2021年高中數(shù)學(xué)第二章變化率與導(dǎo)數(shù)2.1變化的快慢與變化率課件4北師大版選修2-2

1、第一節(jié)變化的快慢與變化率引言 為了描寫運動變化著的現(xiàn)象，我們引入了函數(shù)，刻畫靜態(tài)的數(shù)與動態(tài)的函數(shù)都是數(shù)學(xué)中很重要的概念，隨著對函數(shù)的研究的不斷深化，產(chǎn)生了微積分，它是數(shù)學(xué)開展史上繼歐式幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創(chuàng)造，被譽為數(shù)學(xué)史上的里程碑。 而導(dǎo)數(shù)，是微積分的核心概念之一，它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大小值等問題的最一般、最有效的工具。 本章我們將討論導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生及其運算。問題： 物體從某一時刻開場運動，設(shè) 表示此物體經(jīng)過時間 走過的路程，顯然 是時間 的函數(shù)，表示為 。在運動過程中，測得如下數(shù)據(jù)： 物體在02s和1013s這兩段時間內(nèi)，哪一段時間運動得快？分析：比較運動的快慢，一般用

2、平均速度來刻畫。在02s內(nèi)，平均速度為： 在1013s內(nèi)，平均速度為： 顯然，在這兩段時間內(nèi)，后一段時間比前一段時間運動得快些。 從時間 到 時，物體的路程從 變?yōu)?，這段時間內(nèi)的平均速度為：用一段時間內(nèi)物體的平均速度 來刻畫物體運動的快慢記為函數(shù)值變化量，記作s自變量變化量，記作t某病人吃完藥，他的體溫變化如圖示： 比較時間 從0到20min和從20到30min體溫的變化情況，那段時間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？分析： 時間從0變到20min時，單位時間的體溫平均變化率為：從20變到30min時，平均變化率為： 顯然，絕對值大，下降的越快，即后一段時間降得快。用一段時間內(nèi)體溫的平均

3、變化率刻畫體溫變化的快慢 時間從 變?yōu)?時，體溫從 變?yōu)?，體溫的平均變化率函數(shù)值變化量y自變量變化量x概括 函數(shù) ，自變量從 變?yōu)?時，函數(shù)的平均變化率為： 我們用它來刻畫函數(shù)在區(qū)間 上，函數(shù)值變化的快慢。實際中，我們還要考慮物體的瞬間速度，如汽車在某時刻的速度，它與平均速度有關(guān)系么？ 例1 一小球從高空自由落下，其路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系為 試估計小球在t=5s這個時刻的瞬時速度。分析：由公式可知：從5s到6s球的平均速度為： 為提高準(zhǔn)確度，可以將時間間隔縮小至，0.001當(dāng)時間 時，平均速度所以小球在 的瞬時速度為 。即：假設(shè)球保持這一刻的速度運動，每秒將運動 。 例2 一根質(zhì)量分布不均

4、勻的合金棒，長為10m，x表示OX這段棒的長，y表示OX這段棒的質(zhì)量，它們滿足關(guān)系：估計合金棒在x=2m處的線密度。分析： 我們用 到 的平均線密度來估計 處合金棒的線密度。 同樣地，為了提高精確度，可取原長度的 ， ， ， 所取長度越小，則平均線密度就越接近合金棒在 m處的線密度。解：（ ）則合金棒在 m處的線密度為 。（ ）概括思考：瞬時變化率與平均變化率有什么關(guān)系？ 對于函數(shù) ，在自變量 從 變到 時，函數(shù)的平均變化率為：時，平均變化率就趨于函數(shù)在 處的瞬時變化率，它刻畫的是函數(shù)在一點處變化的快慢。動手做一做1. 求 在 到 之間的平均變化率。2. 求 在 到 之間的平均變化率。3. 一物體作直線運動，其位移 與時間 的函數(shù)關(guān)系是 ， 求此物體 到 時的平均速度和 時刻的瞬時速度。 函數(shù) 的平均變化率：刻畫在區(qū)