)增加，凸 專題九：證明題 1設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明的值與無關(guān)，即證

23、明 2(1)假設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且為奇函數(shù)，證明 是偶函數(shù) (2)假設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且為偶函數(shù)，證明 是奇函數(shù) 3設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 ，證明在內(nèi)有 4在上連續(xù)，那么方程在內(nèi)有且僅有一個實根 5設(shè)在上連續(xù)，證明， 并計算答案：第6章 定積分的應(yīng)用第一局部 根本內(nèi)容一微元法 (1)面積元素 ；(2體積元素 ；二面積問題 (1)連續(xù)曲線，直線與軸所圍圖形的面積. (2) 曲線與曲線，直線所圍平面的面積 (3)連續(xù)曲線，直線與軸所圍平面的面積為 (4)曲線與曲線，直線所圍平面的面為注： 從理論上講，一個平面圖形既可以選擇以為積分變量，也可以選擇以為積分變量只不過可能一個計算簡單，一個計算復(fù)雜一般而言，

24、假設(shè)有兩條直線垂直于軸，那么選擇為積分變量有時，為了計算方便，還要對圖形進行分割三體積問題旋轉(zhuǎn)體體積 (1) 曲線與直線所圍曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為： (2) 曲線與直線所圍曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積 四平均值 連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均值 第二局部 典型例題專題一：面積問題求拋物線及其在點和處的切線所圍成的圖形的面積答案：求拋物線與直線所圍平面圖形的面積兩種方法 答案：求拋物線與直線所圍平面圖形的面積兩種方法答案：求曲線與直線所圍平面圖形的面積兩種方法答案：求曲線在軸上介于兩極值點間曲邊梯形的面積答案：由曲線與軸圍成的區(qū)域被曲線分為面積相等的兩局部，求 的值答案：設(shè)函數(shù)由

25、方程確定，求曲線在點的法線和曲線所圍圖形的面積 答案：及其在點和處的切線所圍圖形的面積 答案：和所圍圖形的面積答案：10曲線與直線所圍圖形的面積為，求參數(shù)的值 答案：專題二：體積問題11求曲線在處的切線與曲線及所圍平面繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積答案： 12求由曲線及軸，軸在第一象限所圍區(qū)域的面積及此區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積答案： 13曲線 與所圍成的兩個圖形中較小的一塊繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積答案： 14求圓分別繞軸，軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積答案： 15求曲線與直線所圍圖形分別繞軸，軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積答案： 16求曲線與所圍圖形分別繞軸，軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積答案：

26、17由曲線與直線及所圍平面圖形分別繞軸，軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積答案：18求曲線與直線以及軸所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積答案：專題三：平均值問題19. 求函數(shù)在上的平均值 答案： 20. 求函數(shù)在上的平均值 答案： 第7章 常微分方程第一局部 根本內(nèi)容一根本概念 1微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，叫微分方程未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程叫常微分方程，我們在本書中研究的都是常微分方程2 微分方程的階：微分方程中所含未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) 3微分方程的解：代入微分方程后滿足微分方程的函數(shù)4微分方程的通解：含有任意常數(shù)，常數(shù)的個數(shù)與階數(shù)相等，且相互之間不能合并的解5微分方程的特

27、解：確定了任意常數(shù)的解6初始條件：用來確定任意常數(shù)的條件一階微分方程的初始條件：二階微分方程的初始條件：7初值問題：求特解的問題二可別離變量的微分方程形如的方程，其中分別是的連續(xù)函數(shù)，分析解法：(1)別離變量 (2)兩邊同時取不定積分注：我們做個約定，積分后出現(xiàn)絕對值，去掉絕對值，如，本來，在微分方程中， 三 一階線性微分方程 形如的方程，其中是的連續(xù)函數(shù)(1) ，一階線性齊次微分方程 本質(zhì)：可別離變量的方程 通解： (2) ，一階線性非齊次微分方程 應(yīng)用常數(shù)變易法，得 通解： 四一階微分方程的應(yīng)用人口問題等增長模型 1 馬爾薩斯人口模型，表示人口 2 邏輯斯蒂人口模型，表示人口， 表示人口飽

28、和值 (3) 細(xì)胞問題解為 (4) 衰變問題 所求微分方程的特解為 (5) 降落傘問題 ， 特解為 五齊次方程 形如 的方程分析：令得，代入原方程，有 別離變量，可得，這是一個可別離變量的方程，解出即可，最后要將復(fù)原 六形如方程 分析：令得，代入原方程，有 別離變量，可得， 這是一個可別離變量的微分方程七可降階的二階微分方程(1).型 分析：逐次積分，逐次降階，總計次積分(2).型分析：微分方程中不顯含未知函數(shù)，假設(shè)令， 那么，問題得以簡化(3).型 分析:不顯含自變量，仍然是的函數(shù)，令那么 ，得到，這是一個一階微分方程八二階常系數(shù)線性齊次方程形如 的方程，其中均為常數(shù)的方程，叫二階常系數(shù)線性

29、齊次方程特征方程：九二階常系數(shù)線性非齊次方程 (1)型 特解 (2)型 特解 (3) 型 特解 注：解的結(jié)構(gòu)非齊次的通解=齊次通解+非齊次的一個特解第二局部 典型例題專題一:可別離變量的微分方程 例1 解以下方程 答案: 答案: 答案: 例2 求以下初值問題 答案: 答案: 答案: 答案: 專題二:齊次方程 例3 解以下方程 答案: 答案: 答案: 專題三:形如型的方程 例4 解以下方程 答案: 答案: 專題四:一階線性微分方程 例5 解以下方程 答案: 答案: 答案: 例6 求以下初值問題 答案: 答案: 專題五:可降階的高階微分方程 例7 解以下方程 答案: 答案: 答案: 例8 求初值問

30、題 答案: 專題六:二階常系數(shù)線性微分方程 例9 解以下方程 答案: 答案: 答案: 答案: 例10 求以下方程的一個特解 答案: 答案: 第8章 空間解析幾何與向量代數(shù) 第一局部 根本內(nèi)容行列式的計算二階和三階 1. 二階行列式 2. 三階行列式 方法一對角線法方法二按照任意行或者列展開，其中表示元素的代數(shù)余子式，表示元素的余子式， 二 方程組的解與行列式的關(guān)系 1. 二元一次方程組 ，解為 2. 三元一次方程組 ，解為三八個卦限的點的坐標(biāo)情況 一二三四五六七八X坐標(biāo)+-+-Y坐標(biāo)+-+-+Z坐標(biāo)+- 四關(guān)于對稱性問題(點)五關(guān)于距離問題(點) 六向量的根本概念1既有大小，又有方向的量稱為向

31、量矢量如力、位移、速度、加速度2向量的模向量的大小長度3單位向量模為1的向量4零向量模為0的向量5自由向量能夠平行移動的向量6與同向的單位向量7向量的表示一般用表示，表示向量的起點，表示其終點；或者用黑體字母表示8平行向量假設(shè)兩個非零向量的方向一致或相反，稱它們?yōu)槠叫邢蛄?負(fù)向量把模相等方向相反的向量稱為原向量的負(fù)向量10相等向量假設(shè)兩個向量的模相等，方向相同，那么稱它們?yōu)橄嗟认蛄?1向量的兩個要素大小和方向七向量的模 1，那么 2，那么八方向角與方向余弦 定義:向量與三個坐標(biāo)軸的正方向的夾角， 方向余弦 (1) 2 3 注恒等式，應(yīng)用比擬廣泛，知其二必知其三 反過來，我們可以根據(jù)模和方向余弦

32、求坐標(biāo)十平面方程的三種形式(1)點法式方程設(shè)平面上任一點的坐標(biāo)，假設(shè)要點在該平面上，那么，由數(shù)量積的性質(zhì)，兩個向量垂直的充要條件是 ； 即 稱上式為平面的點法式方程(2)一般式方程 (3)截距式方程 平面經(jīng)過點 注三種形式的平面方程是可以互相轉(zhuǎn)化的十一特殊的平面的一般式方程 ； 不同時為零，稱上式為平面的一般式方程平面的一般方程的特點(1)當(dāng)時，平面過原點(2)當(dāng)時，平面平行于軸;當(dāng)時，平面平行于軸;當(dāng)時平面平行于軸(3)當(dāng)時，平面平行于面，或者說平面與軸垂直當(dāng)時，平面平行面，垂直于軸當(dāng)時，平面平行面，垂直于軸4當(dāng)時，平面為面當(dāng)時，平面為面當(dāng)時，平面為面小結(jié)平面平行于哪個軸，那么那個軸所對應(yīng)變

33、量的系數(shù)為零 十二三個坐標(biāo)面的方程 十三 兩平面夾角兩平面的法向量的夾角稱為兩平面的夾角設(shè)平面；法向量分別為 ，那么 十四平面的特殊位置關(guān)系1 ；23 十五直線方程的三種形式1點向式方程標(biāo)準(zhǔn)式，對稱式設(shè)直線過定點，直線的方向為， 令是直線上任一點，那么，故有 ； 上式稱為直線方程的點向式方程 設(shè)上式的比值為t，那么有 2參數(shù)式方程 為參數(shù) 這樣，空間直線上動點的坐標(biāo)、就都表示為變量t的函數(shù)形如上式的方程稱為直線的參數(shù)方程，其中t為參數(shù)一般式方程交面式 十六兩直線間的夾角 兩直線的方向向量間的夾角稱為兩直線的夾角 設(shè)兩直線的方程為 ，方向向量 ； ，方向向量；為的夾角，那么有 十七直線的特殊位置

34、關(guān)系1；2兩直線平行的充要條件是 3兩直線重合的充要條件是 十八平面與直線的特殊位置關(guān)系12(3) 十九常見的二次曲面及其方程 1.球面方程到定點距離為常數(shù)的點的軌跡兩個要素球心和半徑(1)為球心，為半徑 (2)為球心，為半徑 2.母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程1準(zhǔn)線定曲線 2母線動直線常見柱面方程1圓柱面 2橢圓柱面 3拋物柱面 3.以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程 小結(jié)旋轉(zhuǎn)曲面的方程1 繞X軸旋轉(zhuǎn) ； 繞Y軸旋轉(zhuǎn) 2 繞X軸旋轉(zhuǎn) ； 繞Z軸旋轉(zhuǎn) 3 繞Y軸旋轉(zhuǎn) ； 繞Z軸旋轉(zhuǎn) 注繞哪個軸旋轉(zhuǎn)，那個軸所對應(yīng)的變量不變，剩下的變量變成其他兩個變量的平方根二十常見二次曲面方程及其名稱(1) (圓錐面

35、)(2) 旋轉(zhuǎn)拋物面(3) (橢球面)(4) (旋轉(zhuǎn)橢球面)(5) 雙曲拋物面，馬鞍面注如何判斷一個曲面是否是旋轉(zhuǎn)的二次曲面，哪個軸是旋轉(zhuǎn)軸？答假設(shè)有兩個變量的二次項系數(shù)相等，那么是旋轉(zhuǎn)的二次曲面；系數(shù)不相等的系數(shù)所對應(yīng)的變量的軸是旋轉(zhuǎn)軸二十一空間曲線的方程1. 空間曲線的一般方程 2. 空間曲線的參數(shù)方程，二十二空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 曲面消元 投影柱面 投影柱面與平面相交投影曲線第二局部 典型例題專題一關(guān)于曲面名稱的判斷 1. 以下曲面表示柱面的是 C 2. ( A )3. 在空間坐標(biāo)系下，以下為平面方程的是 ( D )的是 ( C )5. 繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得曲面是 ( c ) 專題二關(guān)

36、于位置關(guān)系 ( D ) 且垂直于平面的直線方程為 ( D ) 滿足 ( B ) 專題三關(guān)于數(shù)量積和向量積及應(yīng)用 5 11設(shè)那么1 12均為單位向量，且，那么以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為13向量，那么垂直于，且同時垂直于軸的單位向量等于 C 專題四關(guān)于平面和直線的方程,且過直線的平面方程 答案： ( 15求過點M且與二平面都平行的直線方程 答案：()16求過點且垂直于直線的平面方程 答案：17直線的標(biāo)準(zhǔn)型方程是 C 專題五關(guān)于距離問題到平面的距離答案：到平面的距離答案：第9章 多元函數(shù)微分學(xué) 第一局部 根本內(nèi)容一 多元函數(shù) 設(shè)是平面上的一個點集，如果對于每個點，變量按照一定的法那么總有確定的

37、值與它對應(yīng)，那么稱是變量的二元函數(shù)，記為或記為2.二元函數(shù)的極限略 3. 二元函數(shù)的連續(xù)性 (1) (2),其中二偏導(dǎo)數(shù)1.定義偏增量 2. 定義偏導(dǎo)數(shù) 注:二元多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和一元函數(shù)的本質(zhì)是一樣的，都是增量的比值的極限所以二元多元函數(shù)的求導(dǎo)沒有新的求導(dǎo)公式和法那么對求導(dǎo)時，是常數(shù)；對求導(dǎo)時，是常數(shù)；所以二元多元函數(shù)的求偏導(dǎo)數(shù)，與一元函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)是一樣的3. 高階偏導(dǎo)數(shù) 其中稱為混合偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)三全微分 四 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么設(shè)都在點具有對和的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用以下公式計算：五隱函數(shù)的求導(dǎo)法

38、那么(1)確定 得到(2)確定 得到六多元函數(shù)的極值 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于的點，假設(shè)滿足 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點 定理1必要條件 設(shè)函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點處有極值，那么它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即 可導(dǎo)函數(shù)的極值點必為駐點，駐點就是一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點定理2充分條件設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令那么在點處是否取得極值的條件如下：七 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 第一步：要找函數(shù)在條件下的可能的極值點，先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：，其中為某一常數(shù) 第二步：解聯(lián)立方程組： 求得可能的極值點，結(jié)合問題本身的實際意義，確定所

39、求的極值第二局部 典型例題專題一: 二元函數(shù)的解析式，求 答案：2. ，求 答案：，假設(shè)當(dāng)時，求函數(shù)及答案：專題二: 求偏導(dǎo)數(shù),求 答案：,求 答案： ,求 答案：,求 答案：,求 答案：,求, 答案：;,求 答案： ,求 答案：,求 答案：,求 答案：,求 答案：,求,具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 答案：, ,求,具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 答案：,有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求 答案：專題三: 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)由方程確定，求 答案：由方程確定，求 答案：確定隱函數(shù)，試證專題四:二元函數(shù)的極值的極值 答案：是極大值的極值 答案：是極小值專題五: 條件極值 23.某車間需要用鐵皮制造一個體積為2立方米的有蓋長方體水箱，怎樣

40、選取它的長、寬、高，才能使水箱使用的材料最??？ 答案： 24.有一寬為24厘米的長方形鐵板，把它的兩邊折起來做成一個斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣的折法才能使水槽的斷面面積最大？ 答案：第10章 二重積分 第一局部 根本內(nèi)容一二重積分根本概念 二幾何意義 小結(jié)：二重積分的幾何意義是指二重積分可以表示成所圍曲頂柱體體積的代數(shù)和 三二重積分的性質(zhì)略1.2.四 積分區(qū)域用聯(lián)立不等式組表示1.2. 注：理論上一個積分區(qū)域既可以用不等式組表示，也可以用 不等式組表示.不過可能一個表示簡單，一個表示復(fù)雜究竟選擇哪一種，這與積分區(qū)域的形狀有關(guān)如果積分區(qū)域的邊界線中有兩條直線垂直于軸，一般選擇不等式組；如果積分

41、區(qū)域的邊界線中有兩條直線垂直于軸，一般選擇不等式組；這一點與第六章中應(yīng)用定積分求平面圖形面積時選擇積分變量的技巧是一致的知識點前后照應(yīng)五 二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分 1. 先未知，后先后2. 先未知，后先后注：累次積分次序的選擇與積分區(qū)域的形狀和被積函數(shù)兩個要素有關(guān)理論上，兩種次序的累次積分都可以積分區(qū)域用不等式組表示越簡單，所對應(yīng)的累次積分越簡單如果被積函數(shù)中有不可積函數(shù)，只能選擇某一種次序的累次積分六常見的幾個不可積函數(shù)注:假設(shè)被積函數(shù)中出現(xiàn)上述函數(shù)時，只能選擇先后的累次積分七極坐標(biāo)方程與普通方程的互化 八極坐標(biāo)方程化為普通方程的常用兩種方法方法一：兩邊同時平方方法二：兩邊同時乘以九極坐標(biāo)下的

42、累次積分注：積分區(qū)域為圓、環(huán)、扇形的時候，一般用極坐標(biāo)下的累次積分第二局部 典型例題專題一: 交換以下積分次序 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 專題二: 用極坐標(biāo)下的累次積分表示二重積分 答案： 答案： 答案： 答案： 答案：專題三: 計算以下二重積分 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案： 答案：專題四:證明題在上連續(xù)，證明 提示：交換積分次序即可證明 提示：交換積分次序即可證明第11章 無窮級數(shù) 第一局部 根本內(nèi)容一常數(shù)項級數(shù)稱為常數(shù)項級數(shù)級數(shù)的局部和： 常數(shù)項級數(shù)收斂發(fā)散存在不存在 性質(zhì)1：級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)，斂散性不變性質(zhì)2：收斂級數(shù)可以