數(shù)字信號(hào)處理：dsp12 有限離散傅氏變換(III)

1、數(shù)字信號(hào)處理7.有限離散傅氏變換(III) 8/11/20221馬盡文7.4應(yīng)用快速傅氏變換進(jìn)行頻譜分析 頻譜分析：計(jì)算出信號(hào)的頻譜，并由此計(jì)算出振幅譜、 能譜（或功率譜）、相位譜。A. 頻譜分析的步驟 設(shè)連續(xù)實(shí)信號(hào)為 ，其中 ，以間隔 抽樣得到離散信號(hào) ， 可能是無(wú)限長(zhǎng)離散信號(hào) 也可能為有限長(zhǎng)度離散信號(hào)進(jìn)行其頻譜分析的步驟如下：8/11/20222馬盡文7.4應(yīng)用快速傅氏變換進(jìn)行頻譜分析一、數(shù)據(jù)準(zhǔn)備令 ， 為正整數(shù)。對(duì)于有限長(zhǎng)度離散信號(hào)，取 滿足并且將 改造為：對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)離散信號(hào)或 非常大的離散信號(hào)，我們只能截取 項(xiàng)進(jìn)行分析，截取信號(hào)記為：8/11/20223馬盡文7.4應(yīng)用快速傅氏變換進(jìn)行

2、頻譜分析二、用FFT計(jì)算頻譜當(dāng) 時(shí)， 表示對(duì)應(yīng)于頻率 的頻譜值。頻譜 是由實(shí)部 和虛部 組成的復(fù)數(shù)，即三、由頻譜求振幅譜、相位譜，功率譜 其中8/11/20224馬盡文7.4應(yīng)用快速傅氏變換進(jìn)行頻譜分析四、對(duì)振幅譜或功率譜進(jìn)行平滑處理 由于在信號(hào)中往往含有干擾成分，使振幅譜或功率譜極 不平滑，因此需做平滑處理。 平滑因子 通常取3個(gè)點(diǎn)或5個(gè)點(diǎn)，如 或8/11/20225馬盡文五、求振幅譜或功率譜的最大值頻率點(diǎn) 和中間值頻率點(diǎn) 7.4應(yīng)用快速傅氏變換進(jìn)行頻譜分析 現(xiàn)以振幅譜 來(lái)說(shuō)明如何求 和 ，令 其中 使 這時(shí)我們稱 為最大頻率點(diǎn) 令 其中 使8/11/20226馬盡文7.4應(yīng)用快速傅氏變換進(jìn)

3、行頻譜分析這時(shí)我們稱 為中間值頻率點(diǎn)，其直觀意義是：在頻率范圍 之內(nèi)，以 為中間分界點(diǎn)，在 的兩邊振幅譜 所占的比重是一樣的。嚴(yán)格講， 往往不存在，實(shí)際計(jì)算時(shí)，令B. 頻譜分析中參數(shù)的選取8/11/20227馬盡文7.4應(yīng)用快速傅氏變換進(jìn)行頻譜分析對(duì)于連續(xù)信號(hào) 進(jìn)行頻譜分析，實(shí)際上是對(duì)長(zhǎng)度為 的離散信號(hào) 進(jìn)行頻譜分析。容易看出，頻譜分析中參數(shù) 和 的選取很重要。 對(duì)于連續(xù)信號(hào) ，我們用兩個(gè)參數(shù)來(lái)刻畫其頻率特點(diǎn) 的截頻或 最高可達(dá)的頻率（單位為Hz）； 的頻率分辨間隔（單位為Hz）。對(duì) 的振幅譜 取離散值觀察時(shí)，離散值的間隔不能大于 ，故當(dāng)兩個(gè)頻率之差大于 時(shí)，對(duì) 所包含的這兩個(gè)頻率成分可分辨開(kāi)

4、。當(dāng) 的振幅譜 曲線擺動(dòng)比較大時(shí)，8/11/20228馬盡文7.4應(yīng)用快速傅氏變換進(jìn)行頻譜分析 就要取得小些，當(dāng) 曲線較平滑時(shí)， 就可取得大 些。 與 的選取原則： 即 在 部分的能量充分地小。8/11/20229馬盡文7.4應(yīng)用快速傅氏變換進(jìn)行頻譜分析由有限離散傅氏變換知，有限離散頻譜的頻率間隔為因此，還要求 滿足從而由于 表示進(jìn)行頻譜分析的信號(hào)記錄長(zhǎng)度， 稱為最小記錄長(zhǎng)度。8/11/202210馬盡文7.4應(yīng)用快速傅氏變換進(jìn)行頻譜分析 ， 的選取規(guī)則：例 已知某信號(hào)的截頻 Hz，頻率分辨間隔 Hz 現(xiàn)在要對(duì)信號(hào)作頻譜分析，問(wèn)： （1）要求最小記錄長(zhǎng)度 等于多少？ （2）抽樣間隔 應(yīng)滿足什么

5、條件？ （3）抽樣點(diǎn)數(shù) 應(yīng)滿足什么條件？8/11/202211馬盡文7.4應(yīng)用快速傅氏變換進(jìn)行頻譜分析 解：（1） （2） （3） 若要求 為 形式 ，則可取 。 下頁(yè)為一個(gè)信號(hào)作頻譜分析的圖例。8/11/202212馬盡文7.4應(yīng)用快速傅氏變換進(jìn)行頻譜分析8/11/202213馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)A. 有限離散哈特利變換設(shè) 為實(shí)數(shù)，令其中cas為“cos and sin”三個(gè)字的縮寫。一、函數(shù)由于則8/11/202214馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)同樣，由有二、有限離散哈特利變換（FDHT）離散信號(hào) ，令則 的離散哈特利變換定義為顯

6、然周期為 。8/11/202215馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)下面求哈特利逆變換由前面問(wèn)題中cas的含義，知由本章第一節(jié)所證明的等式8/11/202216馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)有則有該式稱為有限離散逆哈特利變換從而有下面有限離散哈特利和逆哈特利變換公式其中，8/11/202217馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)B. 有限離散余弦變換一、有限離散 型余弦變換離散信號(hào)：其有限離散 型余弦變換和有限離散 型逆余弦變換為其中8/11/202218馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)二、有限離散 型余弦變換

7、離散信號(hào)則其有限離散 型余弦變換和有限離散 型逆余弦變換為其中8/11/202219馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)三、有限離散逆 型余弦變換公式的證明問(wèn)題：已知（5-1）式，證明（5-2）式。首先給出幾個(gè)初等公式8/11/202220馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)取上式的實(shí)部和虛部，得將（5-1）式代入（5-2）式右邊，得8/11/202221馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)其中8/11/202222馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)由上式知當(dāng) 時(shí)， 8/11/202223馬盡文7.5有限離散哈特利變換、

8、余弦變換和廣義中值函數(shù)當(dāng) 時(shí)，由 ，故 與 同偶或同奇當(dāng) ， 為奇數(shù)時(shí)， 也為奇數(shù)，因此由（5-4）式知當(dāng) ， 為偶數(shù)時(shí)， ，這時(shí)有 8/11/202224馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)因此同樣有8/11/202225馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)因此由（5-8）、（5-9）和（5-4）知由（5-5）、（5-6）、（5-7）、（5-10）和（5-4）知有限離散逆 型變換公式成立。8/11/202226馬盡文C. 廣義中值函數(shù)7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)一、廣義中值函數(shù)若對(duì)函數(shù) ，存在函數(shù) ，使或者則稱 為廣義中值函數(shù)，其中 為

9、整數(shù)， 為實(shí)數(shù)。容易驗(yàn)證， ， ， 和 都是廣義中值函數(shù)，而且它們的 還是相同的，即 。8/11/202227馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)性質(zhì)1 為廣義中值函數(shù)， 為正整數(shù)， 為一組離散數(shù)據(jù)，則 其中 ；或者其中 ，上兩式中要求 。8/11/202228馬盡文證明：由中值函數(shù)的定義知7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)因此由上式可知性質(zhì)1兩式成立。8/11/202229馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)性質(zhì)2 為廣義中值函數(shù)， 為正偶數(shù)， 為一組離散數(shù)據(jù)，則 其中 ；或者其中 ，上兩式中要求 。8/11/202230馬盡文7.5有限離散

10、哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)證明：根據(jù)自然分解式： 對(duì)上式的第二項(xiàng)，利用性質(zhì)1（用 代替性質(zhì)1中的 ）就得到性質(zhì)2中的兩式。 性質(zhì)2中的兩式把長(zhǎng)度為 的變換轉(zhuǎn)化為兩個(gè)長(zhǎng)度為 的同一變換，體現(xiàn)了快速二分法的思想。二、一種余弦變換的快速算法設(shè) 為 個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)討論快速算法時(shí)，取 ， 為正整數(shù)。8/11/202231馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)考慮一種余弦變換 ：令 ， ， ，由于是廣義中值函數(shù)，由性質(zhì)2中第二式可得其中 。8/11/202232馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)由上式可得其中 8/11/202233馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣義中值函數(shù)由上兩組等式可知， 點(diǎn)的余弦變換 轉(zhuǎn)換成兩個(gè) 點(diǎn)余弦變換 ，這就構(gòu)成了一種快速算法。現(xiàn)在計(jì)算 點(diǎn)余弦變換的乘法次數(shù) 和加法次數(shù)由（5-11）式知 易知 ， ，由上式可計(jì)算 ： 8/11/202234馬盡文7.5有限離散哈特利變換、余弦變換和廣