線性代數(shù)矩陣初等變換

1、關(guān)于線性代數(shù)矩陣的初等變換第一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月課本2.5 矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換二、矩陣的等價(jià)關(guān)系三、初等矩陣四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程第二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月矩陣的初等變換 矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算，它起源于解線性方程組的消元法。 利用初等變換，可以將矩陣A化為形狀簡單的矩陣B，通過形狀簡單的B來探討A的性質(zhì)。在求逆陣及矩陣?yán)碚摰奶接懙妊芯恐卸计鹬匾淖饔?。第三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月一、矩陣的初等變換下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：定義1第四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月下列三

2、種變換稱為矩陣的初等行變換：定義1一、矩陣的初等變換第五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：定義1一、矩陣的初等變換第六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換第七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月注意 矩陣的初等變換的逆變換仍是初等變換，且 逆變換和原變換是同一類型的初等變換.第八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的等價(jià)關(guān)系或A B 第九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的等價(jià)關(guān)系

3、滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣，例如矩陣B:(1) 元素全為零的行 (若有的話)位于矩陣的下方;(2) 各非零行的首非零元（從左至右的一個(gè)不為零的元素）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大.第十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的等價(jià)關(guān)系滿足下列條件的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣,例如矩陣C ：(1) 各非零行的首非零元都是1；(2) 每個(gè)首非零元1 所在列的其余元素都是零.第十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的等價(jià)關(guān)系矩陣D稱為原矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形，具有的特點(diǎn)是：D的左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素全是0.第十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的

4、等價(jià)關(guān)系 滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣:(1) 元素全為零的行 (若有的話)位于矩陣的下方;(2) 各非零行的首非零元（從左至右的一個(gè)不為零的元素）的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大.是不是是糾正第十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的等價(jià)關(guān)系注意：可以存在r=0或m=n=r的情況矩陣D稱為原矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形，具有的特點(diǎn)是：D的左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素全是0.第十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月二、矩陣的等價(jià)關(guān)系第十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定義3 對(duì)單位矩陣E 進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)三種初等矩陣.三、初等

5、矩陣1、 交換兩行(列) 2、 以非零數(shù)k 乘某一行(列)中的所有元素 3、 把某一行(列)的 l 倍加到另一行(列)上去 第十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三、初等矩陣第十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三、初等矩陣第十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三、初等矩陣第十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月初等矩陣的性質(zhì)|A|0初等矩陣均可逆，初等矩陣的逆也是初等矩陣。|E|=1,利用行列式的性質(zhì)。第二十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三、初等矩陣第二十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月三、初等矩陣第二十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)

6、作于2022年6月三、初等矩陣第二十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用 ) 設(shè)A是一個(gè)mn矩陣 對(duì)A施行一次初等行變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 m階初等矩陣左乘A r1r2 補(bǔ)例 設(shè) 則有第二十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用 ) 設(shè)A是一個(gè)mn矩陣 對(duì)A施行一次初等行變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 m階初等矩陣左乘A 對(duì)A施行一次初等列變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 n 階初等矩陣右乘Ac1c2 補(bǔ)例 設(shè) 則有第二十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用 ) 設(shè)A是一個(gè)mn矩陣 對(duì)A施行一次初等行

7、變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 m階初等矩陣左乘A 對(duì)A施行一次初等列變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 n 階初等矩陣右乘Ac1+10c3 補(bǔ)例 設(shè) ，則有第二十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程定理3(矩陣可逆的充要條件) n階方陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積。證明：充分性：初等矩陣可逆，如果將 A表示為初等矩陣的乘積，則因?yàn)橛邢迋€(gè)同階可逆矩陣的乘積是可逆矩陣（p45），故n階方陣A可逆。必要性：設(shè)矩陣A可逆，則由推論1可知，矩陣A經(jīng)過有限次初等變換可以化為單位矩陣E，再由定理2可知存在初等矩陣P1,P2， Ps，Q1,Q2， Qt，使得P1P2 Ps A

8、 Q1Q2 Qt= E.所以A= Ps-1 Ps-1-1 P1-1 E Qt-1 Qt-1-1 Q1-1= Ps-1 Ps-1-1 P1-1 Qt-1 Qt-1-1 Q1-1.定理2(初等矩陣在矩陣乘法中的作用 ) 設(shè)A是一個(gè)mn矩陣 對(duì)A施行一次初等行變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 m階初等矩陣左乘A 對(duì)A施行一次初等列變換 相當(dāng)于相應(yīng)的 n 階初等矩陣右乘AA可以表示為若干初等矩陣的乘積。證畢第二十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理3(矩陣可逆的充要條件) n階方陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干初等矩陣的乘積。若A可逆，則A-1也可逆，則由定理3可知，A-1 = G1G2 Gk， （

9、式1），即A-1 = G1G2 GkE （式2）式1左右兩邊右乘矩陣A,得A-1 A = G1G2 Gk A， E = G1G2 Gk A， （式3）式3表示對(duì)A施以若干次初等行變換可化為E；式2表示對(duì)E施以與式3相同的若干次初等行變換可化為A-1 。兩式合起來為G1G2 Gk (A E)2n(E A1) 2n四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程初等行變換n階方陣A可逆第二十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程若A可逆，則可以使用初等變換法求A-1第二十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月 解例4第三十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例5*四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程本例為用初等行變換求矩陣多項(xiàng)式的逆陣，只需在求解過程中將矩陣多項(xiàng)式看成一個(gè)整體即可. 第三十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程第三十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月初等變換法求解矩陣方程:前提A可逆！四、初等變換法求逆矩陣與矩陣方程第三十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例6解第