反常積分斂散性判別

1、第一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2 無窮積分的性質(zhì)及收斂判別一、無窮積分的性質(zhì) 本節(jié)討論無窮積分的性質(zhì), 并用這些性質(zhì)得到無窮積分的收斂判別法.二、非負函數(shù)無窮積分的收斂判別法三、一般函數(shù)無窮積分的收斂判別法 第二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月收斂的充要條件是:一、無窮積分的性質(zhì)證極限的柯西準則,此等價于(無窮積分收斂的柯西準則)無窮積分 定理11.1第三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)1為任意常數(shù),則 即根據(jù)反常積分定義,容易導(dǎo)出以下性質(zhì)1 和性質(zhì)2. 第四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)2第五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月h

2、(x) 在任意 a, u上可積, 且證 因為收斂,由柯西準則的必要性,例1, f (x), g (x),若第六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月再由柯西準則的充分性,第七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月二、非負函數(shù)無窮積分的收斂判別法定理11.2(非負函數(shù)無窮積分的判別法)設(shè)定義在 上的非負函數(shù) f 在任何收斂的充要條件是:證設(shè)第八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月非負函數(shù) f , g 在任何有限區(qū)間a, u上可積, 且定理11.3 (比較判別法) 設(shè)定義在 上的兩個增函數(shù)的收斂判別準則, 從而 F (u) 是單調(diào)遞增的由單調(diào)遞存在 滿足第九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作

3、于2022年6月證 由非負函數(shù)無窮積分的判別法,第二個結(jié)論是第一個結(jié)論的逆否命題,因此也成立. 第十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 判別的收斂性.解顯然設(shè) f (x), g(x) 是 上的非負連續(xù)函數(shù). 證 例3 第十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月推論1 設(shè)非負函數(shù) f 和 g 在任何 a,u 上可積, 且證由于 第十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月證 即 第十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月推論2 設(shè) f 是定義在 上的非負函數(shù), 在任何第十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月限區(qū)間

4、 a, u 上可積.推論3設(shè) f 是定義在 上的非負函數(shù),在任何有說明: 推論3是推論2的極限形式，讀者應(yīng)不難寫出它的證明.第十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 討論的收斂性 ( k 0 ).解 (i)第十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月若無窮積分以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性. 三、一般函數(shù)無窮積分的判別法何有限區(qū)間 a, u上可積,定理11.4 (絕對收斂的無窮積分必收斂)若 f 在任第十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月因此再由柯西準則的充分性, 又對任意 證由柯西準則的必要性, 對因第十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月收斂的

5、無窮積分不一定是絕對收斂的.例5的收斂性.判別解由于第二十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月瑕積分的性質(zhì)與收斂判別, 與無窮積3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別內(nèi)容大都是羅列出一些基本結(jié)論, 并舉 分的性質(zhì)與收斂判別相類似. 因此本節(jié) 例加以應(yīng)用, 而不再進行重復(fù)論證.第二十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月定理11.7 （瑕積分收斂的柯西準則）證柯西準則，此等價于第二十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)1性質(zhì)2 第二十三張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月性質(zhì)3定理11.8 (非負函數(shù)瑕積分的判別法)第二十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月定理11.9

6、 (比較法則)第二十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月推論1第二十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月推論2第二十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月推論3可以判別一些非負函數(shù)瑕積分的收斂性.第二十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1由于第二十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例2解第三十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例3解第三十一張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十二張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月aa 00 a 1a 1I (a)發(fā)散收斂定積分J (a)收斂收斂發(fā)散 (a)發(fā)散收斂發(fā)散第三十三張，PPT共四十

7、三頁，創(chuàng)作于2022年6月*一般函數(shù)的無窮積分的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判別法）證故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性.第三十四張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月使得第三十五張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月因此, 由柯西準則，證 證法1定理11.6 (阿貝爾判別法)由 g 的單調(diào)性,用積分第二中值定理，對于任意的 使得第三十六張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月由柯西準則,證法2第三十七張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月由狄利克雷判別法例6的收斂性.收斂.收斂,所以解第三十八張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月由狄利克雷判別法推知另一方面，狄利克雷判別法條件, 是收斂的；第三十九張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于2022年6月類似可證:第四十張，PPT共四十三頁，創(chuàng)作于