七年級(jí)數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu)競(jìng)賽專(zhuān)題輔導(dǎo)第十九講數(shù)的整除

1、第十九講數(shù)的整除趣題引路】盒中原有7個(gè)球，一位魔術(shù)師從中任取幾個(gè)球，把每一個(gè)小球都變成了7個(gè)小球，將其放回盒中，他 又從盒中任取一些小球，把每一個(gè)小球又都變成了 7個(gè)小球后放回盒中，如此進(jìn)行，到某一時(shí)刻魔術(shù)師停止取球變魔術(shù)時(shí)，盒中球的總數(shù)可能是()A. 1990 個(gè) B. 1991 個(gè)C. 1992 個(gè) D. 1993 個(gè)解析無(wú)論魔術(shù)師如何變，盒中球的總數(shù)為6k+7個(gè)，其中k為自然數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證，1993=331X6+7符合要求.故選D.知識(shí)延伸】在整數(shù)的問(wèn)題中，數(shù)的整除性占有極為重要的地位，它幾乎是各級(jí)務(wù)類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的基礎(chǔ)和源泉.整除的定義對(duì)于整數(shù)a、b (bH0),如果a除以b得到的商是一個(gè)

2、整數(shù) q,即“b = q或a = bq,則稱(chēng)a能被b整除，或稱(chēng) b能整除a,記作b a,此時(shí)a叫做b的倍數(shù)，b是a的因數(shù)：如果b不能整除a,記作b*a.數(shù)的整除的若干性質(zhì)根據(jù)整除的定義，有如下性質(zhì)：(1)如果 a b, a c? m, n 為整數(shù)，那么 a (mb nc).(2)如果 a b, b c?那么 a.c.(3)如果a beJ=L a, b互質(zhì)，那么a c.如果a b, c: b,且a, c互質(zhì)，那么 ac b.n個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積，一泄能被 lX2X3X-Xn整除。.數(shù)整除的特征(1)能被2 (或5)整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字能被 2 (或5)整除.(2)能被4 (或25)整除的數(shù)的特

3、征：末兩位數(shù)能被 4 (或25)整除.(3)能被8 (或125)整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被 8 (或125)整除.(4)能被3 (或9)整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和能被3 (或9)整除.(5)能被11整除的數(shù)的特征：奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除.(6)能被7、11、13整除的數(shù)的特征：奇位千進(jìn)位數(shù)段之和與偶位千進(jìn)位數(shù)段之和的差能被7、11、13整除.例如，判別34425391能否被7、11、13整除，先從后往前分節(jié)，得34425391.奇位千進(jìn)位數(shù)段之和為 34 + 391 = 425，偶位千進(jìn)位數(shù)段之和為 425，兩者之差425-425 = 0.因?yàn)椤Ｄ鼙?、11

4、、13整除，所以34425391能被 7、1E 13 整除.上述性質(zhì)與特征是解決整除問(wèn)題的重要理論依據(jù).解決整除問(wèn)題常用的方法有：利用數(shù)的整除特征，湊連續(xù)整數(shù)乘積法，整數(shù)的多項(xiàng)式表示法，按同余分類(lèi)整數(shù)表示法，考慮余數(shù)法，奇偶性分析法等等例1在100以內(nèi)同時(shí)被2、3、5整除的正整數(shù)有多少個(gè)？解析 由于2與3互質(zhì)，3與5互質(zhì)，5與2互質(zhì)(這種特性我們也稱(chēng)為 2、3、5兩兩互質(zhì))，所以同 時(shí)被 2、3、5整除的整數(shù)必然被2X3X5 = 30整除：另一方面，被 30整除的正整數(shù)必然可同時(shí)被 2、3、5整除，因 此，在100以內(nèi)同時(shí)被2、3、5整除的正整數(shù)就是在100以內(nèi)被30整除的正整數(shù)，顯然只有 3

5、0、60、90三個(gè).點(diǎn)評(píng)：若a, a3,，比兩兩互質(zhì)，則同時(shí)被 a, a=，a?整除的正整數(shù)能被a,? a: a=整除，這是一個(gè)非常有用的結(jié)論.一般地，在a: , a:，玉不一定兩兩互質(zhì)時(shí)，有下面的結(jié)論：同時(shí)被a a ,，a=整除的正整教能被a: , a：,，a=的最小公倍數(shù)整除.另外，在求100以內(nèi)被30整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，弁不一上要把30、60、90全部列出，只要用100除以30,則商3使是所求的個(gè)數(shù).例2某商場(chǎng)向顧客發(fā)放9999張購(gòu)物券，每張購(gòu)物券上印有一個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼，從 0001到9999號(hào)，如果 號(hào)碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，則稱(chēng)這張購(gòu)物券為“幸運(yùn)券” ？證明：這個(gè)商場(chǎng)

6、所發(fā)放 的購(gòu)物券 中，所有的幸運(yùn)券的號(hào)碼之和能被 101整除.解析 顯然，號(hào)碼為9999是幸運(yùn)券，除這張外，如果某個(gè)號(hào)碼n是幸運(yùn)券，那么號(hào) m=9999 n也是 幸運(yùn)券，由于9是奇數(shù)，所以mHn.由于m+n=9999相加時(shí)不出現(xiàn)進(jìn)位，這就是說(shuō)，除去號(hào)碼9999這張 幸運(yùn)券外，其余所有幸運(yùn)券可全部?jī)蓛膳鋵?duì)，而每一對(duì)兩個(gè)號(hào)碼之和均為9999，即所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和是9999的整倍數(shù)，而101 9999，故知所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和也能被 101整除.點(diǎn)評(píng)“如果某個(gè)號(hào)碼n是幸運(yùn)養(yǎng)，那么號(hào) m=9999-n也是幸運(yùn)券”，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，請(qǐng)你 考慮這 句話的合理性.例3若六位數(shù)莎硬是99的倍數(shù)，求整數(shù)a、b

7、的值解析：T81ab93能被9整除.？ .8 + l + a+b+9 + 3=21 + a+b能被9整除，得3+a+b=9kh為整數(shù)）. 又以硬能被11整除，？?？8-l+a-b + 9-3 = 13+a-b能被11整除，得2 + a-b = 11k 2 （k:為整數(shù)）.V 0WabW9/.0Wa+bW18, 9Wa-bW9.由、兩式，得 3W9kW21, -7Wllk : Wll,知k: = l,或ki=2; k: =0,或k: = l,而3+a+b與2+ab的奇偶性相異，而 k: =2, k: =l,不符 合題意. 故耙匕=1, k=0，代人、兩式，解方程組可求得a=2, b=4.例4寫(xiě)出

8、都是合數(shù)的13個(gè)連續(xù)自然數(shù).解析方法一：直接尋找從2開(kāi)始，在自然數(shù)2, 3, 4, 5, 6；中把質(zhì)數(shù)全部劃去，若劃去的兩個(gè)質(zhì)數(shù)之間的自然數(shù)個(gè)數(shù)不 小于13個(gè)， 則從中取13個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，就是符合要求的一組解，例如：自然數(shù) 114, 115, 116，126就是符合題意的 一組解.方法二：構(gòu)造法我們知道，若一個(gè)自然數(shù)a是2的倍數(shù)，則a+2也是2的倍數(shù)，若是3的倍數(shù)，則a+3也是3的倍數(shù)， 若a是14的倍數(shù)，則a4-14也是14的倍數(shù)，所以只要取a為2, 3,，14的倍數(shù)，則a+2, a + 3,，a+14分別 為2, 3,，14的倍數(shù)，從而它們是13個(gè)連續(xù)的自然數(shù).所以，取a=2X3X4X-

9、X14,則a+2, a + 3,，a + 14必為13個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)的自然數(shù).點(diǎn)評(píng)：方法二可以推廣，同學(xué)們不妨自己一試 .例5已知定理若大于3的三個(gè)質(zhì)數(shù)a、b、c滿足關(guān)系式2a+5b=c，則a+b+c是整數(shù)n的倍數(shù)”試問(wèn)：這個(gè)定理中的整數(shù) n的最大可能值是多少？請(qǐng)證明你的結(jié)論：解析先將a+b + c化為3 (a + 2b)的形式，說(shuō)明a + b + c是3的倍數(shù)，然后利用整除的性質(zhì)對(duì) a、 b被3 整除后的余數(shù)加以討論得出 a+2b也為3的倍數(shù).*.* a+b + c = a + b+2a+5b=3 (a+2b),顯然，3; a+b + c.若設(shè)a、b被3整除后的余數(shù)分別為r?、”則*0、r

10、b#0.若 nHn,則 r.=2, n=l 或 c=l, n=2,則 2a+5b=2 (3m+2) +5 (3n+l) =3 (2m+5n+3),或者 2a+5b=2 (3p+l) +5 (3q+2) =3 (2p + 5q+4),即2a+5b為合數(shù)與已知c為質(zhì)數(shù)矛盾./.只有 =？,貝 Ir?=r6=l 或 ra=n=2.于是a+2b必是3的倍數(shù)，從而a+b+c是9的倍數(shù).又 2a+5b=2XU + 5X5=47 時(shí)，a+b+c = 11+5+47=63,2a+5b=2X13 + 5X7=61 時(shí)，a+b+c = 13+7 + 61=81,而(63, 81) =9，故9為最大可能值.點(diǎn)評(píng)由余

11、數(shù)切入進(jìn)行討論，是解決整除問(wèn)題的重要方法例6一個(gè)正整數(shù)7的各位數(shù)字不全相等，如果將 N的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來(lái)的數(shù)N,則稱(chēng)N為“新生數(shù)”，試求所有的三位“新生數(shù)”?解析 將所有的三位“新生數(shù)”寫(xiě)出來(lái)，然后設(shè)出最大數(shù)、最小數(shù)，求差后分析求出所有三位“新生數(shù)”的可能值，再進(jìn)行篩選確定.設(shè)N是所求的三位“新生數(shù)”，它的各位數(shù)字分別為 a、b、c (a、b、c不全相等)，將其各位數(shù)字重 新排 列后，連同原數(shù)共得 6個(gè)三位數(shù)：abo acb* bca, cab, cba?不妨設(shè)其中的最大數(shù)為 dbc則最小數(shù) 為而由新生 數(shù)”的建義，得N=abL

12、 cba=(100a+10b+c) (100c + 10b+a) =99 (a c).由上式知N為99的整數(shù)倍,這樣的三位數(shù)可能為：198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891,990.這九個(gè)數(shù)中，只有954-459=495符合條件.故495是唯一的三位“新生數(shù)”.點(diǎn)評(píng) 本題主要應(yīng)用“新生數(shù)”的定義和整數(shù)性質(zhì)，先將三位“新生數(shù)”進(jìn)行預(yù)選，然后再?gòu)闹泻Y選出符合題意的數(shù)，這也是解答數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的一種常用方法.例7圓上有9個(gè)數(shù)碼，已知從某一位起把這些數(shù)碼按順時(shí)針?lè)较蛴浵拢玫降氖且粋€(gè)九位數(shù)，弁且 能被27 整除.試證：如果從任何一位起把這些數(shù)碼按順時(shí)針?lè)较蛴浵碌脑挘敲?/p>

13、所得的一個(gè)九位數(shù)也能被27整除.解析 把從某一位起按順時(shí)針?lè)较蛴浵碌木盼粩?shù)記為：心七電召，它能被27整除.只需證明從其相鄰一位讀起的數(shù)：莎嚴(yán)阿也能被27整除即可.證明設(shè)從某一位起按順時(shí)針?lè)较蛴浵碌木盼粩?shù)為耳一西命.依據(jù)題意aa2a3- ag=aiX103+a2X 10:4AaoX 10+a,能被 27 整除.為了證明題目結(jié)論，只要證明從其相鄰一位讀起的數(shù)石斫濟(jì)也能被27整除即可.T aAag- agaAa- XlO Xa, X10H- asXlO+ax/.10 ?出心氐百一豈氐巧虧 =1 756;當(dāng)廠 7 時(shí)=5,8 1576;當(dāng)廠9時(shí)，3,g396，所以符合條件的 7位數(shù)是1287216,

14、1287936,1空7576,& 495 .提示;設(shè)要求的正整數(shù)為 A,依題意知A可表示為. TOC o 1-5 h z A=(p + l)+(p-t-2 ) 4- - + (p+9)=9p+45,A = (n + l) +(/B+2) ? +i + 10) = 10a +55 ,4=(& + 1)+(A;-?-2)-F-* + (A: + 11)=11/;+66,其中p、n、k均為整數(shù)， 由、三式，得9P = 105片? .10H = 11(JI + 1).-由、知，”是11的倍數(shù)，且除以9余數(shù)為8,由此可知的最小整數(shù)迢 44MA勺最小正整數(shù)為： 10 x44+55 =495.B級(jí).1*提示

15、：設(shè)自然數(shù)”除63.91J30時(shí),商分別為、z涂數(shù)分別為O、6、G那么63 = n? + a,91 =nA + 6,130 =/u + c.+ C =258 = 2 x3 x43，故 “ =2,3,6,43,4+D得284 =n.(x+x+l) +Ca+6+c).而 a+6 + c=26，貝U&6,129,258.- 11111111100提示；所要求的自然數(shù)既是 9的倍數(shù)又是25的倍數(shù). D_ ?.提示:設(shè)這個(gè)數(shù)為而，貝U 1000a + 1006 4-100e + d + a *6+c + (/ = 1999,gp 1001a + 1016 + 11c + 2d = 1999,得 a =1,進(jìn)而 1016 + 1 1c +2J =998,101 b998 - 117 = 881，有 b =9