常微分方程第三章一階微分方程的解的存在定理(3.13.2)課件

1、第三章 一階微分方程的解的存在定理第1頁，共55頁。第2頁，共55頁。需解決的問題第3頁，共55頁。3.1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法第4頁，共55頁。一 存在唯一性定理1 定理1 考慮初值問題第5頁，共55頁。(1) 初值問題(3.1)的解等價(jià)于積分方程的連續(xù)解.證明思路(2) 構(gòu)造(3.5)近似解函數(shù)列第6頁，共55頁。(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)第7頁，共55頁。這是為了即第8頁，共55頁。第9頁，共55頁。下面分五個(gè)命題來證明定理,為此先給出積分方程的解如果一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有定積分符號且在定積分符號下含有未知函數(shù), 則稱這樣的關(guān)系式為積分方程.積分方程第10頁，共55頁。

2、命題1 初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程證明:即第11頁，共55頁。反之故對上式兩邊求導(dǎo),得且第12頁，共55頁。構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列問題: 這樣構(gòu)造的函數(shù)列是否行得通, 即上述的積分 是否有意義?注第13頁，共55頁。命題2證明:(用數(shù)學(xué)歸納法)第14頁，共55頁。第15頁，共55頁。命題3證明:考慮函數(shù)項(xiàng)級數(shù)它的前n項(xiàng)部分和為第16頁，共55頁。對級數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)第17頁，共55頁。第18頁，共55頁。于是由數(shù)學(xué)歸納法得知,對所有正整數(shù)n,有第19頁，共55頁。現(xiàn)設(shè)命題4證明:第20頁，共55頁。即第21頁，共55頁。命題5證明:由第22頁，共55頁。第23頁，共55

3、頁。綜合命題15得到存在唯一性定理的證明.第24頁，共55頁。一 存在唯一性定理1 定理1 考慮初值問題第25頁，共55頁。命題1 初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列命題2第26頁，共55頁。命題3命題4命題5第27頁，共55頁。2 存在唯一性定理的說明第28頁，共55頁。第29頁，共55頁。第30頁，共55頁。第31頁，共55頁。3 一階隱方程解存在唯一性定理定理2考慮一階隱方程則方程(3.5)存在唯一解滿足初始條件第32頁，共55頁。三 近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,這里第33頁，共55頁。注:上式可用數(shù)學(xué)歸納法證明則第34頁，共

4、55頁。例1 討論初值問題解的存在唯一區(qū)間,并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超解由于由(3.19)第35頁，共55頁。第36頁，共55頁。例2 求初值問題解的存在唯一區(qū)間.解第37頁，共55頁。例3 利用Picard迭代法求初值問題的解.解與初值問題等價(jià)的積分方程為第38頁，共55頁。其迭代序列分別為取極限得即初值問題的解為第39頁，共55頁。3.2 解的延拓第40頁，共55頁。問題提出對于初值問題第41頁，共55頁。例如 初值問題第42頁，共55頁。1 飽和解及飽和區(qū)間定義1第43頁，共55頁。2 局部李普希茨(Lipschitz)條件定義2第44頁，共55頁。對定義2也可如下定義注第45頁，共55頁。3 解的延拓定理定理第46頁，共55頁。證明第47頁，共55頁。定義函數(shù)第48頁，共55頁。 以上這種把曲線向左右兩方延拓的步驟可一次一次地進(jìn)行下去.直到無法延拓為止. 它已經(jīng)不能向左右兩方繼續(xù)延拓的,即得到了(3.1)的飽和解.最后得到一條長長的積分曲線,第49頁，共55頁。推論1則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.推論2第50頁，共55頁。證明第51頁，共55頁。推論3第52頁，共55頁。例1 討論方程解該方程