概率論和數(shù)理統(tǒng)計最新完整版

1、關于概率論與數(shù)理統(tǒng)計最新完整版第一張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.1 隨機事件及其概率的統(tǒng)計定義一、概率論的誕生及應用1654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局, 且誰先贏 c 局便算贏家, 若在一賭徒勝 a 局 ( ac ),另一賭徒勝b局(bc)時便終止賭博,問應如何分賭本” 為題求教于帕斯卡, 帕斯卡與費馬通信討論這一問題, 于1654 年共同建立了概率論的第一個基本概念數(shù)學期望。 概率論是數(shù)學的一個分支,它研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律. 概率論的廣泛應用幾乎遍及所有的科學領域, 例如天氣預報, 地震預報, 產(chǎn)品的抽樣調(diào)查; 另外在經(jīng)濟、金融、保險；管理決策；生物

2、醫(yī)藥；農(nóng)業(yè)（試驗設計等）等領域都有廣泛應用.第二張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象. “太陽不會從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象 “可導必連續(xù)”,“水從高處流向低處”,實例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機現(xiàn)象 二、隨機現(xiàn)象 確定性現(xiàn)象的特征: 條件完全決定結果第三張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.實例1 “在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2. 隨機現(xiàn)象 結果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.第四張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月結果有可能為:“1”

3、, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”. 實例3 “拋擲一枚骰子,觀 察出現(xiàn)的點數(shù)”. 實例2 “用同一門炮向同 一目標發(fā)射同一種炮彈多 發(fā) , 觀察彈落點的情況”.結果: “彈落點會各不相同”.第五張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月實例4 “從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品”.其結果可能為: 正品 、次品.實例5 “過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實例6 “一只燈泡的壽命” 可長可短.隨機現(xiàn)象的特征:條件不能完全決定結果第六張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結果具有偶然性, 但在大量重復試驗或

4、觀察中, 這種結果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性 , 概率論就是研究隨機現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學學科.隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.問題 什么是隨機試驗?如何來研究隨機現(xiàn)象?說明1. 隨機現(xiàn)象揭示了條件和結果之間的非確定性聯(lián)系 , 其數(shù)量關系無法用函數(shù)加以描述.第七張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 1. 可以在相同的條件下重復地進行; 2. 每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結果; 3. 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn).定義 在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.三、隨機試驗第八張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月說明 1.

5、隨機試驗簡稱為試驗, 是一個廣泛的術語.它包括各種各樣的科學實驗, 也包括對客觀事物進行的 “調(diào)查”、“觀察”、或 “測量” 等.實例 “拋擲一枚硬幣,觀察正面,反面出現(xiàn)的情況”.分析 2. 隨機試驗通常用 E 來表示.(1) 試驗可以在相同的條件下重復地進行;第九張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.2.“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記 錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗都為隨機試驗(2) 試驗的所有可能結果:正面，反面;(3) 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn). 故為隨機試驗.第十張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3

6、. 記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人 數(shù).4. 考察某地區(qū) 10 月份的平均氣溫.5. 從一批燈泡中任取一只,測試其壽命. 第十一張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月四、概率的統(tǒng)計定義、隨機事件：在試驗的結果中，可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的事件。比如，拋硬幣試驗中，”徽花向上”是隨機事件；擲一枚骰子中，”出現(xiàn)奇數(shù)點”是一個隨機事件等。、頻率：設A為實驗E中的一個隨機事件，將E重復n次，A發(fā)生m次，稱f(A)=m/n為事件A的頻率 隨著實驗次數(shù)n的增加，頻率將處于穩(wěn)定狀態(tài)比如投硬幣實驗，頻率將穩(wěn)定在1/2附近、統(tǒng)計概率：將事件A的頻率的穩(wěn)定值p作為事件A出現(xiàn)的可能性的度量，即P(A)

7、=p為事件A的統(tǒng)計概率統(tǒng)計概率的缺點：（）需要大量的重復試驗（）得到的是概率的近似值第十二張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.2 樣本空間定義1 對于隨機試驗E，它的每一個可能結果稱為樣本點，由一個樣本點組成的單點集稱為基本事件。所有樣本點構成的集合稱為E 的樣本空間或必然事件，用或S表示 我們規(guī)定不含任何元素的空集為不可能件，用 表示。P()=1,P()=0第十三張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例、設試驗為拋一枚硬幣，觀察是正面還是反面，則樣本空間為：=正面，反面或1,2例、設試驗為從裝有三個白球（記為，號）與兩個黑球（記為，號）的袋中任取兩個球（）觀察取出的兩個

8、球的顏色，則樣本空間為： =00, 11, 0100表示“取出兩個白球”，11表示“取出兩個黑球”，01表示“取出一個白球與一個黑球”第十四張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月（）觀察取出的兩個球的號碼，則樣本空間為： =12, 13, 14, 15, 23, 24,25, 34, 35, 45 ij表示“取出第i號與第j號球”注：試驗的樣本空間是根據(jù)試驗的內(nèi)容確定的！第十五張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月隨機事件 隨機試驗 E 的樣本空間 的子集(或某些樣本點的子集），稱為 E 的隨機事件, 簡稱事件.試驗中,骰子“出現(xiàn)1點”, “出現(xiàn)2點”, ,“出現(xiàn)6點”,“點數(shù)

9、不大于4”, “點數(shù)為偶數(shù)” 等都為隨機事件. 實例 拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù).第十六張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 例3 寫出擲骰子試驗的樣本點, 樣本空間, 基本事件, 事件A出現(xiàn)偶數(shù), 事件B出現(xiàn)奇數(shù) 基本事件 解：用 表示擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)為 第十七張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 小結隨機現(xiàn)象的特征:1條件不能完全決定結果.2. 隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的. (1) 可以在相同的條件下重復地進行;(2) 每次試驗的可能結果不止一個, 并且能事 先明確試驗的所有可能結果;(3) 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會 出現(xiàn).隨機試驗 3. 隨機試驗、

10、樣本空間與隨機事件的關系第十八張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系 每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間, 樣本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗樣本空間子集隨機事件必然事件不可能事件是兩個特殊的 隨機事件第十九張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 1. 包含關系若事件 A 出現(xiàn), 必然導致 B 出現(xiàn) ,則稱事件 B 包含事件 A,記作實例 “長度不合格” 必然導致 “產(chǎn)品不合格”所以“產(chǎn)品不合格”包含“長度不合格”.圖示 B 包含 A.BA1.3 事件的關系及運算一.隨機事件間的關系第二十張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月若事件A

11、包含事件B,而且事件B包含事件A, 則稱事件A與事件B相等,記作 A=B.2. 事件的和(并)實例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此 “產(chǎn)品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件 A 與 B 的并. BA第二十一張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 事件的交 (積)推廣第二十二張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月圖示事件A與B 的積事件.ABAB實例 某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度 與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或積事件.第二十三張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月和事件與

12、積事件的運算性質(zhì)第二十四張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月實例 拋擲一枚硬幣, “出現(xiàn)花面” 與 “出現(xiàn)字面” 是互不相容的兩個事件.4. 事件的互不相容 (互斥) 若事件 A 、B 滿足則稱事件 A與B互不相容.第二十五張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月“骰子出現(xiàn)1點” “骰子出現(xiàn)2點”圖示 A與B互斥AB互斥實例 拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù) . 說明 當AB= 時,可將AB記為“直和”形式A+B. 任意事件A與不可能事件為互斥.第二十六張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月5. 事件的差圖示 A 與 B 的差ABB實例 “長度合格但直徑不合格”是“長度合

13、格” 與“直徑合格”的差.A事件 “A 出現(xiàn)而 B 不出現(xiàn)”，稱為事件 A 與 B 的差. 記作 A- B(或 )第二十七張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 若事件 A 、B 滿足則稱 A 與B 為互逆(或對立)事件. A 的逆記作實例 “骰子出現(xiàn)1點” “骰子不出現(xiàn)1點”圖示 A 與 B 的對立.BA6. 事件的互逆（對立）對立第二十八張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 若事件 A 、B 滿足則稱 A 與B 為互逆(或對立)事件. A 的逆記作實例 “骰子出現(xiàn)1點” “骰子不出現(xiàn)1點”圖示 A 與 B 的對立.BA6. 事件的互逆（對立）對立第二十九張，PPT共一百四

14、十二頁，創(chuàng)作于2022年6月二.事件間的運算規(guī)律第三十張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月三 完備事件組第三十一張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 設A,B,C 表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C 表示出來.(1) A 出現(xiàn) , B, C 不出現(xiàn);(5) 三個事件都不出現(xiàn);(2) A, B都出現(xiàn), C 不出現(xiàn);(3) 三個事件都出現(xiàn);(4) 三個事件至少有一個出現(xiàn);第三十二張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解(6) 不多于一個事件出現(xiàn);第三十三張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月逆分配律第三十四張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6

15、月概率論與集合論之間的對應關系記號概率論集合論樣本空間,必然事件不可能事件基本事件隨機事件A的對立事件A出現(xiàn)必然導致B出現(xiàn)事件A與事件B相等空間(全集)空集元素子集A的補集A是B的子集A集合與B集合相等四、小結第三十五張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月事件A與事件B的差A與B兩集合的差集事件A與B互不相容A與B 兩集合中沒有相同的元素事件A與事件B的和A集合與B集合的并集 事件A與B的積事件 A集合與B集合的交集第三十六張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月一.古典概型1.4 概率的古典定義、定義如果一個隨機試驗E具有以下特征 （1）、試驗的樣本空間中僅含有有限個樣本點；（

16、 2）、每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同。則稱該隨機試驗為古典概型。第三十七張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 設試驗 E 的樣本空間由n 個樣本點構成, A 為 E 的任意一個事件,且包含 m 個樣本點, 則事件 A 出現(xiàn)的概率記為: 2. 古典概型中事件概率的計算公式稱此為概率的古典定義. 第三十八張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 古典概型的基本模型:摸球模型(1) 無放回地摸球問題1 設袋中有M個白球和 N個黑球, 現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出m+n個球,求所取球恰好含m個白球,n個黑球的概率?樣本點總數(shù)為A 所包含的樣本點個數(shù)為解設A=所取球恰好含m個白球,n個黑球

17、第三十九張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(2) 有放回地摸球問題2 設袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球第四十張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月樣本點總數(shù)為A 所包含樣本點的個數(shù)為第四十一張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量不限制問題1 把 4 個球放到 3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率, 其中假設每個杯子可放任意多個球. 4個

18、球放到3個杯子的所有放法第四十二張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為第四十三張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(2) 每個杯子只能放一個球問題2 把4個球放到10個杯子中去,每個杯子只能放一個球, 求第1 至第4個杯子各放一個球的概率.解第1至第4個杯子各放一個球的概率為第四十四張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解5、典型例題第四十五張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月在 N 件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有第四十六張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)

19、作于2022年6月例 3（分房問題） 有 n 個人，每個人都以同樣的概率 1/N 被分配在 間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)某指定 間房中各有一人 ;(2)恰有 間房，其中各有一人； (3) 某指定一間房中恰有 人。 解 先求樣本空間中所含樣本點的個數(shù)。 首先，把 n 個人分到N間房中去共有 種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點個數(shù)。第四十七張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(b)恰有n間房中各有一人，所有可能的分法為 (a)某指定n間房中各有一人，所含樣本點的個數(shù)，即可能的的分法為 ：(c)某指定一間房中恰有m人，可能的分法為 進而我們可以得到三種情形下事件的

20、概率，其分別為 :（2） （3） (1)第四十八張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 把有限個樣本點推廣到無限個樣本點的場合,人們引入了幾何概型. 由此形成了確定概率的另一方法 幾何方法. 概率的古典定義具有可計算性的優(yōu)點,但它也有明顯的局限性.要求樣本點有限,如果樣本空間中的樣本點有無限個, 概率的古典定義就不適用了.二、幾何概型第四十九張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月定義1第五十張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月定義2 當隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域,并且任意一點落在度量 (長度, 面積, 體積) 相同的子區(qū)域是等可能的,則事件 A 的概率可定義為說明

21、當古典概型的試驗結果為連續(xù)無窮多個時,就歸結為幾何概率.第五十一張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 那末 兩人會面的充要條件為例1 甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時間內(nèi), 在預定地點會面. 先到的人等候另一個人, 經(jīng)過時間 t( t1P(A+B) )第一百一十二張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月由于 甲，乙同時射擊，甲擊中敵機并不影響乙擊中敵機的可能性，所以 A與B獨立,進而= 0.8第一百一十三張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 三事件兩兩相互獨立的概念(二) 多個事件的獨立性定義第一百一十四張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 三事

22、件相互獨立的概念定義第一百一十五張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 設 A1，A2 ， ，An為n 個事件，若對于任意k(1kn), 及 1i 1 i 2 i kn 3. n 個事件的獨立性定義若事件 A1，A2 ， ，An 中任意兩個事件相互獨立，即對于一切 1 i j n, 有定義第一百一十六張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月注. 第一百一十七張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月兩個結論第一百一十八張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月n 個獨立事件和的概率公式:設事件 相互獨立,則 也相互獨立即 n個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立

23、事件概率的乘積.結論的應用第一百一十九張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月則“ 至少有一個發(fā)生”的概率為 P(A1An) =1- (1-p1 ) (1-pn )若設n個獨立事件發(fā)生的概率分別為類似可以得出：至少有一個不發(fā)生”的概率為“=1- p1 pn 第一百二十張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月事件的獨立性在可靠性理論中的應用：一個元件的可靠性：該元件正常工作的概率.一個系統(tǒng)的可靠性：由元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率.第一百二十一張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1.10 獨立試驗序列1. 定義 (獨立試驗序列) 設Ei (i=1,2,)是一列隨機試驗,Ei的

24、樣本空間為i ,設Ak 是Ek 中的任一事件,Ak k , 若Ak出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗Ei (ik)的結果, 則稱Ei 是相互獨立的隨機試驗序列,簡稱獨立試驗序列.第一百二十二張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月則稱這n次重復試驗為n重貝努里試驗，簡稱為貝努里概型.若n 次重復試驗具有下列特點：2. n 重貝努利(Bernoulli)試驗1) 每次試驗的可能結果只有兩個A 或2) 各次試驗的結果相互獨立，( 在各次試驗中p是常數(shù)，保持不變）第一百二十三張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月實例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將 硬幣拋 n 次,就是n重伯努利

25、試驗.實例2 拋一顆骰子n次,觀察是否 “出現(xiàn) 1 點”, 就是 n重伯努利試驗.第一百二十四張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月一般地，對于貝努里概型，有如下公式：定理如果在貝努里試驗中，事件A出現(xiàn)的概率為p (0p1), 則在n次試驗中，A恰好出現(xiàn) k 次的概率為：3. 二項概率公式第一百二十五張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月推導如下：第一百二十六張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月且兩兩互不相容.稱上式為二項分布. 記為第一百二十七張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月經(jīng)計算得解第一百二十八張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例2解第一百二十九張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月三、內(nèi)容小結第一百三十張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月4 二項分布 5 幾何分布第一百三十一張，PPT共一百四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月備用題伯恩斯坦反例 一個均勻的正四面體, 其第一面