bootstrap方法對(duì)總體均值區(qū)間估計(jì)

1、1統(tǒng)計(jì)研究的目的和意義一般來說，涉及到對(duì)總體的均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，通常的方法是根據(jù)抽得的樣本量大小來選擇合適的統(tǒng)計(jì)屋，進(jìn)而套用相應(yīng)的公式來進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。通常進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，總是把總體假設(shè)為止態(tài)分布，在此基礎(chǔ)上利用相關(guān)理論和統(tǒng)計(jì)表進(jìn)行推斷。Bootstrap方法是一種在抽樣的統(tǒng)計(jì)方法，也叫做自助法。該方法只依賴于給定的觀測(cè)信息，不需要其他的假設(shè)，不需要增加新的觀測(cè)。它借助計(jì)算機(jī)對(duì)原始樣本資料進(jìn)行重復(fù)抽樣以產(chǎn)生一系列新”的樣本，可以用于研究一組數(shù)據(jù)某統(tǒng)計(jì)量的分布特征，特別適用于那些難以用常規(guī)方法導(dǎo)出的對(duì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等問題。Bootstrap方法的基本思想是：在原始數(shù)據(jù)的范圍內(nèi)作有放回的再

2、抽樣，對(duì)參數(shù)0進(jìn)行估計(jì),樣本含量仍為n,原始數(shù)據(jù)中每個(gè)觀察值每次被抽到的概率相等，為1/n,所得樣本為Bootstrap樣本，這樣重復(fù)B次，就可以得到B個(gè)Bootstrap樣本，然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。此方法可以提高小樣本下對(duì)總體均值區(qū)間估計(jì)的精度。2數(shù)據(jù)的背景和結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來自某廠某種燈泡的壽命，已知其服從止態(tài)分布。先從一批燈泡中隨機(jī)抽取16個(gè)，測(cè)得其壽命為：1510,1450,1480,1460,1520,1480,1490,1460,1480,1510,1530,1470,1500,1520,1510,1470o數(shù)據(jù)只有16個(gè)，屬于小樣本。常規(guī)方法對(duì)小樣本進(jìn)行總體均值區(qū)間估計(jì)誤差可能會(huì)比較大。常規(guī)

3、的方法可以得到區(qū)間估計(jì)的結(jié)果為(X-ta/2(16-l)s/n,x+td/2(i6-l)s/n).另外將用三種Bootstrap方法對(duì)均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。S.Bootstrap方法區(qū)間估計(jì)的三種類型對(duì)置信區(qū)間進(jìn)行估計(jì)主要采用標(biāo)準(zhǔn)Bootstiap,百分位數(shù)Bootstrap,t百分位數(shù)Bootstrap三種方法。標(biāo)準(zhǔn)Bootstrap方法假設(shè)從服從某分布的總體X中獨(dú)立隨機(jī)地抽取容量為n的樣本xl,x2,x3,.,xno劉原始樣本就行重復(fù)的又放回抽樣，共有門力個(gè)可能的Bootstrap樣本。対于每一個(gè)子樣本求出的均值，都是總體均值的一個(gè)估計(jì)值。同時(shí)，樣本均值與總體均值的分布相同。但是實(shí)際抽取中，n

4、F個(gè)樣本對(duì)計(jì)算機(jī)的運(yùn)行速度是一個(gè)非常大的挑戰(zhàn)，在實(shí)際操作中，一班B取3000即可。但是考慮到后面的方法以來bootstrap樣本的近似分布要求樣本量盡量大，我將在最后的模擬中取B=10000oAA令X作為X的估計(jì)值，x(D表示第I個(gè)bootstrap樣本得到的均值。A15AA|BAA則工）樣本方差為Var（x）=工x（-訐，bt=l5JX=1AAAA由此得到總體均值的（1，）%置信區(qū)間為：XjjxVaiTXx+UirxvaiTX）.其中i-a/2是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的l-a/2百分位數(shù)。（2）百分位數(shù)Bootstrap方法利用Bootstrap經(jīng)驗(yàn)分布的第a/2和第1-a/2分位點(diǎn)是（1-a）置信水

5、平之下統(tǒng)計(jì)量的置信區(qū)間的上下限。具體如下：通過Bootstrap抽樣，可以得到B個(gè)Bootstrap樣本，將每個(gè)樣本得到的樣本均值按照從小到大的順序排列，可以得到一組順序TOC o 1-5 h zA統(tǒng)計(jì)量X：）,則第a/2和第l-a/2分位點(diǎn)分別是1-a置信水平下統(tǒng)計(jì)量X的置信區(qū)間的上下AA限，即X：,x*3。（紳（1嶺）B）（3）t百分位數(shù)Bootstrap方法是在對(duì)百分位數(shù)Bootstrap方法進(jìn)行改進(jìn)得到的。通常此方法比百分位數(shù)bootstrap方法得到更精確的置信區(qū)間。進(jìn)行bootstrap抽樣，針對(duì)每個(gè)bootstrap樣本計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：TOC o 1-5 h zAAXg）-XJ問（

6、X）將結(jié)果從小到大排列，得到順序統(tǒng)計(jì)量t：）,當(dāng)顯著性水平為a時(shí)，第a/2和第1-a/2分位點(diǎn)分別為t：和t*.G可（1氣）可A匚At*,廠則總體均值的置信區(qū)間為：X-勺可*廬而，X-心飛句*Jgr（x）。4模擬試驗(yàn)研究（1）使用常規(guī)方法，按照公式（X_td/2（6_i）s/n,x+切2（i&i）s/n）得到總體均值的置信區(qū)間為1477,1503,區(qū)間長度為26（2）使用標(biāo)準(zhǔn)bootstrap方法，該方法思路很清晰，可以使用matlab實(shí)現(xiàn)，取a=0.05,程序如下：functionyl,y2=bfunl（x,b）fori=lbfor尸k=randint(l丄16),xl(j)=x(k),en

7、dx2(i)=mean(xl),endx0=mean(x2),fori=l:bendp=sqit(sum(a)/(b-1),yl=x0-1.96*p,y2=xO+1.96*p,令抽樣進(jìn)行一萬次,輸入命令y1,y2=bfunl(x,10000),得到結(jié)果為:1476.3,1503.7,區(qū)間長度為264,較普通方法相比，精度沒有提高。使用百分位數(shù)bootstrap方法，matlab程序如下：functionyl,y2=bfun2(x,b)fori=l:bforj=l:12k=randint(l,1,1,16),xlQK(k);endx2(i)=mean(xl),endx3=soit(x2),yl=

8、x3(0.025*b);y2=x3(0.975*b);運(yùn)行一萬次，輸入命令yl,y2=bftin2(x,10000),得到結(jié)果為14767,1503.3,區(qū)間長度為26.6,相比以上兩種方法，區(qū)間長度沒有縮短反而稍微更長。使用t百分位數(shù)bootstrap方法，matlab程序如下：functionyl,y2=bfun3(x,b)fori=l:bforj=l:12k=randint(l,1,1,16),xlQK(k);endx2(i)=mean(xl),endx0=mean(x2),fori=l:bendp=sqit(sum(a)/(b-1),fori=l:bt(i(x2(i)-x0)/p,endq=soit(t),yl=x0-q(0O25*b)*pfy2=x0-q(0.975*b)*p;輸入命令yl,y2=bfun3(x,10000),1到結(jié)呆為：14768,15035,區(qū)間長度為267.由此觀之，最后一種優(yōu)化過的bootstrap方法對(duì)區(qū)間估計(jì)的精度沒有任何提高，反而精度有下降的趨勢(shì)。反思：經(jīng)過模擬試驗(yàn)，得到的結(jié)果不是文章中表