二次型分類和雙線性函數(shù)

1、二次型分類和雙線性函數(shù)二次型分類和雙線性函數(shù)9.1 二次型和對(duì)稱矩陣9.2 復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型9.3 正定二次型9.4 主軸問題9.5 雙線性函數(shù) 二次型分類和雙線性函數(shù)我思故我在。 -笛卡兒(Rene Descartes， 1596-1650)如果我能夠看的更遠(yuǎn)，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募缟稀?- 牛頓（Newton,16421727） 二次型分類和雙線性函數(shù)9.1 二次型和對(duì)稱矩陣一.內(nèi)容分布 9.1.1 二次型及矩陣 9.1.2 線性變換 9.1.3 矩陣的合同 9.1.4 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二.教學(xué)目的 1.掌握二次型及其矩陣的定義 以及矩陣的合同 2.理解關(guān)于二次型的線性變換 3.了解

2、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形三.重點(diǎn)難點(diǎn): 合同、線性變換、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 二次型分類和雙線性函數(shù)9.1.1 二次型及矩陣 定義1 設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，F(xiàn)上n元二次齊次多項(xiàng)式（1）叫做F上的一個(gè)n 元二次型。F 上n 元多項(xiàng)式總可以看成 F 上的n 個(gè)變量的函數(shù)，二次型（1）定義了一個(gè)函數(shù) 所以n 元二次型也叫n 個(gè)變量的二次型. 在（1）中令 因?yàn)?所以（1）式可以寫成以下形式： 二次型分類和雙線性函數(shù)（2） 是（2）式右端的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣,稱為二次型 的矩陣。因?yàn)?,所以A是F上的一個(gè)n 階對(duì)稱矩陣，利用矩陣的乘法，（2）式可以寫成（3）二次型（3）的秩指的就是矩陣A的秩。 二次型分類和雙線性函數(shù)9.1.

3、2 線性變換如果對(duì)二次型（3）的變量施行如下的一個(gè)變換： （4）那么就得到一個(gè)關(guān)于 的二次型（4）式稱為變量的線性變換，令 是（4）的系數(shù)據(jù)構(gòu)成的矩陣，則（4）可以寫成 二次型分類和雙線性函數(shù)（5）將（5）代入（3）就得到 （6） 矩陣P稱為線性變換（4）的矩陣。如果P是非奇異的，就稱（4）是一個(gè)非奇異線性變換。因?yàn)锳是對(duì)稱矩陣，所以 也是對(duì)稱矩陣。 二次型分類和雙線性函數(shù)推論9.1.2 一個(gè)二次型的秩在變量的非奇異線性變換之下保持不變。注意: 如果不取二次型的矩陣是對(duì)稱矩陣，則推論不成立 定理9.1.1 設(shè) 是數(shù)域F上的一個(gè)以A為矩陣的n元二次型。對(duì)它的變量施行一次以P為矩陣的線性變換后所得

4、到的二次型的矩陣是 。二次型分類和雙線性函數(shù) 對(duì)稱性：如果B與A合同，那么A也與B合同，因?yàn)橛?可以得出9.1.3 矩陣的合同定義2 設(shè)A，B是數(shù)域F上的兩個(gè)n 階矩陣。如果存在F上的一個(gè)非異矩陣P，使得 那么稱B與A合同。 矩陣的合同關(guān)系的性質(zhì)： 傳遞性：如果 B 與 A 合同，C 與 B 合同，那么C 與 A 合同。 自反性：任意矩陣A都與自身合同，因?yàn)镮AI=A二次型分類和雙線性函數(shù)事實(shí)上，由 可得合同的矩陣顯然有相同的秩，并且與一個(gè)對(duì)稱矩陣合同的矩陣仍是對(duì)稱的. 是數(shù)域F上兩個(gè)n 元二次型，它們的矩陣分別為A 和 B. 如果可以通過變量的非奇異線性變換將 ，則B與A 合同. 反之，設(shè)B

5、與A 合同. 于是存在F上非奇異矩陣P 使得 . 通過以P為矩陣的非奇異線性變換就將 .F上兩個(gè)二次型叫等價(jià)，如果可以通過變量的非奇異線性變換將其中一個(gè)變成另一個(gè). 二次型分類和雙線性函數(shù)定理9.1.3 數(shù)域F上兩個(gè)二次型等價(jià)的必要且充分條件是它們的矩陣合同。等價(jià)的二次型具有相同的秩。 定理9.1.4 是數(shù)域F上的一個(gè)n階對(duì)稱矩陣?？偞嬖贔上一個(gè)n階非奇異矩陣P，使得即F上的一個(gè)n階對(duì)稱矩陣都與一個(gè)對(duì)角形式矩陣合同。二次型分類和雙線性函數(shù)證 我們將利用矩陣的初等變換來證明這個(gè)定理?；貞浺幌?.2里所定義的三種初等矩陣 容易看出，現(xiàn)在對(duì)矩陣A的階n作數(shù)學(xué)歸納法，n = 1時(shí)定理顯然成立。設(shè)n 1

6、，并且假設(shè)對(duì)于n 1階對(duì)稱矩陣來說，定理成立。 是一個(gè)n階矩陣.如果A = O，這時(shí)A本身就是對(duì)角形式。設(shè) ,我們分兩種情形來考慮.二次型分類和雙線性函數(shù)(a) 設(shè)A的主對(duì)角線上元素不全為零，例如， .如果i 1，那么交換A的第1列與第I 列，再交換第1行與第i行，就可以把 換到左上角。這樣就相當(dāng)于初等矩陣 , 再用 . 于是 的左上角的元素不等于零. 因此，我們不妨設(shè) ，用 乘 j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的元素變成零。 A的第1列加到第 j 列，再用 乘第1行加到第二次型分類和雙線性函數(shù)這相當(dāng)于用 右乘A，用 左乘A。這樣，總可以選取初等矩陣 ,使得 這里 是一個(gè)

7、n 1階的對(duì)稱矩陣。 二次型分類和雙線性函數(shù)由歸納法假設(shè)，存在n 1階可逆矩陣 使得 取二次型分類和雙線性函數(shù)那么 這里 。 二次型分類和雙線性函數(shù)(b) 如果 . 由于AO，所以一定有某一個(gè)元素 . 把A的第 j 列加到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 這相當(dāng)于初等矩陣 右乘A . 再用 左乘A. 而經(jīng)過這樣的變換后所得到的矩陣第 i行第 j 列的元素是 . 于是由情形（b）就歸結(jié)到情形（a）.注意 在定理 9.1.2的主對(duì)角形矩陣 中，主對(duì)角線上的元素 的一部分甚至全部可以是零。顯然，不為零的 的個(gè)數(shù)等于A的秩，如果秩A等于r 0，那么由定理的證明過程可以知二次型分類和雙線性函數(shù)給

8、了數(shù)域 F 上一個(gè)n 階對(duì)稱矩陣A， 由定理9.1.2的證明過程還可以看出，我們可以具體求出一個(gè)可逆矩陣P，使 有對(duì)角形式，只要在對(duì)A施行一對(duì)列初等變換和行初等變換的同時(shí)，僅對(duì)n階單位矩陣 I 施行同樣的列初等變換，那么當(dāng)A化為對(duì)角形式時(shí)，I 就化為P。 例1 設(shè) 二次型分類和雙線性函數(shù)我們按定理9.1.2所給出的方法對(duì)A施行行和列初等變換，將A變成，使得是一個(gè)對(duì)角形矩陣。同時(shí)對(duì)單位矩陣 ，施行同樣的初等變換而得出P。 交換A第一列和第二列，第一行和第二行，同時(shí)交換 的第一列和第二列。這時(shí)A和 分別化為： 二次型分類和雙線性函數(shù)把 的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以2加到第三行，同時(shí)把 的第

9、一列乘以2加到第三列。分別得到： 把 的第四列加到第二列，第四行加到第二行，同時(shí)把 和第四列加到第二列，得二次型分類和雙線性函數(shù)以 2/3 和 1 /2 乘 的第二列依次回到第三列和第四列上, 再以 2/3 和1 /2 乘第二行依次加到第三行和第四行上，同時(shí)對(duì) 的列施行同樣的初等變換。得二次型分類和雙線性函數(shù)最后，以 3/4 乘 的第三列加到第四列上,再以3/4 乘第三行加到第四行上，并且對(duì) 的列施行同樣的初等變換，我們得到 取 。于是二次型分類和雙線性函數(shù)9.1.4 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定理9.1.5 數(shù)域F上每一個(gè)n元二次型 可以通過變量的非奇異線性變換化為： 例如，以例 1 中對(duì)稱矩陣A為矩陣

10、的二次型是 二次型分類和雙線性函數(shù)通過變量的非奇異線性變換 化為 二次型分類和雙線性函數(shù)練習(xí)1 寫出下列二次型的矩陣 練習(xí)2 寫出對(duì)應(yīng)下列方陣的二次型 例2 分別用配方法和合同變換法化二次型 成標(biāo)準(zhǔn)形. (讀者答題） 二次型分類和雙線性函數(shù)練習(xí)3 已知二次型 試對(duì)它作如下非奇異線性變換二次型分類和雙線性函數(shù)9.2 復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型 一.內(nèi)容分布 9.2.1 復(fù)二次型的典范形 9.2.2 實(shí)二次型的典范形二.教學(xué)目的 1掌握復(fù)二次型的典范形、實(shí)二次型的典范形、實(shí)二次 型的慣性指標(biāo).、符號(hào)差等概念。 2掌握實(shí)二次型的慣性定律.三.重點(diǎn)、難點(diǎn)： 實(shí)二次型的慣性定律. 二次型分類和雙線性函數(shù)復(fù)

11、數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型分別叫做復(fù)二次型和實(shí)二次型. 9.2.1 復(fù)二次型的典范形 定理9. 2. 1 復(fù)數(shù)域上兩個(gè)n階對(duì)稱矩陣合同的充分且必要條件是它們有相同的秩. 兩個(gè)復(fù)二次型等價(jià)的充分且必要條件是它們有相同的秩. 證 顯然只要證明第一個(gè)論斷. 條件的必要性是明顯的. 我們只要證條件的充分性. 設(shè)A，B是復(fù)數(shù)域上兩個(gè)n階對(duì)稱矩陣，且A與B有相同的秩r ，由定理，分別存在復(fù)可逆矩陣P和Q，使得二次型分類和雙線性函數(shù)二次型分類和雙線性函數(shù)取 n 階復(fù)矩陣的一個(gè)平方根. 二次型分類和雙線性函數(shù)那么 ，而 因此，矩陣A，B 都與矩陣 合同，所以A與B合同. 二次型分類和雙線性函數(shù)9.2.2 實(shí)二次型

12、的典范形定理9.2.2 實(shí)數(shù)域上每一n 階對(duì)稱矩陣A 都合同于如下形式的一個(gè)矩陣： （1） 這里 r 等于A的秩. 證 由定理，存在實(shí)可逆矩陣P，使得 二次型分類和雙線性函數(shù)如果r 0 ，必要時(shí)交換兩列和兩行，我們總可以假定 二次型分類和雙線性函數(shù)取 那么二次型分類和雙線性函數(shù)定理9.2.3 實(shí)數(shù)域上每一 n 元二次型都與如下形式的一個(gè)二次型等價(jià)： （1） 這里 r 是所給的二次型的秩. 二次型（1）叫做實(shí)二次型的典范形式，定理9.2.3 是說，實(shí)數(shù)域上每一個(gè)二次型都與一個(gè)典范形式等價(jià). 在典范形式里，平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) r 等于二次型的秩，因而是唯一確定的. 二次型分類和雙線性函數(shù)定理 （慣性定律

13、）設(shè)實(shí)數(shù)域R上n元二次型 等價(jià)于兩個(gè)典范形式 （2）（3）那么證 設(shè)（2）和（3）分別通過變量的非奇異線性變換 （4）（5）二次型分類和雙線性函數(shù)化為所給的二次型 如果 不妨設(shè) 考慮 個(gè)方程的齊次線性方程組（6）因?yàn)?所以 因此，方程組（6）在R內(nèi)有非零解. 令 是（6）的一個(gè)非零解. 把這一組值代入 的表示式二次型分類和雙線性函數(shù)（4）和（5）. 記 我們有二次型分類和雙線性函數(shù)然而所以 因?yàn)?都是非負(fù)數(shù)，所以必須又 所以 是齊次線性方程組 的一個(gè)非零解.這與矩陣 的非奇異性矛盾. 二次型分類和雙線性函數(shù)這就證明了 . 同理可證得 . 所以 由這個(gè)定理，實(shí)數(shù)域上每一個(gè)二次型都與 唯一的典范形

14、式（1）等價(jià). 在（1）中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) p 叫做所給二次型的慣性指標(biāo). 正項(xiàng)的個(gè)數(shù)p與負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù) r p 的差s = p (r p) = 2p r 叫做所給的二次型的符號(hào)差. 一個(gè)實(shí)二次型的秩，慣性指標(biāo)和符號(hào)都是唯一確定的. 二次型分類和雙線性函數(shù)定理9.2.5 實(shí)數(shù)域上兩個(gè) n 元二次型等價(jià)的充分且必要條件是它們有相同的秩和符號(hào)差. 證 設(shè) 是實(shí)數(shù)域上兩個(gè)n元二次型. 令 分別是它們的矩陣. 那么由定理9.2.2，存在實(shí)可逆矩陣P，使得如果 等價(jià)，那么 合同. 于是存在實(shí)可逆矩陣Q 使得 . 取 ，那么二次型分類和雙線性函數(shù)因此 都與同一個(gè)典范形式等價(jià)，所以它們有相同的秩和符號(hào)差. 反過

15、來，如果 有相同的秩 r 和符號(hào)差s ,那么它們也有相同的慣性指標(biāo) . 因此 都與矩陣二次型分類和雙線性函數(shù)合同. 由此推出 合同，從而 等價(jià). 推論 9.2.6 實(shí)數(shù)域 R 上一切n元二次型可以分成 類，屬于同一類的二次型彼此等價(jià)，屬于不同類的二次型互不等價(jià). 證 給定 . 令 二次型分類和雙線性函數(shù)由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰與一個(gè)以 為矩陣的典范形式等價(jià). 當(dāng) r 取定后，p 可以取0，1， ，r ；而 r 又可以取0，1，n 中任何一個(gè)數(shù). 因此這樣的 共有 個(gè). 對(duì)于每一個(gè) ，就有一個(gè)典范形式 二次型分類和雙線性函數(shù)與它相當(dāng). 把與同一個(gè)典范形式等價(jià)的二次型放在一類，于是

16、R 上的一切 n 元二次型恰可以分成 類，屬于同一類的二次彼此等價(jià)，屬于不同類的二次互不等價(jià).例 1 a 滿足什么條件時(shí)，二次型 的慣性指標(biāo)是0，符號(hào)差是2 ？寫出其典范形。 二次型分類和雙線性函數(shù)解 實(shí)二次型 的矩陣為 經(jīng)過合同變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形 所以當(dāng) 或 時(shí)，二次型的慣性指標(biāo)是0，符號(hào)差是2，其典范形為 二次型分類和雙線性函數(shù)一內(nèi)容分布正定二次型 9.3.2 正定二次型的判別二、教學(xué)目的 1掌握正定二次型、正定矩陣、順序主子式、負(fù)定二次型、半正定二次型、半負(fù)定二次型、不定二次型的概念。三、重點(diǎn)、難點(diǎn) 實(shí)二次型 正定的判定。 2掌握實(shí)二次型 正定的判 定定理。 9.3 正定二次型二次型分類和

17、雙線性函數(shù)9.3.1 正定二次型與正定矩陣1基本概念 i）正定二次型實(shí)二次型 稱為正定的，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù) 都有 ii）正定矩陣 實(shí)對(duì)稱矩陣 稱為正定的，如果二次型 二次型分類和雙線性函數(shù)iii）負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定的二次型設(shè) 是一實(shí)二次型，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù) ，都有 , 那么 稱為負(fù)定的； 都有 ，那么 稱為半正定的； 都有 ， 那么 稱為半負(fù)定的； 如果它既不是半正定又不是半負(fù)定，那么 就稱為不定的. 稱為正定 稱為負(fù)定 稱為半正定 稱為半負(fù)定 二次型分類和雙線性函數(shù)例1 下列實(shí)二次型是否為正定的二次型：1） 2） 3） （半正定） 例2 若 ， 都是 階正

18、定矩陣， 證明： 是正定矩陣。 證明： 只需證明 正定。 由 ， 都是正定矩陣，知 ， 正定， 所以對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù) ， 有 ， 從而 故 正定。 二次型分類和雙線性函數(shù)2兩個(gè)結(jié)論實(shí)二次型 是正定的當(dāng)且僅當(dāng) . 證明：若 正定，則對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù) ，都有 . 分別選取 為 ，則有 . 若 .則對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù) ，都有 所以 是正定的。 二次型分類和雙線性函數(shù)非退化實(shí)線性替換保持實(shí)二次型的正定性不變. 設(shè)實(shí)二次型(1) 經(jīng)過非退化實(shí)線性替換 (2) 變成二次型(3) 則 是正定的 是正定的。二次型分類和雙線性函數(shù)證明： 若 是正定的。對(duì)于任意一 組不全為零的實(shí)數(shù) ，令由

19、于 是可逆實(shí)矩陣，故 也是一組不全為零的實(shí)數(shù)，從而 因?yàn)槎涡停?）也可以經(jīng)非退化實(shí)線性替換變到二次型（1），所以按同樣理由，當(dāng)（3）正定時(shí)，（1）也正定. 二次型分類和雙線性函數(shù)9.3.2 正定二次型的判別 1判別定理1： 實(shí)二次型 是正定的 它的正慣性指數(shù)等于 .實(shí)二次型 是正定的 它的規(guī)范形為 。 一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣是正定的 它與單位矩陣合同. 例3 正定矩陣的行列式大于零. 逆命題不成立。反例： 的行列式大于零，但它對(duì)應(yīng)的二次型 不是正定的。 二次型分類和雙線性函數(shù)提示：2矩陣的順序主子式 稱為矩陣 的順序主子式. 矩陣 的第 個(gè)順序主子式為 練習(xí)1：若 是 階實(shí)矩陣，則滿足（ ）時(shí)， 是

20、正定矩陣。二次型分類和雙線性函數(shù)稱為矩陣 的順序主子式.3判別定理2：實(shí)二次型 是正定的 矩陣 的順序主子式全大于零. 二次型分類和雙線性函數(shù)例4 判定二次型 是否正定. 的矩陣為 ，它的順序主子式 所以， 正定。二次型分類和雙線性函數(shù)A ， B. 非退化， C. 的元素全是正實(shí)數(shù)， D. 的主對(duì)角上元素全為正。練習(xí)2：若 是正定矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）。 練習(xí)3：設(shè) 易知 都是正定矩陣，但 不是正定矩陣。 二次型分類和雙線性函數(shù)9.4 主軸問題 一.內(nèi)容分布 9.4.1 變量的正交變換 9.4.2 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角形二.教學(xué)目的: 1掌握變量的正交變換 2掌握將實(shí)二次型通過變量的正

21、交變換化為一 個(gè)只含變量平方項(xiàng)的二次型三.重點(diǎn)、難點(diǎn): 實(shí)二次型通過變量的正交變換化為一個(gè)只含變量平方項(xiàng)的二次型二次型分類和雙線性函數(shù)9.4.1 變量的正交變換我們已經(jīng)看到, 實(shí)數(shù)域上一個(gè)二次型 可以經(jīng)過變量的非奇異變換化為二次型二次型分類和雙線性函數(shù)定義: 我們一般地討論將一個(gè)n元實(shí)二次型通過變量的正交變換化為一個(gè)只含變量平方項(xiàng)的二次型問題, 這個(gè)問題稱為二次型的主軸問題. 這里所說的變量的正交變換指的是這個(gè)變換的矩陣是正交矩陣. 由于正交矩陣是非奇異的, 所以變量的正交變換是非奇異的. 用矩陣的語言來說就是, 給一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A, 要尋求一個(gè)正交矩陣U, 使得 是對(duì)角形式, 這個(gè)問題在8.

22、4里實(shí)際上已經(jīng)得到解決.二次型分類和雙線性函數(shù)定理 設(shè) 是實(shí)數(shù)域上一個(gè)二次型, 那么總可以通過變量的正交變換 化為 這里U是一個(gè)正交矩陣,而 是二次型 的全部特征根. 二次型分類和雙線性函數(shù)證 是一個(gè)n 階實(shí)對(duì)稱矩陣.由定理8.4.3 和 8.4.6,存在一個(gè)正交矩陣U , 使得這里 是A的全部特征根.這也就相當(dāng)于說以A為矩陣的二次型可以通過變量的正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形式 二次型分類和雙線性函數(shù)推論9.4.2 設(shè) 是實(shí)數(shù)域上一個(gè)n元二次型, 是它的矩陣. (i) 二次型 的秩等于A 的不等于零的特征根的個(gè)數(shù), 而符號(hào)差等于A 的正特征根個(gè)數(shù)與負(fù)特征根個(gè)數(shù)的差. (ii) 二次型 是正交的必要且只要

23、A的所有特征根都是正數(shù).9.4.2 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角形二次型分類和雙線性函數(shù)例1 已知實(shí)二次型 (1) 用正交線性變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出所用的正交線性變換； (2) 求出的秩、慣性指標(biāo)與符號(hào)差. 解 （1） 的矩陣為求 f 的全部特征根：因?yàn)槎涡头诸惡碗p線性函數(shù)故的全部特征根為 （二重）， 。對(duì)特征根 ，解齊次線性方程組 得一基礎(chǔ)解系： 二次型分類和雙線性函數(shù)對(duì)特征根 ，解齊次線性方程組 得一基礎(chǔ)解系：對(duì) 正交化、單位化得： 二次型分類和雙線性函數(shù)以 為列作一個(gè)正交矩陣二次型分類和雙線性函數(shù)則 于是 經(jīng)過正交線性變換 ，化為標(biāo)準(zhǔn)形 （2） 由（1） 的秩為2，慣性指標(biāo) ，符號(hào)差

24、.二次型分類和雙線性函數(shù)9.5 雙線性函數(shù) 二次型與雙線性函數(shù)有著密切的關(guān)系，后者也是線性代數(shù)里一個(gè)非常重要概念。在這一章的后面，我們介紹一個(gè)雙線性函數(shù)。 回憶例6，數(shù)域F上向量空間V到F的線性映射也叫作V上線性函數(shù)?，F(xiàn)在定義雙線性函數(shù)的概念。 定義 1 設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間。V上一個(gè)雙線性函數(shù)指的是一個(gè)映射,對(duì)于V中任意一對(duì)向量，有F中唯一確定的數(shù)與它對(duì)應(yīng)，并滿足下列條件：二次型分類和雙線性函數(shù)(i) (ii) (iii) 這里 例如，歐氏空間的內(nèi)積就是這個(gè)空間上一個(gè)雙線性函數(shù)。 設(shè) 是數(shù)域F上向量空間V上一個(gè)雙線性函數(shù)。由定義1中條件(i)，(ii)，(ii)，容易推出。 （1）這里

25、 , , , 二次型分類和雙線性函數(shù) 現(xiàn)在設(shè)V是數(shù)域F上一個(gè) 維向量空間。 是V上一個(gè)雙線性函數(shù)。取定V的一個(gè)基 ,記 , 這個(gè) 個(gè)數(shù)組成F上一個(gè) 的矩陣 二次型分類和雙線性函數(shù)矩陣A叫作雙線性函數(shù) 關(guān)于基 的格拉姆（Gram）矩陣。設(shè) ， 是V的任意兩個(gè)向量。由（1），我們有（2） 反過來，給了F上一個(gè) 的矩陣 ,那么公式（2）唯一定義V上一個(gè) 雙線性函數(shù),它關(guān)于基 的格拉姆矩陣就是A 二次型分類和雙線性函數(shù)利用矩陣的乘法，（2）可以寫成 設(shè) 是V的另一個(gè)基。 是 關(guān)于這個(gè)基的格拉姆矩陣。令 是由基 到基 的過渡矩陣 于是二次型分類和雙線性函數(shù)等式右端恰是矩陣的第行第列的元素，所以（3） 這就是說，V上一個(gè)雙線性函數(shù) 關(guān)于V的兩個(gè)基的格拉姆矩