2022年《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》教案

1、 教學(xué)目標(biāo) 1. 懂得矩陣、可逆矩陣和矩陣秩的概念；2. 把握矩陣的加法、數(shù)乘矩陣、矩陣乘法和轉(zhuǎn)置等運(yùn)算；3. 嫻熟把握用初等行變換法求矩陣的秩和逆矩陣的方法；4. 知道零矩陣、單位矩陣、對(duì)角矩陣、對(duì)稱矩陣、階梯形矩陣、行簡(jiǎn)化階梯形矩陣；5. 把握用消元法求解線性方程組；6. 懂得線性方程組有解判定定理；明白線性方程組的特解、一般解等概念, 嫻熟把握求線性方程組一般解的方法,會(huì)求線性方程組的特解； 重難點(diǎn) 矩陣運(yùn)算,初等行變換,線性方程組解的爭(zhēng)論與解法； 教學(xué)內(nèi)容 矩陣 一、主要內(nèi)容：（一）、概念矩陣定義：A mna ijmn是一張矩形陣表； （它 m行 n 列,其中ija 中 i 表示第 i

2、 行,j表示第 j 列）、零矩陣：o mnn0 mnmn、負(fù)矩陣：A ma ijb1、行矩陣和列矩陣：a 1,an,b m、方陣：A nna ijnn特別矩陣 、單位矩陣： I 、數(shù)量矩陣：、對(duì)角矩陣：、三角矩陣：（上三角矩陣和下三角矩陣）、對(duì)稱矩陣：A T A階梯形矩陣和簡(jiǎn)化階梯形矩陣矩陣秩的定義：對(duì)應(yīng)階梯形矩陣的非零行的行數(shù)；逆矩陣定義：A1AAA1I,A ,1A為互逆矩陣；（二）、法就矩陣的相等：同形矩陣對(duì)應(yīng)位置元素相等；矩陣的加減法：ABa ijb ijmnA, B 滿意 ABBA ,就稱 A, B矩陣的數(shù)乘：kAka ijmnBA 一般不成立（如矩陣矩陣的乘法：CABAB矩陣乘法不滿

3、意交換律,即為可交換的） 矩陣乘法不滿意消去律,即由矩陣 ACaijBC 及矩陣 C0 ,不能推出 AB 但當(dāng)C可逆時(shí), AC矩陣 A 0 , B0BC A B,可能有 AB0 mn的轉(zhuǎn)置；方陣的冪：AmAAA（m個(gè)相乘）矩陣的轉(zhuǎn)置：T A aijnm稱為A mn（三）、方法矩陣的初等行變換初等行變換化矩陣為階梯形初等行變換求矩陣的秩初等行變換求逆矩陣二、實(shí)例分析：例 1 如 A,B是兩個(gè) 階方陣,就以下說法正確是（） A如 AB0,就 A0 或 B0 B A + B 2A 22 A B B 2 C如秩 A 0 , 秩 B 0 , 就秩 AB 0 D如秩 A n , 秩 B n , 就秩 AB

4、 n解 選項(xiàng) A：A0 或 B0 只是 AB0 的充分條件,而不是必要條件,故 A錯(cuò)誤；選項(xiàng) B： A + B 2A 2A B B A B 2,矩陣乘法一般不滿意交換律,即A B B A,故 B 錯(cuò)誤；選項(xiàng) C：由秩 A ,0 秩 B 0 , 說明 A,B 兩個(gè)矩陣都不是 0 矩陣,但它們的乘0 1 1 1 0 0積有可能 0 矩陣,如 A , B,就 AB故秩 AB 0 不肯定成0 1 0 0 0 0立,即 C錯(cuò)誤；例 2 解選項(xiàng) D：兩個(gè)滿秩矩陣的乘積仍是滿秩的,故D正確21設(shè)矩陣A120,B10,就 AB例 3 0121由于AB12010= 4 1 01所以,應(yīng)當(dāng)填寫：4 1 13210

5、矩陣01100的秩是 0010001000 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解由于013210132101321011000110001100001000010000100010000010000000對(duì)應(yīng)的階梯形矩陣有3 個(gè)非 0 行,故該矩陣的秩為3正確選項(xiàng)是： C 例 4 設(shè)矩陣3 6 0 2 6A= 0 1 2,B 9 13 1 9 0 8就矩陣 A 與 B 的乘積 AB的第 3 行第 1 列的元素的值是解 依據(jù)乘法法就可知,矩陣 A 與 B的乘積 AB的第 3 行第 1 列的元素的值是 A 的第3 行元素與 B 的第 1 列元素的乘積之和,即 3 2（ 1） 9 9 0 -3

6、 應(yīng)當(dāng)填寫： -3 例 5 設(shè) A 是 m n 矩陣 , B是 s n 矩陣 , 就運(yùn)算有意義的是 T它們 AABT B AB CATB DAT B解依據(jù)乘法法就可知,兩矩陣相乘, 只有當(dāng)左矩陣的行數(shù)等于右矩陣的列數(shù)時(shí),的乘積才有意義,故矩陣ABT有意義正確選項(xiàng)是 A例 6 設(shè)方程 XAB=X,假如 AI 可逆,就 X= 解 由 XAB = X,得 XAX = B,X AI = B故 X = B AI 1 1所以,應(yīng)當(dāng)填寫：B AI 留意：矩陣乘法中要區(qū)分“ 左乘” 與“ 右乘”,如答案寫成 AI 1 B,它是錯(cuò)誤的1 3 21例 7 設(shè)矩陣 A 3 0 1,求矩陣 A1 1 11 3 2 1

7、 0 01解 由于 A I 3 0 1 0 1 01 1 1 0 0 11 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 00 9 7 3 1 0 0 1 1 1 1 20 4 3 1 0 1 0 4 3 1 0 11 0 1 2 3 6 1 0 0 1 1 30 1 1 1 1 2 0 1 0 2 3 70 0 1 3 4 9 0 0 1 3 4 91 1 3所以 A 2 3 73 4 9a 1 b 1 6 7例 8 已知矩陣 2,求常數(shù) a,b a 0 0 b 6 3解 由于2a 1 b 1 ab a b 6 72a 0 0 b ab a 6 3所以 a ,3 ab 6,得 b = 2 1 2

8、3 0例 9設(shè)矩陣 A,B滿意矩陣方程 AX B,其中 A,B , 求 X 1 0 0 2解法一：先求矩陣 A 的逆矩陣由于AI121000B121011002111210010211012所以A1B0133032001212且XA101121232102解法二：由于A21B100202132所以X02102320113211例 10 設(shè)矩陣01A31451004試運(yùn)算 A-1B解10110000001由于AI3140101000011011001例 11 1 041101131000011010011 01001所以A141110100114且A1B41151310145設(shè) A,B 均為 n

9、 階對(duì)稱矩陣,就ABBA也是對(duì)稱矩陣證由于A,B 是對(duì)稱矩陣,即且ATA,BTBAA2ABBA TAB TBA TBTATATBTBAABABBA依據(jù)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)可知,ABBA是對(duì)稱矩陣?yán)?12 設(shè) A是 n 階矩陣,如3 A = 0 ,就IA 1I證由于IA IAA2 =IAA2AA2A 3 =IA 3= I所以IA 1IAA2線性方程組 一、主要內(nèi)容： 一 、概念線性方程組的矩陣表示：AX = b齊次方程組Ax0b b0 非齊次方程組Ax其中： A為系數(shù)矩陣,Ab= A 為增廣矩陣階梯形方程組：簡(jiǎn)化階梯形矩陣： （可用于直接讀出方程組的解） 二 、方法 線性方程組 AX = b 的解的情

10、形歸納如下：AX = b 有唯獨(dú)解的充分必要條件是秩 A = 秩 A = n ；AX = b 有無窮多解的充分必要條件是秩 A = 秩 A n ；AX = b 無解的充分必要條件是秩 A 秩 A 齊次線性方程組 AX = 0 的解的情形為：AX = 0 只有零解的充分必要條件是 秩 A = n ；AX = 0 有非零解的充分必要條件是 秩 A n 矩陣消元法求線性方程組的一般解步驟：寫出AAA,b初等行變換化階梯形判定是否有解-如有解化簡(jiǎn)化階梯形100寫出對(duì)應(yīng)的方程組用自由未知量表獨(dú)立未知量101 *此解稱為線性方程組的一般解；二、實(shí)例分析：例 1 線性方程組2x1x22的系數(shù)矩陣是 D2 階

11、x2x30 A 2 3 矩陣B3 2 矩陣C3 階矩陣矩陣解 此線性方程組有兩個(gè)方程,有三個(gè)未知量,故它的系數(shù)矩陣是 2 3 矩陣正確的選項(xiàng)是 A例 2 線性方程組 AX = B 有唯獨(dú)解,那么 AX = 0 A 可能有解 B有無窮多解 C無解 D有唯獨(dú)解解 線性方程組 AX = B 有唯獨(dú)解,說明秩 A n , 故 AX = 0 只有唯獨(dú)解（零解） 正確的選項(xiàng)是 D1 2例 3 如線性方程組的增廣矩陣為 A,就當(dāng)（）時(shí)線性方程2 1 4組有無窮多解 A1 B4 C2 D1 22,即解將增廣矩陣化為階梯形矩陣,A11211222400此線性方程組未知量的個(gè)數(shù)是2,如它有無窮多解,就其增廣矩陣的

12、秩應(yīng)小于120,從而1 2正確的選項(xiàng)是D例 4 如非齊次線性方程組Am nX = B有唯獨(dú)解 , 那么有 A秩 A,B nB秩 A r C 秩 A 秩 A,B D秩 A 秩 A,B n解依據(jù)非齊次線性方程組解的判肯定理可知選項(xiàng)D是正確例 5 求解線性方程組01113210 x13x22x3x4解x12x2x 32x4x12x23x32x 41將增廣矩陣化成階梯形矩陣,即13210A1212101131123210113113210008301131010310020000100由于 ,秩 A = 秩 A = 3 ,所以,方程組有解一般解為例 6 x138x4 x4是自由未知量 x213x4x30 x31設(shè)線性方程