不可壓縮流體動力學基礎解析課件

1、第五章 不可壓縮 流體動力學基礎第1頁，共62頁。 當把流體的流動看作是連續(xù)介質(zhì)的流動，它必然遵守質(zhì)量守恒定律。流體的這種性質(zhì)稱為連續(xù)性，用數(shù)學形式表達出來的就是連續(xù)性方程。首先推導在笛卡兒坐標系中微分形式的連續(xù)性方程。 如圖71 微元六面體 5.1 連續(xù)性微分方程 第2頁，共62頁。 設該微元六面體中心點O（x, y, z）上流體質(zhì)點的速度密度為 ，于是和 軸垂直的兩個平面上的質(zhì)量流量如圖所示。 在 方向上， 時間通過EFGH面流入的流體質(zhì)量為： （a） 時間通過ABCD面流出的流體質(zhì)量 ：（b） 在 時間內(nèi)，自垂直于x軸的兩個面流出、流入的流體質(zhì)量差為：（c1） 第3頁，共62頁。同理可得

2、 和 方向 時間內(nèi)，流出、流入的流體質(zhì)量差為: （c2） （c3） 因此， 時間內(nèi)，流出、流入整個六面體的流體質(zhì)量差為（c） 微元六面體內(nèi)由于密度隨時間的變化而引起的質(zhì)量的變化為： （d） 第4頁，共62頁。由質(zhì)量守恒條件：或它適用于理想流體和粘性流體、定常流動和非定常流動。 在定常流動中，由于 對于不可壓縮流體（ =常數(shù)） 或第5頁，共62頁。在其它正交坐標系中流場中任一點的連續(xù)性方程和柱坐標系中的表示式為 ： 對于不可壓縮流體 式中 為極徑； 為極角。 球坐標系中的表示式為: 式中 為徑矩； 為緯度； 為徑度。 第6頁，共62頁。【例】 已知不可壓縮流體運動速度 在 ， 兩個軸方向的分量為

3、 ， 。且在 處，有 。試求 軸方向的速度分量 。 【解】對不可壓縮流體連續(xù)性方程為：將已知條件代入上式，有 又由已知條件對任何 ， ，當 時， 。故有 第7頁，共62頁。7.2 流體微團的運動分析 流體與剛體的主要不同在于它具有流動性，極易變形。因此，流體微團在運動過程中不但象剛體那樣可以有移動和轉(zhuǎn)動，而且還會發(fā)生變形運動。一般情況下，流體微團的運動可以分解為移動，轉(zhuǎn)動和變形運動。 圖7-2 流體微團運動速度分量 第8頁，共62頁。第9頁，共62頁。xDAyyBCx第10頁，共62頁。（1）平移運動：所有偏倒數(shù)為0，如圖7-4（a）所示，矩形ABCD各角點具有相同的速度 。導致矩形ABCD平

4、移x = t, y = t, 其ABCD的形狀不變。（2）線變形運動：如圖7-4（b）所示，線變形運動取決于速度分量在它所在方向上的變化率（即線變形速率 和 ），導致矩形ABCD的變形量：圖7-4 流體微團的平面運動 第11頁，共62頁。（3）角變形運動和旋轉(zhuǎn)運動：如圖7-4（c）、（d）所示，當 當矩形ABCD只發(fā)生角變形運動，如圖7-4（c）所示。 當矩形ABCD只發(fā)生旋轉(zhuǎn)運動，形狀不變。 在一般情況下 的同時，還會發(fā)生角變形運動。這兩種運動由和所決定。亦就是矩形ABCD在發(fā)生旋轉(zhuǎn)運動圖7-4 流體微團的平面運動 第12頁，共62頁。于是沿z軸流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度分量： 同理，沿x，y軸流

5、體微團的旋轉(zhuǎn)角速度分量分別為: 第13頁，共62頁。流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度定義為: 其中，流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度分量及模量為： 第14頁，共62頁。流體微團沿z軸的角變形速度分量： 同理，可有流體微團角變形速度分量及其模量為： 前面在流體微團的分析中，已給出O點的速度，與點O相距微小矢徑的點A( )的速度為 :第15頁，共62頁。如果在式（7-10）的第一式右端加入兩組等于零的項： 其值不變。經(jīng)過簡單組合，可將該式寫成 ：同理，有： 和第16頁，共62頁。將式（7-8），（7-9）代入以上三式，便可將式（7-10）寫成 ： 上式表明：各速度分量的第一項是平移速度分量，第二、三、四項分別是由線變形運

6、動、角變形運動和旋轉(zhuǎn)運動所引起的線速度分量。此關系也稱為海姆霍茲(Helmholtz)速度分解定理，該定理可簡述為： 在某流場O點鄰近的任意點A上的速度可以分成三個部分：分別為與O點相同的平移速度（平移運動）；繞O點轉(zhuǎn)動在A點引起的速度（旋轉(zhuǎn)運動）；由于變形（包括線變形和角變形）在A點引起的速度（變形運動）。 第17頁，共62頁。7.3 有旋流動和無旋流動 根據(jù)流體微團在流動中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動分為兩類：有旋流動和無旋流動。 數(shù)學條件： 當 當 無旋流動 有旋流動 通常以 是否等于零作為判別流動是否有旋或無旋的判別條件。 在笛卡兒坐標系中： 第18頁，共62頁。即當流場速度同時滿足： 時

7、流動無旋。 需要指出的是，有旋流動和無旋流動僅由流體微團本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團本身的運動軌跡無關。 如圖7-5（a），流體微團的運動為旋轉(zhuǎn)的圓周運動，其微團自身不旋轉(zhuǎn)，流場為無旋流動；圖7-5（b）流體微團的運動盡管為直線運動，但流體微團在運動過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流動為有旋流動。（a） （b） 圖7-5 流體微團運動軌跡 第19頁，共62頁?！纠?某一流動速度場為 ， ，其中 是不為零的常數(shù)，流線是平行于 軸的直線。試判別該流動是有旋流動還是無旋流動。 【解】 由于 所以該流動是有旋運動。 第20頁，共62頁。7.4 理想流體的旋渦運動 一、渦線、渦管、渦束和旋渦強度 渦

8、量用來描述流體微團的旋轉(zhuǎn)運動。渦量的定義為： 渦量是點的坐標和時間的函數(shù)。它在直角坐標系中的投影為 ： 在流場的全部或部分存在角速度的場，稱為渦量場。如同在速度場中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場中同樣也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強度的概念。 第21頁，共62頁。1渦線:渦線是在給定瞬時和渦量矢量相切的曲線。如圖7-7所示。 圖7-7 渦線 圖7-8 渦管根據(jù)渦通矢量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為: 2渦管、渦束：在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時刻過該曲線每一點的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。如圖7-8所示。截面無限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運動的流體稱

9、為渦束，微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。第22頁，共62頁。3旋渦強度（渦通量） 在渦量場中取一微元面積dA，見圖,其上流體微團的渦量為 ， 為dA的外法線方向，定義 為任意微元面積dA上的旋渦強度，也稱渦通量。 任意面積A上的旋渦強度為： 第23頁，共62頁。二、速度環(huán)量、斯托克斯定理 1速度環(huán)量:在流場的某封閉周線上，如圖7-9（b），流體速度矢量沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號 表示，即: 速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負與速度的方向和線積分的繞行方向有關。對非定常流動，速度環(huán)量是一個瞬時的概念，應根據(jù)同一瞬時曲線上各點的速度計算。 圖7-9 微元有向線段 第24頁，共62頁。 2

10、斯托克斯（Stokes）定理:在渦量場中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強度，即: 這一定理將旋渦強度與速度環(huán)量聯(lián)系起來，給出了通過速度環(huán)量計算旋渦強度的方法。 【例】 一二維渦量場，在一圓心在坐標原點、半徑 的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量 。若流體微團在半徑 處的速度分量 為常數(shù)，它的值是多少？ 【解】由斯托克斯定理得 ：第25頁，共62頁。7.5 無旋流動無旋流動的假定 一 速度勢函數(shù)第26頁，共62頁。證明： 無旋條件是速度有勢的充要條件。無旋必然有勢，有勢必須無旋。所以無旋流場又稱為有勢流場。速度勢的存在與流體是否可壓縮、流動是否定常無關。 結論： 在笛卡兒坐標系

11、中： 驗證是否滿足：即：第27頁，共62頁。第28頁，共62頁。拉普拉斯（Laplace）方程 式中 為拉普拉斯算子。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故速度勢是調(diào)和函數(shù)。 第29頁，共62頁。二 流函數(shù)平面不可壓縮流體流函數(shù)的基本性質(zhì)：流函數(shù) 等流函數(shù)線為流線；當 常數(shù)時，流線方程 即：第30頁，共62頁。 不論是理想流體還是粘性流體，不論是有旋的還是無旋的流動，只要是不可壓縮流體的平面流動，就存在流函數(shù)。 第31頁，共62頁。柯西黎曼（CauchyRiemen）條件 平面流中流函數(shù)和勢函數(shù)互為共軛函數(shù)勢函數(shù)是常數(shù)的線和流函數(shù)是常數(shù)的線正交垂直。在平面上它們構成處處正交的網(wǎng)絡，稱為流網(wǎng) 三

12、速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關系 第32頁，共62頁。第33頁，共62頁。7.6基本流動的流場一、均勻等速流二、點源和點匯 三、點渦第34頁，共62頁。一 均勻等速流 流速的大小和方向沿流線不變的流動為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱均勻等速流。 第35頁，共62頁。圖7-10 均勻等速流 第36頁，共62頁。二 點源和點匯 無限大平面上，流體從一點沿徑向直線均勻地向外流出的流動，稱為點源，這個點稱為源點；如果流體沿徑向均勻的流向一點，稱為點匯，這個點稱為匯點。不論是點源還是點匯，流場中只有徑向速度，即圖7-11 源流和匯流 (a)(b)第37頁，共62頁。第38頁，共62頁。三 點渦圖7-12 點

13、渦 第39頁，共62頁。第40頁，共62頁。第41頁，共62頁。勢流疊加原理不可壓縮平面無旋流動:勢函數(shù)方程為：流函數(shù)方程為： 都是線性方程，線性方程的特點是解的可疊加性。這樣，對于一個復雜的流動過程，我們就可以把它分解成若干個簡單流動過程的疊加，而這些簡單流動過程的解是已知的，它們的解的疊加就是復雜流動過程的解。第42頁，共62頁。5.1不可壓縮粘性流體的運動微分方程一、微元體的受力分析和運動微分方程的推導 在流場中取微小平行六面體微元，由于粘性的存在，每個面上任意點的表面力可以分解為法向應力和切向應力。 第43頁，共62頁。作用在微元體上的表面力 第44頁，共62頁。 把作用于控制體上x方

14、向的力疊加起來，得到作用在微元體上的表面力在x方向的分量為： 作用于微元體個面上的x軸方向的表面力 第45頁，共62頁。作用于微元體個面上的Y、Z軸方向的表面力 同理，表面力在y方向的分量為：表面力在z方向的分量為： 第46頁，共62頁。作用在微元體上的質(zhì)量力 用fx，fy，fz表示單位質(zhì)量流體上所受的質(zhì)量力沿x，y，z軸方向的分量，則六面體流體微元在x方向的質(zhì)量力為：根據(jù)牛頓第二定律，可寫出沿x方向的運動微分方程：這里 ：是流體微團的x方向的加速度。第47頁，共62頁。同理可得沿y、z軸方向的運動微分方程 于是有： 這就是微分形式的運動方程。 第48頁，共62頁。二、本構方程本構方程是確立應

15、力和應變率之間關系的方程式。斯托克斯通過將牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到了粘性流體的任意流動中，建立了牛頓流體的本構方程： 上式也稱為廣義牛頓摩擦定律 第49頁，共62頁。沿x方向的運動微分方程可寫為：化簡為 ：第50頁，共62頁。三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程）于是有 上式稱納維斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流體運動微分方程的又一種形式。第51頁，共62頁。對于不可壓流體，其連續(xù)方程為：對于不可壓縮粘性流體，粘性體膨脹應力為零，其運動方程為： 第52頁，共62頁。 并考慮到拉普拉斯算子： 不可壓縮粘性流體的運動方程還可寫為： 第53頁，共62頁。矢量形式為：如果質(zhì)量力只有重力作用

16、，用 代表重力加速度，不可壓縮粘性流體的運動方程的矢量形式為： 第54頁，共62頁。對理想流動，認為流體無粘性， ，這時運動方程簡化為歐拉方程： 或矢量形式： 第55頁，共62頁。 當流體靜止不動時， ，則運動方程簡化為： 第56頁，共62頁。對不可壓流體：方程個數(shù)： n4 （連續(xù)方程NS方程）未知數(shù)： m4 （V，p） 所以方程組封閉。 在流動解解出的基礎上，再利用能量方程求解溫度場。 四、方程組的封閉性第57頁，共62頁。1 初始條件 ： 給定初始時刻的流動狀態(tài)參數(shù)及溫度場 （V，p，T ， ）2 邊界條件： a 無窮遠處條件：無窮遠處的流場認為是未受擾動的均勻狀態(tài)。 b 固壁處：V流V固，T流T固 c 兩種液體的分界面處條件：V1V2，T1T2，p1p2 d 液體與大氣的分界面：p液Pa五、定解條