計(jì)算材料學(xué)課件：分子運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)值求解-算法

1、第四節(jié) 分子運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)值求解-算法 在數(shù)值求解初值問題時(shí)，必須考慮計(jì)算機(jī)自身不能處理的兩個(gè)問題：1)對時(shí)間作自變量的表述，因?yàn)闀r(shí)間是連 續(xù)的而不是離散的2)極限過程定義的導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算 有限差分法具體操作分為三步：1）將連續(xù)變化的變量離散化, 對時(shí)間離散化2）用差分代替微分方程中的微分，得到差分方程組3）求解差分方程組有限差分方法的數(shù)值誤差來源： 時(shí)間離散化 微商代替求導(dǎo) 截?cái)嗾`差：是指由于連續(xù)的微分方程的嚴(yán)格解不 能夠滿足離散差分方程所帶來的誤差。截?cái)嗾`差總是隨著時(shí)間間隔的減小而減小“舍入誤差”由于計(jì)算機(jī)有限的精度而引入的誤差。 需雙精度下進(jìn)行計(jì)算 一. Verlet 算法(Verlet于1

2、967年提出的) 用Taylor級數(shù)展開法兩式相加得到： Verlet算法簡單，存儲(chǔ)要求適度。缺點(diǎn)是：精度損失；方程中沒有顯式速度項(xiàng) 二. Leap-frog算法 時(shí)刻的速度與t時(shí)刻的加速度, 計(jì)算出速度 由時(shí)刻的位置 得到 時(shí)間坐標(biāo)r速度v加速度a0蛙躍(Leap-frog)法示意圖 三.速度Verlet算法Swope在1982年提出的速度Verlet算法可以同時(shí)給出位置、速度與加速度，并且不犧牲精度 速度Verlet算法精度和穩(wěn)定性好可以使用較大的時(shí)間步長四.預(yù)測-校正 Gear算法 使用盡可能大的時(shí)間步長，或者在相同的時(shí)間步長時(shí)獲得較高的精度，可以使用前一步的力，并使用預(yù)測-校正算法更新

3、位置和速度第一步，根據(jù)Taylor展開式，預(yù)測新的位置、速度與加速度 第二步：根據(jù)新預(yù)測的位置 計(jì)算 時(shí)刻的力 然后計(jì)算加速度 第三步：進(jìn)行校正 1023 原子組成的系統(tǒng) 102106 原子 組成的系統(tǒng)基本單元Cell復(fù)制單元ReplicaL L2rc使粒子i不能同時(shí)與j 粒子以及j粒子鏡像相作用 第五節(jié) 邊界條件 三維周期性邊界條件考慮基本單元內(nèi)的 原子的作用還要考慮其緊鄰復(fù) 制單元內(nèi)原子的作用如果粒子從一個(gè)單元移出，則該類粒子從單元相反一側(cè)的另一假想單元進(jìn)入 在計(jì)算中要檢驗(yàn)基本單元尺寸對所得結(jié)果是否影響。即改變單元尺寸，考察要研究的問題是否得到一致的結(jié)果處理塊體材料要用三維周期性邊界條件處理薄膜材料要用二維周期性邊界條件一維周期性邊界條件二維周期邊界條件 xyxz復(fù)