三角函數(shù)的圖象及性質知識點匯總

1、-PAGE . z三角函數(shù)的圖象與性質一、知識網絡三、知識要點一三角函數(shù)的性質1、定義域與值域2、奇偶性1根本函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)：ysin*，ytan*；偶函數(shù)：ycos*.2 型三角函數(shù)的奇偶性g* *Rg*為偶函數(shù) 由此得 ；同理， 為奇函數(shù) . 為偶函數(shù) ； 為奇函數(shù) .3、周期性1根本公式根本三角函數(shù)的周期ysin*，ycos*的周期為 ；ytan*，ycot*的周期為 . 型三角函數(shù)的周期 的周期為 ； 的周期為 .2認知 型函數(shù)的周期 的周期為 ； 的周期為 . 的周期 的周期為； 的周期為 .均同它們不加絕對值時的周期一樣，即對y 的解析式施加絕對值后，該函數(shù)的周期不變.注意這一

2、點與的區(qū)別.假設函數(shù)為 型兩位函數(shù)之和，則探求周期適于最小公倍數(shù)法.探求其它雜三角函數(shù)的周期，根本策略是試驗猜測證明.3特殊情形研究ytan*cot*的最小正周期為 ； 的最小正周期為 ；ysin4*cos4*的最小正周期為 .由此領悟最小公倍數(shù)法的適用類型，以防施錯對象.4、單調性1根本三角函數(shù)的單調區(qū)間族依從三角函數(shù)圖象識證三部曲：選周期：在原點附近選取那個包含全部銳角，單調區(qū)間完整，并且最好關于原點對稱的一個周期；寫特解：在所選周期寫出函數(shù)的增區(qū)間或減區(qū)間；獲通解：在中所得特解區(qū)間兩端加上有關函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，即得這一函數(shù)的增區(qū)間族或減區(qū)間族循著上述三部曲，便可得出課本中規(guī)的三角

3、函數(shù)的單調區(qū)間族.提醒：上述三部曲也適合于尋求簡單三角不等式的解集或探求三角函數(shù)的定義域.2y 型三角函數(shù)的單調區(qū)間此類三角函數(shù)單調區(qū)間的尋求三部曲為換元、分解：令u ，將所給函數(shù)分解為、外兩層：yfu，u ；套用公式：根據(jù)對復合函數(shù)單調性的認知，確定出fu的單調性，而后利用1中公式寫出關于u的不等式；復原、結論：將u 代入中u的不等式，解出*的取值圍，并用集合或區(qū)間形成結論.二三角函數(shù)的圖象1、對稱軸與對稱中心1根本三角函數(shù)圖象的對稱性正弦曲線ysin*的對稱軸為 ；正弦曲線ysin*的對稱中心為 ，0 .余弦曲線ycos*的對稱軸為 ；余弦曲線ycos*的對稱中心 正切曲線ytan*的對稱

4、中心為 ；正切曲線ytan*無對稱軸.認知：兩弦函數(shù)的共性：* 為兩弦函數(shù)f*對稱軸 為最大值或最小值； ，0為兩弦函數(shù)f*對稱中心 0.正切函數(shù)的個性： ，0為正切函數(shù)f*的對稱中心 0或 不存在.2 型三角函數(shù)的對稱性服從上述認知對于g* 或g* 的圖象* 為g*對稱軸 為最值最大值或最小值； ，0為兩弦函數(shù)g*對稱中心 0.對于g* 的圖象 ，0為兩弦函數(shù)g*的對稱中心 0或 不存在.2、根本變換1對稱變換2振幅變換縱向伸縮3周期變換橫向伸縮4相位變換左右平移5上、下平移3、y 的圖象1五點作圖法2對于A，T， ， 的認知與尋求：A：圖像上最高點或最低點到平衡位置的距離；2A：圖像上最高

5、點與最低點在y軸上投影 間的距離. ：圖象的相鄰對稱軸或對稱中心間的距離； ：圖象的對稱軸與相鄰對稱中心間的距離. ： 由T 得出. ：解法一：運用代點法求解，以圖象的最高點或最低點坐標代入為上策，假設以圖象與*軸交點坐標代入函數(shù)式求 ，則須注意檢驗，以防所得 值為增根；解法二：逆用五點作圖法的過程參見經典例題.四、經典例題例1、求以下函數(shù)的值域：1 2 3 4 5 6分析：對于形如123的函數(shù)求值域，根本策略是化歸為 的值域；轉化為sin*或cos*的二次函數(shù)；對于456之類含有絕對值的函數(shù)求值域，根本策略則是在適當?shù)臈l件下考察y2；轉化為分段函數(shù)來處理；運用其周期性、奇偶性或函數(shù)圖象對稱性

6、轉化.解：1 ，即所求函數(shù)的值域為 .2由 注意到這里*R， ，所求函數(shù)的值域為1，1.3這里 令sin*cos*t則有 且由 于是有 因此，所求函數(shù)的值域為 .4注意到這里y0，且即所求函數(shù)的值域為 .5注意到所給函數(shù)為偶函數(shù)，又當此時 同理，當 亦有 .所求函數(shù)的值域為 .6令 則易見f*為偶函數(shù)，且 是f*的一個正周期.只需求出f*在一個周期上的取值圍.當*0， 時， 又注意到 ，* 為f*圖象的一條對稱軸只需求出f*在0， 上的最大值.而在0， 上， 遞增. 亦遞增由得f*在0， 上單調遞增. 即于是由、得所求函數(shù)的值域為 .點評：解12運用的是根本化歸方法；解3運用的是求解關于sin

7、*cos*與sin*cos*的函數(shù)值域的特定方法；解4借助平方轉化；解56則是利用函數(shù)性質化繁為簡，化暗為明.這一點在解6時表現(xiàn)得淋漓盡致.例2、求以下函數(shù)的周期：1 ；2 ；3 ；4 ；5分析：與求值域的情形相似，求三角函數(shù)的周期，首選是將所給函數(shù)化為 k的形式，而后運用公式.對于含有絕對值的三角函數(shù)，在不能利用已有認知的情況下，設法轉化為分段函數(shù)來處理.解：1 所求最小正周期 .2 所求周期 .3 .注意到 的最小正周期為 ，故所求函數(shù)的周期為 .4 注意到3sin*及-sin*的周期為2 ，又sin*0或sin*0的解區(qū)間重復出現(xiàn)的最小正周期為2 .所求函數(shù)的周期為2 .5 注意到sin

8、2*的最小正周期 ，又sin*0或sin*0個單位，所得的圖象關于y軸對稱，則m的最小正值為。5對于函數(shù) ，給出四個論斷：它的圖象關于直線* 對稱；它的圖象關于點 ,0對稱；它的周期為 ；它在區(qū)間 ，0上單調遞增.以其中的兩個論斷作為條件,余下的兩個論斷作為結論,寫出你認為正確的命題,它是。分析：1這里 的遞增區(qū)間 的正號遞減區(qū)間 遞增且應填2由f*遞增得 易見，由f*遞減得當k0時， 注意到而不會屬于其它減區(qū)間，故知這里a的最大值為 .3令所給函數(shù)圖象的對稱中心為 ，0 ；解法一直接尋求在中令 則有又在中令k0得 ，令k1得所求距離為 解法二借助轉化：注意到所求距離等于函數(shù)的最小周期的一半，

9、又由得這一函數(shù)的最小正周期為T ，故所求距離為 .4這里 將這一函數(shù)圖象向左平移mm0個單位，所得圖象的函數(shù)解析式為 令 則由題設知f*為偶函數(shù) f*f*所求m的最小值為 .5為使解題的眉目清晰，首先需要認定哪個論斷必須作為條件，哪個論斷只能作為結論，哪個論斷既可作為條件，又可作為結論；一般地，單獨決定圖象形狀的論斷必須作為條件，既不能決定形狀，也不能確定位置的論斷只能作為結論.在這里，必須作為條件，而只能作為結論.于是這里只需考察、與、這兩種情形.考察、是否成立.由得 ，故 ；又由得 注意到 .在、之下， ，易知此時、成立.考察、是否成立.由得 ，故 ；又由得 注意到 .在、之下， ，易知此

10、時、成立.于是綜合得正確的命題為、與、.點評：對于4利用了如下認知： ； .對于5，認定哪個論斷必須作為條件，哪個論斷必須作為結論是認知問題和簡化解題過程的關鍵，請大家注意領悟和把握這一環(huán)節(jié).例5、 的最小正周期為2，當 時，f*取得最大值2.1求f*的表達式；2在閉區(qū)間 上是否存在f*圖象的對稱軸？如果存在，求出其方程；如果不存在，說明理由.分析：出于利用條件以及便于考察f*的圖象的對稱軸這兩方面的考慮，先將f*化為k的形式，這是此類問題的解題的根底.解：1去 令 ， ，即 則有由題意得又由知 ，注意到這里A0且B0，取輔助角 ，則由得2在中令 解得*k解不等式注意到 ，故由得k5.于是可知

11、，在閉區(qū)間 上有且僅有一條對稱軸，這一對稱軸的方程為 .點評：對于最值，對稱軸和對稱中心等問題，f*一經化為 k的形式，解題便勝券在握.例6、點 的圖象上.假設定義在非零實數(shù)集上的奇函數(shù)g*在0，上是增函數(shù)，且g20.求當gf*0且*0， 時，實數(shù)a的取值圍.分析：由點A、B都在函數(shù) 的圖象上得： ，ba，c1a. 此時，由gf*0且*0， 解出a的圍，一方面需要利用g*的單調性脫去f，另一方面又要注意借助換元進展轉化：化生為熟，化繁為簡.因此，下一步的首要工作是考察并利用g*的單調性.解：由分析得定義在非零實數(shù)集上的奇函數(shù)g*在0，上是增函數(shù)，且g20， g*在，0上是增函數(shù)，且g20由知，

12、當*-2或0*2時，g*0又設 .則 htat1a， .gf*0且*0， gh(t)0，且 .由得，當 時，ht2或0h(t)2注意到htat1a由ht2得h12(a0)或h( )0),由0h(t)2得 ，解得 .于是綜上可知，所求a的取值圍為 .點評：在這里，由到的轉化，是由抽象向具體的轉化，此為解題關鍵環(huán)節(jié).在下面的求解中，對0h(t)2亦可通過分類討論來完成.對于htat1a ，0h(t)0且ht0，當a0時，h(t)在 上遞增，由得，h(1)0，顯然成立；當a0 1a10 ；當a0時，ht顯然滿足1h(t)0， 得 1a0 2h(t)0時，h(t)在 上遞增，由得，h( )2 ；當a0

13、時，h(t)在 上遞減由得，h(1)2,顯然滿足條件；當a0時，ht1，顯然滿足條件.因此由得于是綜合12知，由0h(t)2推出五、高考真題一選擇題1、卷假設 A. B. C. D. 分析：注意到我們對 的熟悉，故考慮從認知 的圍入手，去了解 的圍.由 ， 應選C.2、函數(shù) 的局部圖象如圖，則 A. B. C. D. 分析：由圖象得 . ， 又f(1)=1， 注意到 ， 應選C.二、填空題1、卷函數(shù) 的最小正周期與最大值的和為。分析：對于含有絕對值的三角函數(shù)的周期或值域，根本策略是化為分段函數(shù)，分段尋求周期或圍，而后綜合結論. 1注意到sin2*的最小正周期 ，而sin*0的解區(qū)間重復出現(xiàn)的最

14、小正周期 ，而 的最小公倍數(shù)為 ，故所求函數(shù)的最小正周期為 .2由分段函數(shù)知，y的最大值為 ，于是由12知應填.2、卷 是正實數(shù)，設 .假設對每個實數(shù)a， 的元素不超過兩個，且有a使 含2個元素，則 的取值圍是。分析： 注意到有a使 含有兩個元素，相鄰兩 值之差注意到 的元素不超過兩個，相間的兩個 值之差由、得 .點評：對于1，在考察了各個分支中三角函數(shù)的最小正周期后，還要考察各分支中不等式的解區(qū)間重復出現(xiàn)的周期，二者結合才能得出正確結論.對于2，這里的 決定于f*在一個周期圖象的左端點橫坐標，由此便于認識相鄰兩個 值之差 的意義.三解答題1、假設函數(shù) 的最大值為2，試確定常數(shù)a的值.分析：鑒

15、于過去的經歷，首先致力于將f*化為 k的形式，而后便會一路坦途.解： 由得 .點評：此題看似簡單，但考察多種三角公式，亦能表達考生的根本能力.2、設函數(shù) yf*圖象的一條對稱軸是直線 .1求 ；2求函數(shù)yf*的單調增區(qū)間；3證明直線5*2yc0與函數(shù)yf*的圖象不相切.分析：對于3，由于f*為三角函數(shù)，故需要利用導數(shù)的幾何意義來解決直線與圖象的相切或不相切問題.其中，要證直線與*的圖象不相切，只需證直線的斜率不屬于yf*圖象上點的切線斜率的取值集合.解：1 為函數(shù) 圖象的對稱軸， 即又 .2由1知 ，當 時，yf*遞增，所求函數(shù)f*的增區(qū)間為 .3yf*圖象上點的切線的斜率圍為2，2.而直線5

16、*2yc0，直線5*2yc0與函數(shù) 的圖象不相切.點評：有導數(shù)及其幾何意義奠基，便可引出諸多不同直線與不同函數(shù)圖象的相切或不相切問題.此題3的解題思路，值得大家仔細領會與品悟.3、函數(shù) 是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M 對稱，且在區(qū)間 上是單調函數(shù)，求 的值.分析：在此類三角函數(shù)問題中，函數(shù)的周期可直接確定 的值；函數(shù)圖象關于*直線或*點對稱，則只能導出關于 的可能取值，此時要進一步確定 的值，還需要其它條件的輔助；而函數(shù)在*區(qū)間上單調的條件，一般只在利用函數(shù)圖象對稱性尋出 的可能取值之后，用它來進展認定或篩選.解：由f*為偶函數(shù)得f*f*R即 又 故有 由f*圖象關于點M 對稱得 令*0得 而由此解得 當k0時， ，此時 當k1時， 當k2時， ，故此時 因此，綜合以上討論得 或 .所求 ，而 或 .點評：對于正弦函數(shù)y k或余弦函數(shù)y k，在單調區(qū)間完整的一個周期T，恰是增減區(qū)間的長度各為 ；而在任何一個周期T上，增區(qū)間或減區(qū)間的長度均不超過 .因此，假設區(qū)間 的長度大于 ，則函數(shù)在區(qū)間 上不會是單調函數(shù).4、設函數(shù)f*sin*R.1證明： ，其中k為正整數(shù).2設 3設f*在0，的全部極值點按從小到大的順序排列為 ，證明： 分析：注意到正弦函數(shù)為f*的成員函數(shù)之一，試題中又指出f*的極值點，故需應用導數(shù)研究極值的方法與結論.可見，解23，均需要從f*切入.證