龍de船人單跨量的彎曲理論課件

1、單跨梁的彎曲理論第二章教學(xué)目的 1.通過本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，能夠掌握梁的彎曲微分方程及其解； 2.熟練掌握梁的支座及邊界條件，梁的彎曲要素及計算； 3.掌握梁的復(fù)雜彎曲； 4.了解梁的內(nèi)力計算，剪力對梁的彎曲變形影響重點及難點 1.符號法則，邊界條件； 2.初參數(shù)法求梁的彎曲要素； 3.疊加法求梁的彎曲要素，畫彎矩圖； 2-1 梁的彎曲微分方程式及其積分基本概念： 梁： 受橫向外載荷作用而發(fā)生彎曲變形的桿件。單跨梁：僅在兩端有支座支持的梁，稱之為“單跨梁”。基本假設(shè)：平斷面假設(shè)（在純彎曲條件下嚴格滿足） 。一、梁的彎曲微分方程1、符號法則： （1）坐標(biāo)系：采用右手坐標(biāo)系，y軸向下為正； （2）橫向

2、載荷：P、q(x)向下為正 （3）梁的撓度v (x) ：向下為正。 （4）梁的斷面轉(zhuǎn)角(x)：順時針方向為正 （5）梁斷面的彎矩M(x) ：在左斷面逆時針方向為正， 右斷面順時方向為正（使梁產(chǎn)生上凸變形為正） 。 （6）梁端面的剪力N (x) ：在左斷面向下為正，在右斷面 向上為正（逆時針轉(zhuǎn)為正）本節(jié)尋求梁撓度曲線方程式的基本方法：初參數(shù)法2、假設(shè)（1）平斷面假設(shè)：指梁在彎曲前的斷面在彎曲后仍為平面，即忽略了剪應(yīng)力引起的翹曲（翹曲：對于非圓截面桿件受扭矩時，橫截面的周長將改變原來的形狀，并不在同一平面內(nèi)，因而發(fā)生翹曲）； 對于細長梁（高跨比很小時 ），梁內(nèi)的正應(yīng)力時彎曲切應(yīng)力的十幾倍甚至幾十倍

3、，即剪力對線性分布的正應(yīng)力的影響很小。 （2）平面彎曲假設(shè)：載荷作用在梁的對稱平面內(nèi)，無斜彎和扭轉(zhuǎn)，軸線為平面曲線； （3）小變形條件： （4）材料符合胡克定律：梁的彎曲微分方程式如下圖一單跨直梁。假定此梁有一對稱面xOy，并規(guī)定x軸在梁的中性層上，向右為正，軸向下為正，軸,與組成右手坐標(biāo)系統(tǒng)。梁的外荷重限于在xOy平面內(nèi)，于是梁將發(fā)生xOy平面內(nèi)的彎曲。彎曲時，x軸上點的垂向位移叫做梁的“撓度”，v(x)叫做梁的“撓曲線”，v的正向與y軸的正向相同。PqyxOdxxyzV（x）yxO（1）小變形條件：根據(jù)平斷面假設(shè)，梁上原來相距為 dx的兩個斷面變形后將相互轉(zhuǎn)動 圖(a)，(b)為梁的斷面。

4、并規(guī)定彎矩 M正向如圖所示: oxyydxq(x)dxMNN+dNM+dM于是：(a)(b)(2-1)(2)由微積分學(xué)分學(xué)知，該坐標(biāo)系下小變形時(3)梁斷面上彎曲正應(yīng)力合力為零，即(2-5)（因轉(zhuǎn)角變化率為負，順時針為正）梁斷面對z軸的慣性矩(2-6)(2-8)3、基本公式（2-9）梁的彎曲要素：彎矩M，剪力N、轉(zhuǎn)角、撓度v(2-13)Olxy(2-14)(2-15)現(xiàn)應(yīng)用這個概念于在跨度中受集中力作用的梁。OblxyPamq(x)cxd綜上所述，如圖對于一般荷重作用下的撓曲線方程式可表示如下：POxbcyadq(x)m(2-17) 2-2 梁的支座及邊界條件梁的彎曲微分方程的積分常數(shù)需要用梁

5、端的邊界條件來確定邊界條件：梁端彎曲要素的特定值或彎曲要素之間的特定關(guān)系，取決于梁端的支座情況。下面介紹幾種船舶結(jié)構(gòu)中常用的邊界條件：1.自由支持端（簡支端）2.剛性固定端3.彈性支座4.彈性固定端5.完全自由端6.一般情況1、自由支持端（自由支持在剛性支座上)特點：不允許梁端發(fā)生撓度，而對梁兩端轉(zhuǎn)動無限制。如圖：2、剛性固端（剛性固定在剛性支座上）特點：它阻止梁端發(fā)生撓度和轉(zhuǎn)動如圖: RR3、彈性支座如果前面的自由支持端，它在受力后將發(fā)生一個正比于支座力的撓度，叫做彈性支座。vvAA左端斷面：右端斷面：彈性支座邊界條件為：自由支持在彈性支座 上的邊界條件為：剛性固定在彈性支座 上的邊界條件為

6、：4、彈性固定端MM等價于節(jié)點受到的力梁受到的力大小相等方向相反MM柔度系數(shù)：單位彎矩引起的轉(zhuǎn)動角度。K剛度系數(shù)：單位位移引起的力矩彈性固定在剛性支座上其邊界 條件為：在船體結(jié)構(gòu)計算中，雙層甲板船的上甲板橫梁與甲板間肋骨對橫梁的作用可視為彈性固定端，則甲板橫梁可視為以單跨梁。見下圖5、完全自由端：梁端沒有支座，彎矩剪力都為零6、一般情況：彈性固定在彈性支座上時：例1 如圖，求兩端自由支持在剛性支座上，受均布荷重作用的梁的撓曲線qOylx思考：1、若梁兩端為自由支持在彈性支座的邊界，撓曲線及內(nèi)力分布如何？2、若改變梁兩端彈性支座的剛度系數(shù)或柔度系數(shù)，撓曲線及內(nèi)力分布如何？例2 如圖， 求受集中力

7、作用的單跨梁的撓曲線方程式。梁的左端為彈性固定端，柔性系數(shù)為 ；梁的右端為彈性支座，柔性系數(shù)為PAxy例3 如圖，兩端剛性固定的梁，不受外荷重，當(dāng)其由支座發(fā)生位移時，求其撓曲線與斷面彎矩與剪力。xyl解：1、建立如右圖坐標(biāo)系 2、對梁進行受力分析myxl補例：如左圖所示兩端簡直單跨梁，梁長為l，右端受一集中力矩m作用，求梁兩端轉(zhuǎn)角。o解：1、建立如圖所示 坐標(biāo)系；2、受力分析，此梁上無外載荷；3、根據(jù)（2-14）寫出梁撓曲線方程0l4.左端邊界條件，簡化撓曲線方程5.右端邊界條件，求解另外兩個初參數(shù)v1m 2-3 梁的彎曲要素表及應(yīng)力計算單跨梁的彎曲要素表由于目前梁的彎曲公式是在小變形與材料符

8、合胡克定律的前提下導(dǎo)得的，所以梁的彎曲要素與梁上的外載荷成正比，或梁的彎曲要素與外力成線性關(guān)系。這樣，如果梁上受到幾種不同的外力作用時，就可以用 “疊加原理”（Principle of superposition)來進行計算。例1 如圖，求梁中點撓度、端點轉(zhuǎn)角并畫出梁的彎矩圖、剪力圖。梁上所受的外力為集中外彎矩m及集中力P,并已知m= 0.2Pl。PvM解：將此梁分為一個僅受外彎矩m的梁及一個僅受集中力P的梁，疊加起來得：Pvmv2v1m0.15Pl0.2Pl0.2Pl0.25Pl0.7P0.3P0.2P0.5P0.5PP0.15Pl0.2PlQ例2 如圖，計算一端剛性固定另一端自由支持梁的中

9、點撓度，右端轉(zhuǎn) 角并畫出梁的彎矩、剪力圖。解：PPQMPQPQM彎矩圖剪力圖例3 計算如圖兩端剛性固定梁的彎曲要素解：mM1M2mAP例4 計算如圖一端彈性固定，另一端彈性支座梁的中點撓度、端點轉(zhuǎn)角并畫出彎矩、剪力圖。已知v1Pm解：先求出彈性固定端彎矩：梁化為：v1APPm梁的應(yīng)力(2-34)h梁的剪應(yīng)力產(chǎn)生的原因 矩形斷面：式中：MM+dM(a)剪流(b)S圖yyzzs(a)剪流(b)S圖工字形斷面最大剪應(yīng)力為：具有對稱軸的閉口薄壁盒形斷面Aw為腹板面積 2-4 剪切對梁彎曲變形的影響dxdv2其做法是：不改變基本關(guān)系 ，而是在求出了梁的剪應(yīng)力后， 單獨考慮剪應(yīng)力 產(chǎn)生的彎曲變形，再把所得

10、變形與不考慮剪切時的結(jié)果相加。本節(jié)我們要來考慮剪切對梁彎曲變形的影響。下面分析為什么剪切會引起撓度。在梁中取一個長度為dx的微段來研究暫時先不考慮剪應(yīng)力沿斷面高度的變化，此時如圖，在圖中所示剪應(yīng)力作用下，微段將發(fā)生傾斜，于是就產(chǎn)生了由于剪應(yīng)力的存在而產(chǎn)生的撓度dv2?；靖拍钍聦嵣狭簲嗝娴募魬?yīng)力沿高度不是均勻分布的，在中性軸處剪應(yīng)力最大的，在上下表面剪應(yīng)力為零。因此，梁的剪應(yīng)變必然在中性軸處為最大，在上下表面處為零。平面將發(fā)生翹曲。這樣所述的微段除了發(fā)生剪切撓度以外，斷面不再保持平衡，如圖所示這樣，我們通常把梁的剪切撓度定義為中性軸處剪切應(yīng)變的撓度設(shè)中性軸處的剪切角為 ，則有：負號表示剪力N為

11、負時，剪切撓度v2為正。 此時：撓度變形由彎矩及剪力共同產(chǎn)生下面的問題是：考慮彎矩及剪力影響的撓度表達形式彎矩引起的撓度：(2-43)(2-46)(2-45)(2-44)(2-42)邊界條件時注意到：梁的撓度為v=v1+v2;由于剪切變形在中性軸處的兩端面仍保持垂直，因此認為剪切不影響斷面的轉(zhuǎn)角，從而梁段面的轉(zhuǎn)角仍用下式表示：梁的彎矩與剪力為(2-47)(2-48)(2-49)利用初參數(shù)法求解考慮剪力影響的梁撓曲線方程的基本步驟（1）列出梁的通式表達式（2）列出梁的邊界條件梁的撓度為v=v1+v2;例 計算如圖在自由端受集中力P作用的懸臂梁，考慮剪切的影響求其撓度.。lyxPx=0時，x=l時

12、,M=0及N=-P解：可得：當(dāng)x=l時：討論：靜定問題、非靜定問題考慮剪切對彎曲的影響有什么不同。利用初參數(shù)法求解考慮剪力影響的梁撓曲線方程的基本步驟（1）列出梁的通式表達式（2）列出梁的邊界條件例 計算如圖在自由端受集中力P作用的懸臂梁，考慮剪切的影響求其撓度。lyxP 2-5 梁的復(fù)雜彎曲(1)何謂梁的復(fù)雜彎曲問題（2）梁軸向力對彎曲變形產(chǎn)生影響橫向載荷：梁上受到的是垂直于梁的軸線的荷重， 叫做梁的橫向荷重；縱向荷重：梁上受到的是沿著梁軸向作用的荷 重，叫做梁的縱向荷重；復(fù)雜彎曲：梁上同時受到兩種荷重情況下的彎曲.TTxyxq(x)TTMN梁復(fù)雜彎曲的微分方程式微段靜力平衡方程式：略去高階小量：qMTNM+dMTN+dNdvdx取微段：微分方程式的解，初參數(shù)法yabcdTTmPq(x)推廣到一般情形：x當(dāng)xd時，積分上限為d。(2-59)(2-60)q例 如圖受均布荷重q，兩端自由支持并受軸向外力T作用的梁， 計算其彎曲要素 。TTyxl(2-65)(2-66)復(fù)雜彎曲輔助函數(shù)(2-66)(2-69)(2-68)(2-67)qyTTl如圖， 受均布荷重 q，兩端剛性固定并受軸向拉力T作用的梁xm1m2TT五、軸向力對梁