克羅內(nèi)克德國LeopoldKronecker82389

1、克羅內(nèi)克（德國）Leopold Kronecker（18231891）God made the natural numbers,all else is the work of man. 1第 8 講數(shù)學(xué)危機The Crisis in Mathematics 2 第一次數(shù)學(xué)危機 第二次數(shù)學(xué)危機 萬物皆數(shù)！ 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn) 萬物皆數(shù)？ 數(shù)與量的分離3無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)畢達哥拉斯Pythagoras (ca 560ca 480 BC) 點是位置的單位元素 任意兩條線段都是可公度的萬物皆數(shù)Everything is a number 宇宙的和諧: 一切事物都可以歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)之比411勾股定理abc5無理數(shù)

2、的發(fā)現(xiàn)x、y互素x、y均為偶數(shù)6無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)希帕蘇斯Hippasus(公元前470年左右）是一個不可公度的數(shù)7第一次 數(shù)學(xué)危機 不可公度量的發(fā)現(xiàn) 自然數(shù)是一切的基礎(chǔ) 素數(shù): 數(shù)的原子 不可公度: 數(shù)的原子？8芝諾悖論 芝諾 Zeno 約495 BC 430 BC9O第一次 數(shù)學(xué)危機 原子論: 點是位置的單位元素 芝諾悖論（伽利略的模型）CDBAQPCD = 2ABCD = AB ?10數(shù)與量的分離歐多克斯Eudoxus （409356 BC)幾何原本 第5卷 不可公度量的比例理論 窮竭法 Exhaustion 11 比例的定義（將比例理論由可公度量推廣到不可公度量）若 ma nb，則 mc n

3、d若 ma nb，則 mc nd若 ma nb，則 mc nd則稱 設(shè)a、b; c、d是兩對同類的幾何量。如果對于任意的自然數(shù)m、n，滿足關(guān)系: 12亞里士多德Aristotle (384-322 BC) 范疇篇 數(shù)（有理數(shù)） 離散的 量（線段、時間、角度） 連續(xù)的13演繹數(shù)學(xué)的興起歐幾里得Euclid (ca. 325-ca. 270BC)必須承認，直覺是不可靠的14 幾何原本 1482年 威尼斯15 數(shù)學(xué)的基本問題: 什么是量？ 無理數(shù)不過是一些記號，脫離了幾何量這個載體，便不復(fù)存在了。巴羅Isaac Barrow (1630-1677) 萬物皆數(shù)萬物皆量16 第二次數(shù)學(xué)危機 第一次數(shù)學(xué)危

4、機 萬物皆數(shù)！ 微積分與無窮級數(shù) 無窮小是什么？ 分析嚴格化17微積分的起源 運動 微分: 速度、切線、極值 積分: 距離、面積、體積18芝諾悖論: 飛矢不動運動是不存在的時刻t19瞬時速度自由落體: 20牛頓Isaac Newton (1642-1727)21貝克萊主教Bishop George Berkeley(1685-1753) 分析學(xué)者,或致一個不信邪的數(shù)學(xué)家，其中審查現(xiàn)代分析對象、原則與推斷是否比起宗教的神秘與信條，構(gòu)思更為清楚，或推理更為明晰 貝克萊: 它們既不是有限量，也不是無窮小量，但也不是無。難道它們是量的幽靈！22無窮級數(shù) 微分與積分: 無窮級數(shù)的形式 微積分的應(yīng)用 牛頓

5、求積分: 二項式定理23無窮級數(shù)(x=1)(x=-2)24危機的加劇達朗貝爾（法國）J.-le-R. dAlembert (17171783) 人們總是熱衷于擴大數(shù)學(xué)的范疇，卻很少闡明其來源，注重向高層次發(fā)展，而很少考慮加固它的基礎(chǔ)。(1743) 1800年前后: 龐大的分析學(xué)陷入困境 證明的嚴密性 函數(shù)概念的模糊 無窮級數(shù)的發(fā)散 羅爾(法國, Michel Rolle, 16521719) 微積分只是一些精巧的謬誤的集合 什么是連續(xù)？25雅典學(xué)園 演繹數(shù)學(xué)的興起 第一次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)物 拉克魯瓦（法國, S. F. Lacroix, 17651843) 微積分教程: 希臘人所煩惱的這種瑣碎的東

6、西，我們不再需要了！26克萊洛（法國）Alexis-Claide Clairaut(17131765) 歐幾里得自找麻煩地去證明是不足為怪的。這位幾何學(xué)家必須去說服那些冥頑不化的詭辯論者，而這些人是以拒絕最明顯的真理而自豪的。因此，象邏輯那樣，集合必須依賴形式推理去反駁他們。 但是，一切都倒了個個，所有那些涉及到常識且早已熟知的事情的推理，只能掩蓋真理，使讀者厭倦，在今天人們對它已不屑一顧了。27西爾維斯特（英國）James Sylvester (18141897) 我還沒有證明這個結(jié)果，但是，我能像肯定任何必然事物一樣肯定它。在這個基礎(chǔ)上，我們證明 對不起，上節(jié)課假定的結(jié)果錯了。讓我們重新假

7、設(shè)28雅可比（德國）Jakob Jacobi (18041851) 要達到像高斯那樣的嚴密，我們沒有時間！ 高斯(1812年): 無窮級數(shù)的收斂性 嚴密性使數(shù)學(xué)家們喪失了興趣29柯西（法國）Augustin Cauchy (17891857) 貢獻：函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分、收斂級數(shù)、微積分基本定理、柯西收斂準則 不足：無限趨近、想要多小就多小等含混描述，函數(shù)連續(xù)、連續(xù)則可導(dǎo)等錯誤認識30外爾斯特拉斯（德國） Karl Weierstrass (18151897) 1872年: 處處不可微的連續(xù)函數(shù) -語言 一致收斂的必要性 重新定義基本概念 積分: 病態(tài)函數(shù)的構(gòu)造 無窮多間斷點函數(shù)可積

8、對直覺的不信任 31高斯（德國）Karl F. Gauss (1777-1855) 分析應(yīng)建立在算術(shù)的基礎(chǔ)之上 1817年: 真理只存在于算術(shù)之中32 萬物皆數(shù)！ 第一次數(shù)學(xué)危機 第二次數(shù)學(xué)危機 數(shù)系的擴張 無理數(shù)的邏輯基礎(chǔ) 新的危機33 當我們想把它們數(shù)出來（用十進制小數(shù)的形式）時，卻發(fā)現(xiàn)它們無止境地往遠處跑，因而沒有一個無理數(shù)實質(zhì)上能被我們準確地掌握住。而本身缺乏準確性的東西，就不能稱其為真正的數(shù)。因此，正如無窮大不是數(shù)一樣，無理數(shù)也不是真正的數(shù)，而是隱藏在一種迷霧后面的東西。 斯蒂費爾（德國,Michael Stifel,14861867)34數(shù)系的擴張 自然數(shù)整 數(shù): 加法、減法 整

9、數(shù)有理數(shù): 乘法、除法 有理數(shù)無理數(shù): 乘方、開方35無理數(shù)是什么？ 整 數(shù)（加法、減法）自然數(shù) 有理數(shù)（乘法、除法）整 數(shù) 無理數(shù)（乘方、開方）有理數(shù)？36無理數(shù)是什么？ 加、減、乘、除、乘方、開方 無理數(shù)有理數(shù)？初等無理數(shù):復(fù)合無理數(shù):37代數(shù)數(shù) 代數(shù)數(shù) 所有有理系數(shù)多項式方程的根 勒讓德（法國, A.-M. Legendre, 17521833） 可能不是代數(shù)數(shù)38實數(shù)無理數(shù)超越數(shù)有理數(shù)超越數(shù)？代數(shù)數(shù) 歐拉(瑞士，Leonhard Euler, 17071783) 超越數(shù): 超越了代數(shù)的能力 有理數(shù) 初等無理數(shù) 復(fù)合無理數(shù)39劉維爾（法國） Joseph Liouville (18091

10、882) 1844年 超越數(shù)的存在401873年: e是超越數(shù)埃爾米特（法國）Charles Hermite (18221901)林德曼（德國） Ferdinand Lindermann (18521939)1883年: 是超越數(shù)41康托爾（德國）Georg Cantor (18451918)戴德金 （德國）Julius Dedekind (18311916) 定義實數(shù): 在有理數(shù)域上 建立實數(shù)的運算法則 康托爾: 實數(shù)=有理數(shù)+無理數(shù)(1883) 戴德金: 連續(xù)性與無理數(shù)(1872)42康托爾 實數(shù): 良序、無界、封閉、稠密 有理數(shù): 不完備（充滿空隙） 實數(shù): “單調(diào)有界數(shù)列必收斂” 實數(shù): 有理數(shù)的一個（柯西）序列(a1 , a2 , an,)an a43戴德金 有理數(shù)=線段長度: 數(shù)軸上的一個點 無理數(shù):