線性代數(shù)第三章 矩陣的初等變換與線性方程組

1、 本章先討論矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念,并提出求秩的有效方法再利用矩陣的秩反過來研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法內(nèi)容豐富，難度較大. 引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程解用“回代”的方法求出解：于是解得（2）小結(jié)：1上述解方程組的方法稱為消元法 2始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍（與相互替換）（以替換）（以替換）3上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方

2、程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換定義2 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同 同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)逆變換逆變換逆變換等價關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價例如，兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價用矩陣的初等行變換 解方程組（1）：特點：（1）、可劃出一條階梯線，線

3、的下方全為零；（2）、每個臺階 只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的 行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形例如，特點： 所有與矩陣 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形 是這個等價類中最簡單的矩陣.三、小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同3.矩陣等價具有的性質(zhì)2.初等變換思考題已知四元齊次方程組 及另一四元齊次方程組 的通解為思考題解答解一、矩陣秩的概念矩陣的秩例1解例2解例3解計算A的3階子式，另解顯然，

4、非零行的行數(shù)為2，此方法簡單！問題：經(jīng)過變換矩陣的秩變嗎？證二、矩陣秩的求法 經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變證畢初等變換求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4解由階梯形矩陣有三個非零行可知則這個子式便是 的一個最高階非零子式.例5解分析：三、小結(jié)(2)初等變換法1. 矩陣秩的概念2. 求矩陣秩的方法(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));思考題思考題解答答相等. 即由此可知一、線性方程組有解的判定條件問題

5、：證必要性.(),nDnAnAR階非零子式中應(yīng)有一個則在設(shè)=(),根據(jù)克拉默定理個方程只有零解所對應(yīng)的nDn從而這與原方程組有非零解相矛盾，().nAR即充分性.(),nrAR=設(shè).個自由未知量從而知其有rn-任取一個自由未知量為，其余自由未知量為，即可得方程組的一個非零解 .證必要性,有解設(shè)方程組bAx=()(),BRAR設(shè)則B的行階梯形矩陣中最后一個非零行對應(yīng)矛盾方程，這與方程組有解相矛盾.()().BRAR=因此并令 個自由未知量全取0，rn-即可得方程組的一個解充分性.()(),BRAR=設(shè)()()(),nrrBRAR=設(shè)證畢其余 個作為自由未知量, 把這 行的第一個非零元所對應(yīng)的未知

6、量作為非自由未知量,小結(jié)有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有無窮多解.bAx=齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；例1 求解齊次線性方程組解二、線性方程組的解法即得與原方程組同解的方程組由此即得例 求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進行初等變換，故方程組無解例 求解非齊次方程組的通解解 對增廣矩陣B進行初等變換故方程組有解，且有所以方程組的通解為例 解證對增廣矩陣B進行初等變換，方程組的增廣矩陣為由于原方程組等價于方程組由此得通解：例 設(shè)有線性方程

7、組解其通解為這時又分兩種情形：()()nBRAR=()()nBRAR=有無窮多解.bAx=非齊次線性方程組齊次線性方程組三、小結(jié)思考題思考題解答解故原方程組的通解為定義 由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣. 矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應(yīng)用廣泛.一、初等矩陣的概念 定理1 設(shè) 是一個 矩陣，對 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣.二、初等矩陣的應(yīng)用初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣 定理2 設(shè)A為可逆方陣，則存在有限個初等方陣證即利用初等變換求逆陣的

8、方法： 解例即初等行變換例解列變換列變換解例3三、小結(jié)1. 單位矩陣 初等矩陣.一次初等變換2. 利用初等變換求逆陣的步驟是:思考題思考題解答解可以看成是由3階單位矩陣 經(jīng)4次初等變換,而得.而這4次初等變換所對應(yīng)的初等方陣為:由初等方陣的性質(zhì)得初等變換的定義換法變換倍法變換消法變換初等變換逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換反身性傳遞性對稱性矩陣的等價三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣初等矩陣由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（）換法變換：對調(diào)兩行（列），得初等矩陣（）倍法變換：以數(shù)（非零）乘某行（列），得初等矩陣（）消法變換：以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列

9、）上去，得初等矩陣經(jīng)過初等行變換，可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的第一個非零元例如行階梯形矩陣經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進一步化為行最簡形矩陣，其特點是：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其它元素都為0例如行最簡形矩陣對行階梯形矩陣再進行初等列變換，可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點是：左上角是一個單位矩陣，其余元素都為0例如矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個等價類中形狀最簡單的矩陣定義矩

10、陣的秩定義定理行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)矩陣秩的性質(zhì)及定理定理定理線性方程組有解判別定理齊次線性方程組：把系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，寫出通解非齊次線性方程組：把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，根據(jù)有解判別定理判斷是否有解，若有解，把增廣矩陣進一步化成行最簡形矩陣，寫出通解10線性方程組的解法定理11初等矩陣與初等變換的關(guān)系定理推論一、求矩陣的秩二、求解線性方程組三、求逆矩陣的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法典型例題求矩陣的秩有下列基本方法（）計算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個子式，則這個子式的階數(shù)就是矩陣的秩一、求矩陣的秩（）用初等變換即用矩陣的初

11、等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個數(shù)就是原矩陣的秩第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時，計算量很大，第二種方法則較為簡單實用例求下列矩陣的秩解對 施行初等行變換化為階梯形矩陣注意在求矩陣的秩時，初等行、列變換可以同時兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形當(dāng)方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)不相同時，一般用初等行變換求方程的解當(dāng)方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相同時，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等行變換法和克萊姆法則二、求解線性方程組例求非齊次線性方程組的通解解對方程組的增廣矩陣 進行初等行變換，使其成為行最簡單形由此可知，而方程組(1)中未知量的個數(shù)是，故有一個自由未知量.例 當(dāng)取何值時，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解解法一系數(shù)矩陣的行列式為從而得到方程組的通解解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形三、求逆矩陣的初等變換法例求下述矩陣的逆矩陣解注意用初等行變換求逆矩陣時，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用初等列變換求逆矩陣時，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換四、解矩陣方程的初等變換法或者例解第三章測試題一、填空題(每小題4分，共24分)1若元線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣的秩為，則當(dāng)