平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)

1、關(guān)于平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)第一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)據(jù)有兩種變化趨勢：集中趨勢和離散趨勢。表示數(shù)據(jù)集中趨勢的指標(biāo)有多個，如平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)）、中位數(shù)、眾數(shù)，使用最多的是算術(shù)平均數(shù)。表示數(shù)據(jù)離散趨勢的指標(biāo)有多個，如極差、平均離差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差，使用最多的是方差與標(biāo)準(zhǔn)差。第二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月資料中各觀察值的總和除以觀察值的個數(shù)所得的商，稱為算術(shù)平均數(shù)，簡稱為平均數(shù)或均數(shù)。用符號 表示。 平均數(shù)的意義： 平均數(shù)用來描述資料的集中性，即指出資料中數(shù)據(jù)集中較多的中心位置,常用于同類性質(zhì)資料間的相互比較。一、集中趨勢第三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)

2、作于2022年6月計(jì)算方法1. 直接法 適用于樣本含量較小的非頻數(shù)資料如果一個含量為n的樣本，其n個觀察值分別用x1、x2xn表示，則它們的平均數(shù)為其中，（Sigma）為總和符號， 表示從第一個觀察值x1累加到第n個觀察值xn，若在意義上已明確時，簡記為x。第四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月常數(shù)的總和等于該常數(shù)的n倍，即代數(shù)和的總和等于總和的代數(shù)和，即總和符號內(nèi)的常數(shù)因子可以提取到總和符號之外，即其中C為常數(shù)（a為常數(shù)）關(guān)于總和符號的幾個性質(zhì)第五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 加權(quán)法如果樣本中有n1個x1，有n2個x2，那么，n1+n2個數(shù)的平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)。同理

3、：各組的次數(shù) fi 是權(quán)衡各組中值 xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此f被稱為是x的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。第六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月在計(jì)算離散型頻數(shù)資料的平均數(shù)時，式中x為組值，f為頻數(shù)，N為總頻數(shù)（f），k為組數(shù)。第七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 表3-150只小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表第八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月在計(jì)算連續(xù)型頻數(shù)資料的平均數(shù)時，式中m為組中值，f、N和k同上式。第九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月組 別組中值m頻數(shù)（f）fm44.2545.029045.7546.529347.2548.01048048.7

4、549.51259450.2551.026132651.7552.544231053.2554.043232254.7555.5291609.556.2557.01162757.7558.515877.559.2560.0212060.7561.54246合計(jì)20010695表3-2 某純系蛋雞200枚蛋重的頻數(shù)分布表 =10695/200 =53.475第十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月平均數(shù)有以下幾個基本特性：（1）平均數(shù)的計(jì)算與樣本內(nèi)每個值都有關(guān)，它的大小受每個值的影響。（2）若每個xi都乘以相同的數(shù)k，則平均數(shù)亦應(yīng)乘以k。（3）若每個xi都加上（或減去）相同的數(shù)A，則平均數(shù)

5、亦應(yīng)加上（或減去） A。第十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月中位數(shù)(median) 將資料中所有觀察值從小到大依次排列，處于中間位置的數(shù)。以Md表示。 適用條件 資料呈偏態(tài)分布或頻數(shù)分布類型不明，以及一端或兩端無確定數(shù)值,這種資料用中位數(shù)作為代表值比用算術(shù)平均數(shù)為好。 非頻數(shù)資料，先將各觀察值由小到大排列，當(dāng)n為奇數(shù)時，第(n+1)/2位置的觀察值即為中位數(shù)，即： Md =x (n+1)/2第十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月其中：L中位數(shù)所在組的下限；i組距；f中位數(shù)所在組的頻數(shù)；n總頻數(shù)；c小于中數(shù)所在組的累積頻數(shù)。當(dāng)n為偶數(shù)時， 和 位置的兩個觀察值之和的二分之一

6、即為中位數(shù)，即： 若資料已分組，并編制成了頻數(shù)分布表，可利用頻數(shù)分布表計(jì)算中數(shù)。第十三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月潛伏期（小時）病例數(shù)f 累計(jì)例數(shù)02525125883244012336231464812158605163721164例某地區(qū)有164人因沙門氏菌食物中毒，其潛伏期資料經(jīng)整理如下表，試計(jì)算中位數(shù)。第十四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月眾數(shù)（Mode）資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)或頻數(shù)最多一組的組中值，記為Mo。第十五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 fmax=24, Mo=22 50只小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表Md=22第十六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)

7、作于2022年6月組 別組中值m頻數(shù)（f）fx44.2545.029045.7546.529347.2548.01048048.7549.51259450.2551.026132651.7552.544231053.2554.043232254.7555.5291609.556.2557.01162757.7558.515877.559.2560.0212060.7561.54246合計(jì)20010695表3-2 某純系蛋雞200枚蛋重的頻數(shù)分布表 =10695/200 =53.475fmax=44, Mo=52.5Md=53.35第十七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月幾何平均數(shù)(Ge

8、ometric mean)定義 指n個觀察值乘積的n次方根。即適用條件 主要應(yīng)用于數(shù)據(jù)呈倍數(shù)關(guān)系或不對稱分布的資料，算術(shù)平均數(shù)對這類資料的代表性差。如抗體效價（1：10，1：100，1：1000，1：10000）、增長率或生長率、動態(tài)發(fā)展速度等。第十八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月計(jì)算1、應(yīng)用公式計(jì)算（實(shí)際應(yīng)用時常取對數(shù)）第十九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例 海蝦養(yǎng)殖試驗(yàn)，各旬的生長速度3.0，1.5 1.3，1.2，1.2，1.1，1.1，求海蝦的旬平均生長速度。解： 即海蝦平均生長速度為1.38。其算術(shù)平均數(shù)為第二十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)資料

9、編成頻數(shù)分布表時， 各組組中值； 各組次數(shù)；第二十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月二、離散趨勢資料的另一方面的特征是變異程度。如： A 組資料： 3 、 4 、 5 、 6 、 7 平均數(shù)為： 5 B 組資料： 1 、 3 、 5 、 7 、 9 平均數(shù)為： 5 這里的平均數(shù) 5 對于 A 組資料的代表性好？還是對于 B 組資料的代 表性好？可見，只表明了數(shù)據(jù)的集中程度是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要進(jìn)一步說明數(shù)據(jù)的變異程度。只有通過變異程度的描述，才知道代表值的代表性。表示數(shù)據(jù)變異特征的數(shù)值叫變異數(shù)。常用的變異數(shù)有：極差、平均離差、方 差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等。 第二十二張，PPT共三十五頁，

10、創(chuàng)作于2022年6月極差（全距） 極差 = 最大值 - 最小值 只利用了資料中最大值和最小值，不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各個觀察值的變異程度。平均離差 第二十三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月它不能表示整個資料中所有觀察值的總偏離程度使用不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用消除離均差的負(fù)號離均差的平方之和（簡稱平方和，記為SS）稱為均方（縮寫為MS），又稱為樣本方差，記為S2標(biāo)準(zhǔn)差S離均差第二十四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月首先求出離均差，即每個數(shù)與它們的平均數(shù)之間的離差；然后將所有的離均差平方，再相加，得出離均差平方和；最后用n-1除離均差平方和（按照統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，不要用樣本含量n去除）

11、，所得的商稱為樣本方差，用符號s2表示。方差s2是離均差平方的平均數(shù)。雖然方差在實(shí)際應(yīng)用中用得最廣泛，但因它的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，所以它不能直接地指出某個數(shù)x與平均數(shù)之間的偏離究竟達(dá)到什么程度。為此，采用標(biāo)準(zhǔn)差s做標(biāo)準(zhǔn)，衡量x與平均數(shù)之間的離散程度。第二十五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 自由度 (degree of freedom) ：統(tǒng)計(jì)學(xué)借此來反映一批變量的約束條件。例如一個有 5 個觀察值的樣本，因?yàn)槭艿浇y(tǒng)計(jì)數(shù)的約束，在5個離均差中，只有4個數(shù)值可以在一定范圍內(nèi)自由變動取值，而第五個離均差必須滿足這一限制條件。 自由度記作 DF ， 一般樣本自由度等于觀察值個數(shù) (

12、n ) 減去約束條件的個數(shù) ( k ) ，即 DF n k 。 第二十六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差第二十七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月為了方便計(jì)算，將離均差平方和轉(zhuǎn)化為另一種形式，同時略去下標(biāo)，上式可表示為：第二十八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月在計(jì)算離散型頻數(shù)資料的標(biāo)準(zhǔn)差時，式中x為組值，f為頻數(shù)，N為總頻數(shù)（f），k為組數(shù)。第二十九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月在計(jì)算連續(xù)型頻數(shù)資料的標(biāo)準(zhǔn)差時，式中m為組中值，f、N和k同上式。第三十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月標(biāo)準(zhǔn)差的特性（一）標(biāo)準(zhǔn)差的大小受資料中各觀察值的影響，觀察值間變異大的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小；（二）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時，各觀測值加上或減去一個常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的值不變； (三)當(dāng)每個觀察值都乘以一個常數(shù)a時，所得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來標(biāo)準(zhǔn)差的a倍第三十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月樣本的方差為總體的方差為第三十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月變異系數(shù)Coeffcient of variation資料的單位不同或平均數(shù)相差很大時，直接利用標(biāo)準(zhǔn)差比較資料間變異程