期末押題卷1（解析版）

1、期末押題卷1一、單項(xiàng)選擇題（此題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求 的.）.設(shè)復(fù)數(shù)z = l-2那么復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. 1B. -2iC. -2D. 75【答案】C【解析】【分析】根據(jù)虛部的概念，即可得答案.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z = l-2,所以數(shù)z的虛部為-2.應(yīng)選：C.向量M = （1,2）石=（2乂），假設(shè)（M + 6）J_萬那么；1=（）3A. 3B. C. 12D. 122【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相互垂直的兩個(gè)向量的數(shù)量積為0可得結(jié)果.【詳解】M + B = （l,2 + /l）,因?yàn)椋ㄈf+所以（M + B）萬=0,所以lxl

2、+ 2（2 + ；t） = 0,得2 =2應(yīng)選：B.在ABC中,角所對(duì)的邊分別為三瓦c,假設(shè)。2=/+。2+乩,那么A=（）30B. 60C. 45D. 120【答案】D【解析】【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】（玉+工2 + + X） + = X, （玉一） +（%尤）+ + （%） + = 52 ,對(duì)于A, （%1 +x2 H = X與（x；+x； H+ 不存在關(guān)系，不一定相等，故錯(cuò)誤；對(duì)于 B,（2g+29+ 2為J + = 2x, Z2x）2+（2%2-2%）2+3 +（2七一2%）2 .九二療，所以數(shù)據(jù)2百,2%,2%的標(biāo)準(zhǔn)差為2s,

3、故正確；222對(duì)于 C,（X+ 2） + = x +2, （%+2 x 2）+（9+2 x 2）Hf（x + 2 x 2） -n = s2 故正確；對(duì)于D,數(shù)據(jù)2%-2,2-2,2%-2的平均數(shù)為212,方差為（2%2 21 + 2+僅22 2嚏+2）2+（2x一2 五 + 2 + = 4s2,故錯(cuò)誤.應(yīng)選：BC.12.在4BC中，角4民。所對(duì)的邊分別是,瓦。，以下說法正確的選項(xiàng)是（）A.假設(shè)24cos3 = c,那么ABC的形狀是等腰三角形AB = 272，ZB = 45,假設(shè)AC = 3,那么這樣的三角形有兩個(gè)C.假設(shè)A = 60。, = 5,那么ABC面積的最大值為百D.假設(shè)&4BC的面

4、積S = （/+c2-/）, cp那么/的最大值為1【答案】ACD【解析】【分析】求得。=力判定ABC的形狀是等腰三角形.選項(xiàng)A判斷正確;求得角。有一個(gè)值.選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤;求得“15。面積的最大值判斷選項(xiàng)C；求得2的最大值判斷選項(xiàng)D. c【詳解】選項(xiàng)A：由2qcos5 = c,可得2ax選項(xiàng)A：由2qcos5 = c,可得2ax,化簡(jiǎn)得Q=。，貝的形狀是等腰三角形.判斷正確;2aca2+c2-h2 TOC o 1-5 h z 選項(xiàng) B：由 AB = 2 &，NB = 45, AC = 3,那么有 sin/C = sin/8 = x 受=2 AC323由 ABAC,可得 NC/3 = f,那么

5、NC（0,；1,cos/C = 4I 4J3那么滿足條件的三角形僅有一個(gè).判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng) C：由 A = 60,a = 5, nJ- W 25 = h2 +c2 - 2/?ccos 600 = h2 +c2 - he那么25 + c = +c2 22A （當(dāng)且僅當(dāng)匕=。時(shí)等號(hào)成立），解之得秘（25那么ABC面積S = -/7csin60 V3 .判斷正確； 24選項(xiàng) D：由ABC的面積 S =-（h2 +c2 - a2,可得，csin A = x2/?ccosA 4 1724化簡(jiǎn)得tanA = JL又A0,兀），那么A = g又= ,那么那么2 =嗎1,（當(dāng)且僅當(dāng)8 = C = g時(shí)等號(hào)成立）

6、 333csin C3即2的最大值為1 .判斷正確. c應(yīng)選：ACD三、填空題（此題共4小題，每題5分，共20分.）.加eR ,復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)（加2-2m-3）+ （m2-4m）i的點(diǎn)位于第三象限內(nèi)，那么m的取值范圍是【答案】（0,3）【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限內(nèi)，列出相應(yīng)的不等式組，解得答案.【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（蘇-2m-3,加24根），該點(diǎn)位于第三象限內(nèi),那么滿足m2 -2m-3 0m -4m 0-1 m 30 m 4，所以0相0,個(gè)骰子連續(xù)拋擲兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次為，b,記為（。1），所有可能共36種, 其中滿足題意的有(3), (3,2), (4

7、,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6),共 17 種.17故使得關(guān)于x的方程f 分+人=。有2個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根的概率為/. 3617故答案為： 36.點(diǎn)”是正六邊形A5c。防內(nèi)部（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，43 = 4,那么加.血的最大值為【解析】【分析】通過分析圖形，將求解涼麗的最大值，轉(zhuǎn)化為求正六邊形內(nèi)部（包含邊界）一點(diǎn)到A3邊中點(diǎn)N的距離 的最大值，利用幾何意義解決問題【詳解】如圖，設(shè)A8的中點(diǎn)為N,連接MN,那么遍=一溫 QAB

8、= 4那么網(wǎng)=|西=2加荻=（雨+網(wǎng)（堿+網(wǎng)=|阿2 -網(wǎng)2 因?yàn)辄c(diǎn)為正六邊形A5CD所內(nèi)部（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)?；螯c(diǎn)E重合時(shí)，|麗取得最大值;在 ADCB 中DC = CB = 4,/DCB = 3在 ADCB 中DC = CB = 4,/DCB = 3四二產(chǎn)匚短或不=46易知，DN= #6)2+2? = 2713所以最大值為52 - 4 = 48.故答案為：48.四、解答題17.復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，且分是實(shí)數(shù).4I 1（1）求復(fù)數(shù)Z；（2）假設(shè)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（ + z）2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.3【答案】（1）不（2） 一0,一彳【解析】【分析】（1）設(shè)2=疝

9、且mwO, weR,利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么化簡(jiǎn)行，結(jié)合條件列方程求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意 4I 1義列不等式求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.設(shè) z=i位且zwO, me R ,z 3 = mi 3 =（加-3）（2-i） = m-6 +（2m4-3）i TOC o 1-5 h z 2+T-+T-（2 + i）（2-i） 523因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以2加+3=0,解得m=-弓， J I JL乙故復(fù)數(shù)z = -9i；依題意，（q + z）= a2 -3m + -i2 =（片 一?）一？泊,）a2 0,因?yàn)閺?fù)數(shù)（ + z）-所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，所以 4-3a 0,、3（解得。-2,故實(shí)數(shù)4的取值范圍為-8,-彳

10、.18.新冠肺炎疫情期間，某市為了 了解本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從市居民中隨機(jī)抽取假設(shè)干居民進(jìn)行評(píng)分（總分值為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖，評(píng)分在70,90的居民有2200人.求頻率分布直方圖中。的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；從頻率分布直方圖中，估計(jì)本次評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和平均數(shù)(精確到0.1);設(shè)該市居民為50萬人，估計(jì)全市居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ髟u(píng)分在85分以上的人數(shù).【答案】0.025, 4000人(2)眾數(shù)為850 平均數(shù)80.7(3)212500【解析】【分析】(1)首先根據(jù)頻率和為1,求，再根據(jù)落在區(qū)間70,90的居民有2200人，求調(diào)查的總?cè)藬?shù);(2)根據(jù)眾數(shù)和平均數(shù)公式

11、，即可求解；(3)首先計(jì)算評(píng)分在85分以上的頻率，再計(jì)算人數(shù).有頻率分布直方圖知(0.002+ 0.004+ 0.014+ 0.020 +0035 + a)xl0 = l即 10 x(0.075 + 4) = 1,解得”0.0252200設(shè)總共調(diào)查了 人，那么一吆=(0.020 + 0.035)x10, n解得 = 4000,即調(diào)查的總?cè)藬?shù)為4000人；最高小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)，可得眾數(shù)為四戶=85.0,由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為：0.02、0.04、0.14、0.20、0.35、0.25,所以設(shè)平均數(shù)為三，那么 5=45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2

12、+85x0.35+95x0.25 = 80.7由頻率分布直方圖知評(píng)分在85分以上的頻率為竽+ 0.25 = 0.425所以估計(jì)該市居民評(píng)分在85分以上的人數(shù)為:500000 x0.425 = 21250019.某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解全校學(xué)生本學(xué)期開學(xué)以來(60天)的課外閱讀 時(shí)間，學(xué)校采用分層抽樣方法，從中抽取10。名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查.將樣本中的“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”按 學(xué)生的課外閱讀時(shí)間(單位：時(shí))各分為5組0, 10)、10, 20)、20, 30生30, 40)、40, 50,得到頻 率分布直方圖如下圖.1頻率 0.035 0.025 -I0.0051

13、頻率0.0400.030 T0.005 ,。620 30 40 50課外閱讀時(shí)間0 1020304050課,閱讀時(shí)間 初中生組高中生組估計(jì)全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在30, 40)小時(shí)內(nèi)的總?cè)藬?shù)是多少；(2)從課外閱讀時(shí)間缺乏10小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2個(gè)初中生的概率；(3)國(guó)家規(guī)定，初中學(xué)生平均每人每天課外閱讀時(shí)間不少于半個(gè)小時(shí).假設(shè)該校初中學(xué)生課外閱讀時(shí)間小于國(guó)家 標(biāo)準(zhǔn)，那么學(xué)校應(yīng)適當(dāng)增加課外閱讀時(shí)間，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，該校是否需要增加初中學(xué)生的課外閱讀 時(shí)間？并說明理由.【答案】(1)720人工10(3)需要增加，理由見解析【解析】【分析】(1)由分層抽樣的特點(diǎn)可分別求得

14、抽取的初中生、高中生人數(shù)，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知初中生、高 中生課外閱讀時(shí)間在30, 40)小時(shí)內(nèi)的頻率，然后由頻數(shù)=樣本容量x頻率可分別得初中生、高中生課外閱 讀時(shí)間在30, 40)小時(shí)內(nèi)的樣本學(xué)生數(shù)，最后將兩者相加即可.(2)記“從閱讀時(shí)間缺乏10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，至少有2個(gè)初中生”為事件A ,由頻數(shù)=樣 本容量x頻率/組距x頻率可分別得初中生、高中生中，閱讀時(shí)間缺乏10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，然后用列舉法 表示出隨機(jī)抽取3人的所有可能結(jié)果以及事件A的結(jié)果，從而得P(A).(3)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表來計(jì)算樣本中的所有初中生平均每天閱讀時(shí)間，并與30 小時(shí)比擬大

15、小，假設(shè)小于30小時(shí)，那么需要增加，否那么不需要增加.由分層抽樣知，抽取的初中生有100X1。二= 6。人,高中生有100-60 = 40人.1800 + 1200初中生中，課外閱讀時(shí)間在DO, 40)小時(shí)內(nèi)的頻率為：1-(0.005 + 0.03 + 0.04 + 0.005)x10 = 0.20 ,學(xué)生人數(shù)為 0.2x 1800 = 360 人.高中生中，課外閱讀時(shí)間在30, 40)小時(shí)內(nèi)的頻率為：-(0.005 + 0.025 + 0.035 + 0.005)x 10 = 0.3 ,學(xué)生人數(shù)約有0.3x1200 = 360人，,全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在30, 40)小時(shí)內(nèi)學(xué)生總?cè)藬?shù)為36

16、0 + 360 = 720人.記“從閱讀時(shí)間缺乏10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,至少有2個(gè)初中生”為事件A ,初中生中，閱讀時(shí)間缺乏10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為0.005x10 x 60 = 3人，高中生中，閱讀時(shí)間缺乏10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為0.005x10 x40 = 2人.記這3名初中生為A, B, C,這2名高中生為d, %那么從閱讀時(shí)間缺乏10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，所有可能結(jié)果共有10種，即 ABC, ABd , ABe , ACd , ACe, Ade, BCd , BCe , Bde , Cde ,而事件A的結(jié)果有7種，它們是：ABC, ABd , ABe, ACd, AC

17、e, BCd , BCe,7.至少抽到2名初中生的概率為P(A)=.樣本中的所有初中生平均每天閱讀時(shí)間為：5 x 0.05 + 15 x 0.3 + 25 x 0.4 + 35 x 0.2 + 45 x 0.05 = 24 (小時(shí))，而60 x0.5 = 30 (小時(shí))，24 5 又因?yàn)橐?2而，所以AP = 7TAB + x7 A3,又因?yàn)辄c(diǎn)B, P,。共線3/19/t251“111= 1 9 故 2 =一32 9A921.在sin(5- A) = 8g ,2 一廿=1q_49 ,5瓜z = 14/?sin A這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在問題中的橫 49線上，并解答問題.2乃問題：在ABC中

18、，角4 B,。所對(duì)的邊分別為。，b, C.。=c = 7 ,一 J【分析】 根據(jù)余弦定理可求出結(jié)果.【詳解】依題意得cosA=3=,依題意得cosA=3=,2bc2bc 2X0 A180,所以 4 = 120。.X0 A =5遮71【解析】【分析】(1)假設(shè)選，結(jié)合可得sin(23) =述，那么可求出3(25-2)耳，從而可求得cos28 = cos(28T + g, 34934933然后利用半角公式可求出sin B ,再利用正弦定理可求出b的值；假設(shè)選，由結(jié)合余弦定理可求出cos B, 再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出sinB,然后利用正弦定理可求出匕的值；假設(shè)選，由正弦定理可得a ，再結(jié)合50

19、a = 14/?sin A可求出力的值；sin A 3(2)由(1)可得sinB = 83,得cosB的值，從而可求得tanB,再利用二倍角公式可得tan28 ,進(jìn)而可14求出tan2A的值選，因?yàn)閟in(B-=, A + B = ti-C = , TOC o 1-5 h z 493所以 sin(2B 一 ：)= ，B A (0,),所以 2B e (0,),所以 cos(2B -y) = Jl - sin 2 (23-令=j -(3 =,Jr jr所 以 cos 2B = cos(2B -一)+ 一兀兀兀兀=cos(28 )cos sin(28 )sin 3333471873V323-XX=

20、,49249298 I 23所以.吟仁恒羽=4=亞V 2 2147/G又因?yàn)? =白，所以八粵=sin B sin CsinC 32選，因?yàn)? 一片=11一49 , TOC o 1-5 h z n 儲(chǔ)+(?-從 儲(chǔ)_/+49110 49 + 4911所以 cosB =,2ac14。14。147T因?yàn)锽e(0,4)- J所以 s i n 5 = V1-cos2B =a /l-()2 =巫V 1414又因?yàn)閟in B sin C7x迪，所以八郊=T=5.smC V3Tq _ c _7_ 14G選,在 ZiABC 中,sin A sinC . 2兀 3sm3_a 14乂 5 島= 14bsinA,即

21、； =麗所以=言8 ,所以人=5 5y 33由(1)得sin8 = 之,又。143所以 cosB = /1 -sin2 B = j -(了11, 14所以 tan5 = 4g,所以tan2B2 tan B2x比11l-tan2B 5昌 231 一 ()112jl所以 tan 2A = tan 2(兀一 B - C) = tan(25)2兀c”tantan 2832兀1 + tan tan 283匹5567-不二 39&尋漁F2322.如圖，在三棱柱 ABC 4gG 中， NB4C = 90。，AB = AC = l, BB, =B,C = 2, /AB g=60。.證明：平面43旦4 平面A4

22、CC；求二面角8-CG - A的余弦值.(注：本小題用空間直角坐標(biāo)系作答，不給分) 【答案】(1)證明見解析；Q).7【解析】【分析】連接用余弦定理求出AB.根據(jù)勾股定理證明AC 1A4,再證明AC，平面48旦4即可;(2)過用作用后垂直于AA于乙 過E作EF垂直于CG于凡 連接B/,那么/烏正是二面角耳-CQ - A的平面角，解與后廠即可.(1)連接A片，在AAB片中，由余弦定理得:AB =+ AB2 - 2BB, AB - cosZ ABB, = J4 + l- 2x2xlx1又 AC = 1, B、C = 2, ：. ABAC2 = B1C2 9 ：. AC 1 AB,又AC_LAB,A

23、B.AC_L平面ABA4 ,又ACu平面ACG4，平面JL平面A41GC ；由(1)知平面ABga J_平面A4CC,過點(diǎn)用作用E垂直于AA于,那么與后，面ACGA，那么與E，CG，過E作垂直于CG于尸，連接與尸，： BEcEF = E , B1E、E尸u平面用后尸，J CC. 平面B.EF , J NB/E是二面角的平面角,在Rt破4 中，B1E=AR AB=i3 1A4, BB1 2由知CA,平面A網(wǎng)A. CA_LA4，那么A即4為矩形，EF CC, ：.EF=AC=h在 RtZXgE尸中，B1F = JbE+EF2 =叵,cos/B尸=空=獨(dú)L 7所以三角形ABC的面積為S.c = ；x

24、 4義4血=8近.應(yīng)選：B.5.三棱柱A8C AgG中，人4與AC、AB所成角均為60。，ZBAC = 90,且45 = AC = A4.那么4也與AC；所成角的余弦值為（）d-TA. BB.立33【答案】A【解析】【分析】 延長(zhǎng)C4至。，使得4）=起，AQ/AG，異面直線A啰與AG所成角為ND4出或其補(bǔ)角.設(shè)AB = AC = AA,=a,求出4啰。中的三邊長(zhǎng)后可得結(jié)論.【詳解】如圖，延長(zhǎng)C4至。，使得AD=AC,連接A。，30,那么由AD與AG平行且相等得平行四邊形AD4C，所以 A。/4。1，所以異面直線與A&所成角為/。4田或其補(bǔ)角.設(shè) =那么 ACG4 是菱形且 NC44 =60。，

25、所以 AC； =2x4041160。= H ,AD y/3a，A3A是等邊三角形，4B = a,又ZDAB = /G4B = 90。，所以 DB = 6a，那么 A32 + 5Q2 = 4q2,所以 NA3O = 90。,AiB q V3 cos ZZM B = = j=-=,AD 島 3所以異面直線A5與AG所成角的余弦值是在.3 應(yīng)選：A.區(qū)間），畫出頻率分布直方圖（如圖），以下說法不正確的選項(xiàng)是（90-100成績(jī)60-7070-8080-9050-606.某校組織全體學(xué)生參加了主題為“奮斗百年路，啟航新征程”的知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了 100名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開4頻率/組距 0.050.045 0.040.035 0.030.025 0.020.015 0.010.005 0A.在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間90,100）內(nèi)的學(xué)生有10人B.這100名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為85 c.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的平均分?jǐn)?shù)為75D.這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為811【答案】C【解析】【分析】A由直方圖求90,1