信度理論課件

1、第七章信度理論因此，信度理論就是研究這種加權(quán)過程的理論，包括信度權(quán)重公式的推導(dǎo)，以及對(duì)公式中出現(xiàn)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)等內(nèi)容。當(dāng)Z的值接近1時(shí)，表明實(shí)際損失數(shù)據(jù)提供的信息相當(dāng)充分，據(jù)此足以獲得正確的估費(fèi)。而當(dāng)Z的值接近0時(shí)，則只能基于先驗(yàn)信息估計(jì)，得到先驗(yàn)保費(fèi)的估計(jì)值。特別的，當(dāng)Z=1時(shí)，稱為完全信度（Full Credibility）。此時(shí)，只需根據(jù)實(shí)際損失數(shù)據(jù)，利用區(qū)間估計(jì)的方法計(jì)算保險(xiǎn)費(fèi)。一般的，當(dāng)0Z1時(shí)，稱為部分信度（Partial Credibility）。在此種情況下，就需要研究如何合理確定Z值。信度理論（Credibility Theory）萌芽于20世紀(jì)20年代，至今已有80年的歷史

2、。最早的信度理論被意外險(xiǎn)精算師應(yīng)用于計(jì)算勞工賠償保險(xiǎn)費(fèi)率。信度理論泛指在獲得索賠記錄時(shí)系統(tǒng)地調(diào)整保險(xiǎn)費(fèi)率的各種概念和方法。當(dāng)從一組保險(xiǎn)合同中獲得的數(shù)據(jù)不充分，因而無(wú)法提供風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)率的可靠估計(jì)時(shí)，就需要用到信度理論的方法。信度理論在非壽險(xiǎn)精算理論與實(shí)務(wù)中具有重要地位。非壽險(xiǎn)合同是補(bǔ)償性合同，非壽險(xiǎn)的損失與每個(gè)賠案的具體情況以及相應(yīng)的法規(guī)情況密切相關(guān)，因而損失經(jīng)驗(yàn)需要經(jīng)常修正以適應(yīng)不斷變化的外部環(huán)境。非壽險(xiǎn)精算師在厘定費(fèi)率時(shí)，既要依據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)（先驗(yàn)信息），也要根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)情況的新變化加以調(diào)整。這是由非壽險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)的連續(xù)性所決定的。同時(shí)，在非壽險(xiǎn)精算中，一般不要求所有的估計(jì)都是無(wú)偏估計(jì)，只要求若干個(gè)估計(jì)的總

3、合是無(wú)偏的，這就是需要采用信度方法對(duì)各個(gè)估計(jì)進(jìn)行合理的加權(quán)。信度理論在精算科學(xué)中的應(yīng)用可分為兩種類型第一類是橫向應(yīng)用，即在估計(jì)某個(gè)保險(xiǎn)人、某風(fēng)險(xiǎn)類別或某個(gè)地區(qū)的索賠頻率、索賠額或總損失時(shí)，若最相關(guān)的數(shù)據(jù)不充分，則可將該數(shù)據(jù)與從更為廣泛的群體中得到的輔助性數(shù)據(jù)加以求和，這種輔助性數(shù)據(jù)可由其它風(fēng)險(xiǎn)類別、地區(qū)或其他保險(xiǎn)人的經(jīng)驗(yàn)得到。第二類是縱向應(yīng)用，也就是將信度方法用于時(shí)間序列，將序列本身早期的數(shù)據(jù)作為輔助性數(shù)據(jù)，與最新的觀察值作加權(quán)平均，得到我們所需要的估計(jì)值。例如，在汽車損失險(xiǎn)中，保險(xiǎn)公司將上一年度損失頻率和原有費(fèi)率利用信度方法進(jìn)行加權(quán)平均，得到更適應(yīng)新情況的費(fèi)率。信度理論有兩種基本方法： 有限

4、波動(dòng)（Limited Fluctuation）信度，旨在控制數(shù)據(jù)中隨機(jī)波動(dòng)對(duì)估計(jì)的影響。最大精度（Greatest Accuracy）信度，試圖使估計(jì)誤差盡可能的小。在最大精度信度方法中發(fā)展最完善的方法是最小平方信度（Least Squares Credibility），它力圖使估計(jì)誤差平方的期望值最小。值得注意的是，在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)理論中也有許多用數(shù)據(jù)來調(diào)整更新前期估計(jì)的方法，如貝葉斯分析（Bayesian Analysis）方法。信度理論和貝葉斯分析一樣，也同樣用于修正先驗(yàn)信息，因此，信度尤其是最小平方信度有時(shí)也稱為貝葉斯信度。7.2 平衡 模型 組間平方和（記為SSB ）問題：方法：方差分析（

5、ANOVA）組內(nèi)平方和（記為SSW ）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 例7.2.1 （一個(gè)非齊次保單組合）設(shè)我們有如下的對(duì)3 個(gè)組5 年的觀測(cè)數(shù)據(jù)：結(jié)論是這些數(shù)據(jù)表明每組的平均理賠不全相等模型改進(jìn)：把理賠統(tǒng)計(jì)量作如下分解其 中 和，是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，滿足我們稱這樣的模型為方差分量模型 模型中每個(gè)分量的解釋如下： 1 是總平均，它等于該保單組合中任何一個(gè)保單持有人的理賠額的期望值2. 表示第 j 個(gè)合同 j 的理賠與第 個(gè)合同理賠均值之間的隨機(jī)偏差 .3. 分量 ,表示理賠偏離長(zhǎng)期平均值的大小 定理7 . 2 . 2 （平衡 模型；齊次估計(jì)量）設(shè)合同J 在時(shí)間段t 的理賠額 可以表示為如下的獨(dú)立隨機(jī)分量之和：

6、的最佳無(wú)偏預(yù)報(bào)量等于信度保費(fèi)其中是最優(yōu)信度因子 是 m 的整體估計(jì)，且是 m 的組內(nèi)估計(jì)值。這個(gè)關(guān)于z的二次多項(xiàng)式當(dāng)在z取如下值時(shí)達(dá)最?。荷厦孀詈笠粋€(gè)等號(hào)可以通過檢驗(yàn)或補(bǔ)充如下一些必要的協(xié)方差的形式來證明 注7.2.3（最優(yōu)信度因子的漸近性） 其中 這個(gè)均方誤差可以改寫成如下方差加上平方偏差之和：估計(jì)量必然是無(wú)偏的 右邊的第一項(xiàng)可以被改寫為它有一個(gè)最優(yōu)值例7 . 2 . 5 （例7.2.1中的信度估計(jì)） EMSB=aT+s2EMSW=s2例7.2.1最終的信度因子 注7 . 2 . 6 （估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)） 對(duì)每一個(gè)隨機(jī)變量Y ，我們有7 . 3 更一般的信度模型注7.3.3 （通過一些風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)來

7、參數(shù)化）方差分量模型,即使在放松了一些獨(dú)立性假設(shè)后在實(shí)際應(yīng)用中有時(shí)仍顯過于苛刻 這是一個(gè)交叉分類模型 7 . 4 模型( 模型）我們需要用到下面一些記號(hào): 這些最優(yōu)值給出了風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi) 的最小均方誤差估計(jì)量如下 該最優(yōu)值是 和 的估計(jì)量分別基于下面的組間加權(quán)平方和 以及組內(nèi)加權(quán)平方和下面的定理要推導(dǎo)出一些無(wú)偏估計(jì)量，它們不依賴于通常未知的這些參數(shù) 定理7.4.2 （無(wú)偏參數(shù)估計(jì)）在 模型中,統(tǒng)計(jì)量是對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量證明: 的證明是顯然的 對(duì)于 我們有注7.4.3（估計(jì)量的負(fù)性） 7.5 關(guān)于汽車保險(xiǎn)理賠次數(shù)的負(fù)二項(xiàng)模型可以證明,在伽瑪 - 泊松模型中，和的極大似然估計(jì) 和為且 是如下方程的解：利用本節(jié)的模型，我們想盡可能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)一個(gè)保單持有人在接下來的時(shí)間段 產(chǎn)生的理賠次數(shù) 接下來一年理賠次數(shù)的最佳預(yù)報(bào)量是 的后驗(yàn)期望：預(yù)報(bào)（7.56