專題六 第4講 離心率范圍的求法

1、4/4第4講離心率范圍的求法圓錐曲線離心率的范圍是高考的熱點題型，對圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡潔例(1)已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為()A.eq f(4,3) B.eq f(5,3) C2 D.eq f(7,3)答案B解析方法一由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，故聯(lián)立，解得|PF1|eq f(8,3)a，|PF2|eq f(2,3)a.在PF1F2

2、中，由余弦定理，得cosF1PF2eq f(f(64,9)a2f(4,9)a24c2,2f(8,3)af(2,3)a)eq f(17,8)eq f(9,8)e2，要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，當(dāng)cosF1PF21時，解得eeq f(5,3)，即e的最大值為eq f(5,3)，故選B.方法二由雙曲線的定義知，|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，|PF1|eq f(8,3)a，|PF2|eq f(2,3)a，|F1F2|2c，eq f(8,3)aeq f(2,3)a2c，eq f(c,a)eq f(5,3)，即雙曲線的離心率e的最大值為eq f(5,3).(2)已知P

3、是以F1，F(xiàn)2為左、右焦點的橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上一點，若F1PF2120，則該橢圓的離心率的取值范圍是_答案eq blcrc)(avs4alco1(f(r(3),2)，1)解析當(dāng)動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角F1PF2逐漸增大，當(dāng)P點位于短軸端點P0處時，F(xiàn)1PF2最大存在點P為橢圓上的一點，使得F1PF2120，在P0F1F2中，F(xiàn)1P0F2120，在RtP0OF2中，OP0F260，eq f(c,b)eq r(3)，即eq f(c2,a2c2)3，即eq f(c,a)eq f(r(3),2)，eq f(r(3),

4、2)eb0)的左頂點A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點B ，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若eq f(1,6)|k|eq f(1,3)，則橢圓C的離心率的取值范圍是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(5,6)解析設(shè)F(c,0)，將xc代入橢圓的方程，可得eq f(c2,a2)eq f(y2,b2)1，解得yeq f(b2,a)，Beq blc(rc)(avs4alco1(c，f(b2,a)，又A(a,0)，直線AB的斜率為keq f(f(b2,a)0,ca)eq f(a2c2,aac)eq f(ac,a)(1e)eq f(1,6)|k|eq f(1,3)，0

5、e1，eq f(1,6)1eeq f(1,3)，解得eq f(2,3)eb0)，根據(jù)橢圓與正方形的對稱性，可畫出滿足題意的圖形，如圖所示，因為|OB|a，所以|OA|eq f(r(2),2)a，所以點A的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，又點A在橢圓上，所以eq f(a2,4a2)eq f(a2,4b2)1，所以a23b2，所以a23(a2c2)，所以3c22a2，所以橢圓的離心率為eeq f(c,a)eq f(r(6),3).2已知中心在原點的橢圓C1與雙曲線C2具有相同的焦點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P為C1與C2在第一象限的交點，|PF1|

6、F1F2|且|PF2|5.若橢圓C1的離心率e1eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)，f(2,3)，則雙曲線C2的離心率e2的取值范圍是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(5,3) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)，2)C(2,3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，3)答案C解析設(shè)橢圓的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，由|PF1|F1F2|且|PF2|5知，2a52ce1eq f(c,a)eq f(2c,2c5).設(shè)雙曲線的方程為eq f(x2,m2)eq f

7、(y2,n2)1(m0，n0)，同理，可得e2eq f(2c,2c5).由e1eq f(2c,2c5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)，f(2,3)知，2ceq blc(rc)(avs4alco1(f(15,2)，10)，故e2eq f(2c,2c5)(2,3)3已知P是橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上的一點，橢圓長軸的兩個端點為A，B，若APB120，則該橢圓的離心率的取值范圍是_答案eq blcrc)(avs4alco1(f(r(6),3)，1)解析設(shè)Q是橢圓的短軸的一個端點，則AQBAPB120，于是AQO60，aeq r(3)b，即a

8、23(a2c2)，eq f(c2,a2)eq f(2,3)，又0e0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|2c，過F2作x軸的垂線，與雙曲線在第一象限的交點為A，點Q的坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(c，f(3a,2)且滿足|F2Q|F2A|，若在雙曲線C的右支上存在點P使得|PF1|PQ|F2A|，得eq f(3a,2)eq f(b2,a)，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2eq f(3,2)，所以eeq f(c,a)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2)eq r(1f(3,2)eq f(r(10),2).因為|PF1|PQ|2a|PF2|PQ|2