高中數(shù)學(xué)高考10大陷阱掃描版

1、1.概念陷阱題概念陷阱題主要是針對(duì)某些概念中容易產(chǎn)生模糊認(rèn)識(shí)或容易發(fā)生混淆的地方設(shè)計(jì)的問 物.設(shè)計(jì)這類問題的目的是考皆學(xué)生對(duì)基本概念掌握的程度.這類問題.因數(shù)學(xué)內(nèi)容的豐富 而有多種表現(xiàn)形式.解答時(shí)，要熟練掌握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延,搞清概念中容易發(fā)生混淆 的地方.例題1設(shè)/(X)是定義在R上的偶函數(shù).其圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，對(duì)任意xj,x20,1.都有/(X +)=/($)/(與)，(D 設(shè)/。)= 2 求/(：),/(；);(2)證明/(x)是周期函數(shù).錯(cuò)解(2)因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于x = l對(duì)稱，且是偶函數(shù).得/(0) = /(1 + 1-0) = /(2 + 0),/(-1) = /(1-2

2、) = /(2-1).所以函數(shù)是周期函數(shù)T=2.剖析 周期函數(shù)定義中的是定義域中的任意一個(gè)數(shù).這里取特殊值.很明顯.這是 由于對(duì)周期函數(shù)定義的理解不透造成的.正解 因?yàn)楹瘮?shù)/的圖象關(guān)于直線x = l對(duì)稱.所以/(x) = (l + l-x),/(x) = /(2-x),又= = /(x). /(-x) = /(2- x),.-./(x) = /(2 + x).所以/(x)是R上的周期函數(shù).且2是它的一個(gè)周期.點(diǎn)評(píng) 跳出概念陷阱題的對(duì)策：一定要徹底理解相應(yīng)的概念.要把握住概念的內(nèi)涵與外 延.如本題，就要掌握周期函數(shù)的周期定義,就不會(huì)掉進(jìn)設(shè)計(jì)的“陷困” 了.例題2判斷函數(shù)/(x) = l + sm

3、x-ss”的奇偶性. 1 + sinx + cosx TOC o 1-5 h z A . X X a . 2 X. X2sin cos + 2sm -sm 錯(cuò)解 f (x) =2=-=tanc . x x . -2 xx 22 sin - cos + 2co，cos 2222x而tan”是奇函數(shù).2，/(x)是奇函數(shù).剖析 一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)的必要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若不對(duì)稱,則X為羋奇非偶函數(shù).上題錯(cuò)解是因?yàn)椋?一是不考慮定義域二是原函數(shù)與，(x)=tan不是 同一函數(shù).正解 由I + sinx + cosxxO 得f(x)的定義域?yàn)?x |工2/”一,或2xw22”-伏wZ)

4、它不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,所以為非奇牛偶函數(shù).點(diǎn)評(píng)函數(shù)的奇偶性是在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì).判斷函數(shù)的奇偶性必先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.要小心錯(cuò)誤，如/(用=+川二xw(-C.C)是一個(gè)奇函數(shù).1 + sinx + cosx2 2.定理公式陷阱題定理公式陷阱遮主要是針對(duì)對(duì)數(shù)學(xué)定理公式的理解上的偏差、應(yīng)用時(shí)限制條件的忽略等 等而命制的.這類問題設(shè)計(jì)的目的是考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定理公式的學(xué)習(xí)、掌握、應(yīng)用的情況.要 跳出這類定理公式的陷阱，應(yīng)該透徹理解數(shù)學(xué)的定理、公式.明了數(shù)學(xué)定理、公式的應(yīng)用限 制條件,進(jìn)而熟練準(zhǔn)確的運(yùn)用定理公式解決問題.例題3設(shè)向量 =(3,乂)=(%,以)則%=是51的 條件./ 心錯(cuò)解

5、 aZo芭必-乂 =0= 五=比.填充要% 以剖析 應(yīng)用定理時(shí)，忽略了限制條件.方o/H-必=0是正確的但是由%乂-%乂=0= 衛(wèi)=就錯(cuò)了錯(cuò)在未考慮或M為的限制條件,吃y2正解填充分不必要.*實(shí)上，若* =則% -與乂 =o.Z晨 若1工 有可能或以為o.故填充分不占 y2必要.點(diǎn)評(píng) 正確解決這類問題.要注意定理公式的使用條件.特別一些特殊情況及一些附加 條件.例題4已知.命題甲：lan(a + /O = O.命題乙：Ian a + lan外=0 .則命廄甲是曲迤乙的 條件.錯(cuò)解 由血(+”)=皿+加二得.命題甲是命題乙的充分必要條件.故填充分必要.剖析 因?yàn)楣絫an(a + 0 = 叫成立

6、是有條件的.即 1 tan a tan k +.a + fi k +(k eZ).所以不是充分必要條件. 222正解 若a=解=,tan(a+4)=0 ,而 lana.lan尸不存在：若 lana + lan = 0.2則可得ian(a + G) = 0 .所以甲是乙的必要不充分條件.故填必要不充分.點(diǎn)評(píng) 解決這類問題.要特別注意挖摑公式成立的條件.絕對(duì)不能忽略公式成立的條 件.同時(shí)還要注意特殊化思想的應(yīng)用.圖解陷阱題解決數(shù)學(xué)問題時(shí).常常以“形”助“數(shù)” ,由“數(shù)”思“形”,數(shù)形結(jié)合快捷解題.但 是這種數(shù)形結(jié)合的方法.往往因?yàn)樽鲌D的不規(guī)范或不精確或考慮不全面而產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié) 果.這就是圖解陷阱遮

7、設(shè)計(jì)的所在.避免掉進(jìn)陷阱的策略方法,就是利用數(shù)形結(jié)合解決問題 時(shí)要做到：對(duì)“數(shù)”考慮全面.對(duì)“形循潔精確.例題5直二面角a /-B的核/上有一點(diǎn)A.在平面 c、3 內(nèi)各有一條射線AB. AC與/成 45：. ABua./ICu”， 則NBAC二.錯(cuò)解 由條件.知ABAC與/成45”.Mica.AC u p .如上笛所示,又由cos43/I(r=co*4cos4得 cos/8/1C = L 所以/BAC 60u.2剖析 本題根據(jù)條件畫出的圖只考慮了一種情況.而忽 留了另一種情況.如下圖所示.正解 由條件.知ABAC與/成45. ABua./Ou/.有兩種情況.分別如上圖、下圖所示.根據(jù)上圖,由c

8、os/&4C=cos4于cos4下.博cos BAC = - -所以/BAC = 60：2又根據(jù)下圖.由cosZS/CxosFcM以cos所以NBAO1201 2綜上煙，/BAC=60或120.點(diǎn)評(píng)對(duì)本題應(yīng)該仔細(xì)全面的思考根據(jù)條件準(zhǔn)確的述出兩腫圖形,并按圖求解.才 能跳出本題設(shè)計(jì)的餡體.例題 6 集合 A/=(x/)|y = Y + 2x+l.集合N = (x,y)|y = 2,則集合/ = A/nN中的元素個(gè)數(shù) 為.錯(cuò)解 在同一坐標(biāo)系中作y = /+2x + l與y = T的圖像.如右圖所示，由右國觀察可知,兩函數(shù)圖像有2個(gè)交點(diǎn)所以集合.4= A/CIN中的元 素個(gè)數(shù)為2故填2.剖析 本題用

9、數(shù)形結(jié)合的方法來解.確實(shí)是一個(gè)好主意.但是.由于僅僅作出了函數(shù) 局部的圖形.從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤.游實(shí)上.兩函數(shù)圖像在56之間還有一個(gè)交點(diǎn).正解 在同一坐標(biāo)系中作y = /+2x + l與y = 2的悝像如下圖所示,由下圖觀察可知.兩函數(shù)圖像有3個(gè)交點(diǎn).所以集合力=A，/nN中的元盍個(gè)數(shù)為3.故填3.點(diǎn)評(píng)對(duì)于本題,由于兩個(gè)集合的交集中的元素個(gè)數(shù)就是這兩個(gè)方程構(gòu)成的方程組的 解的不數(shù).但這個(gè)方程組顯然是無法解決的.因此借助數(shù)形結(jié)合的方法成為解決這個(gè)問題首 選.但是借助數(shù)形結(jié)合的方法解題常常會(huì)因?yàn)橹豢紤]局部屆形而忽略圖形的整體性,而導(dǎo)致 不必要的錯(cuò)誤，所以要注意細(xì)心觀察.準(zhǔn)確作圖.4-多解陷阱題數(shù)學(xué)問題

10、經(jīng)常出現(xiàn)多解的情況.售超時(shí)常常會(huì)因思考不周而忽略空節(jié).從而導(dǎo)致解題 錯(cuò)誤.這類問題.就是多解陷阱題.要跳出多解陷阱,就要仔細(xì)審題.全面思考,把握細(xì)節(jié). 詳細(xì)網(wǎng)答.例題7曲線C的方程為(1-左)/+(3公)，2=%左w).則曲線C為圓時(shí).k二:曲線C為兩直線時(shí),k=.錯(cuò)解 曲為圓時(shí)行1-2=3一二.所以k=2或k = -l：曲線C為兩TU戈時(shí).有1 一左=0或3-2) =0所以k= 1或k = J3 .綜上.得k=2或k = 1： k 1或卜=6剖析 本題錯(cuò)誤的原因：曲線C為圓時(shí).不僅要1-左=3一二.而且還要 l-jt03-Xr2 0 ；曲線C為兩直線時(shí)，不僅要1 一左=0或3父=0,而且還要

11、 0,3 0.jE解 曲線C為圓時(shí)，有1-左=3-公且-公0 .所以k=-1 ：曲線C 為兩直線時(shí)，有1一4=0或3-公=0,且1一%0.3公0.所以k= 1或k=-J5.綜 上，得k=-1：卜=1或卜=一、回.點(diǎn)評(píng)本題要注意對(duì)問題的審題應(yīng)該仔細(xì).對(duì)問題的思考應(yīng)該全面.只有這樣才能避 免出現(xiàn)錯(cuò)誤.在錯(cuò)解中.可以對(duì)所求k值,進(jìn)行檢驗(yàn),通過檢驗(yàn)可以檢測結(jié)果的正確性.例題8已知凸n邊形的各內(nèi)角成等差數(shù)列.公差為5,且最小的內(nèi)角為120，則n等錯(cuò)解 由等差數(shù)列的求和公式,得 (n-2)-18O=/7-12O +，?1.5o, 解之.得n=9或16.故填9或16.剖析事實(shí)上,當(dāng)n=l6時(shí).最大的內(nèi)角為1

12、95.這與凸n邊形的條件相矛盾. 正解由等差數(shù)列的求和公式,得5-2)180。=120。+ 若山.5解之，得n=9或16.檢驗(yàn)：當(dāng)n=9時(shí).最大的內(nèi)角為120,符合條件： 當(dāng)n=16時(shí).最大的內(nèi)角為195.不符合條件.綜上,可知n=9.故填9.點(diǎn)評(píng)本題中.對(duì)多解問題中的多解，要注意對(duì)其檢驗(yàn).檢聆所求有無增解.5.特殊情況陷阱題有些數(shù)學(xué)問題的條件中隱藏著某些特殊情況,而這些特殊情況時(shí)而成立.時(shí)而不成 立,這就是特殊情況陷阱題.跳出情況的陷阱.要在解題時(shí)慎重審題.周密考慮.例題9 1 .現(xiàn)有1角、2角, 5角、1元 2元、5元、10元、50元人民幣各一張, 100元人民幣2張，從中至少取一張,共可

13、組成不同的幣值種數(shù)是.2.擲兩顆般子.則出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為3的概率為.錯(cuò)解 因?yàn)楣灿腥嗣駧?0張,每張人民幣都有取和不取2種情況,減去全不取的1種情況,共有21 - I = 1023種.故填1023.剖析這里100元面值比較特殊有兩張,在誤解中被計(jì)算成4種情況,實(shí)際上只有不 取、取一張和取二張3種情況.正解 除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況, 100元人民幣的取法有3種情 況,再減去全不取的1種情況，所以共有2。*3-1=1535種.故填1535.點(diǎn)評(píng) 本遨是排列組合問邃.求解時(shí)要特別注意一些特殊情況,一有硫漏就會(huì)出錯(cuò).錯(cuò)解 擲兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的可能值123. 4. 5. 6.

14、 7. 8. 9. 10. 11.12 .而點(diǎn)數(shù)之和為3的只包含其一,所以出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為3的概率為11故填L it剖析 這里將點(diǎn)數(shù)之和為2這一特殊情況發(fā)生的可能性與其它的視為等可能的了.其 實(shí)2的發(fā)生只有一種情況即（11）,而其它的都各有二種.正解擲兩題骰子可能出現(xiàn)的情況有：（b IX （1. 2）,.（6. 6）,即基本事件 總數(shù)為36種.而這些結(jié)果中，點(diǎn)數(shù)之和為3的結(jié)果只有（1. 2）. （2. 1）兩種.所以出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為3的概率為2=-L .36 18故咕點(diǎn)評(píng) 本踵是個(gè)古典型問題.求解時(shí)要特別注意在“等可能”的條件下運(yùn)用公式 求解,要特別注意一些特殊的非等可能情況,不能因此而出錯(cuò).

15、6.直覺陷阱題由于直覺在解題中起著舉足輕重的作用,成為數(shù)學(xué)解邂中的不可或缺的.但是直覺也 是一把雙刃箭.直覺思維中的錯(cuò)覺.對(duì)正確判廝解麴的方向.也起著不可估量的誤導(dǎo)作用.直 覺陷阱題就是由此命制的.解題時(shí),要對(duì)數(shù)學(xué)問題中的信息、形式等汰識(shí)清楚.這樣才能避 免錯(cuò)覺的產(chǎn)生.例題10在ZV18C中，己知行 =（2.3）石 =（1,攵），且A48C的一個(gè)內(nèi)角為直能求實(shí)數(shù)上的值.3%/13錯(cuò)解 因?yàn)?C4 = 90。,所以前，正，即衣衣=0.又而=元一通=（-1/一31所以-1 + H左-3）=0,解得左=剖析 憑直覺認(rèn)為45c4是直角,而忽視對(duì)諸情況的討論.正解 (1)若 4。= 90。.所以近1.而

16、即荏.從而2 + 34=0.解得2 =3，(2)若 ZBC4 = 90,所以 BCA.AC ,即 5C-1C = O ,又 前=力？一刀=(-1次一3),所以-1 + 上%-3)=0,解得 = 3/；(3)若 N48C = 90。，所以反.而,即 BC-AB = 0.又 BC = (-l.Zr-3),所以-2 + 3k-3)=0,解得左=；.綜合上面討論可知，兒=-2或左=生也或左=U.323點(diǎn)評(píng) 借助直覺解邈,也要全面審題.搞清問題的各個(gè)方面.例題11設(shè)P點(diǎn)是在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢制上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為.過P點(diǎn)作長軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).則橢圓的方程為.錯(cuò)解設(shè)兩焦點(diǎn)為G凡.且I

17、Pi=華產(chǎn)乙|=半.由橢圓的第一定義得2a=MI+|P|= 26a = y/5對(duì)忸叫.耳=90。,sinZP=-=- 1咫 I 2g = 30. 2c = 21 0片 | cos3002/5石/.62=a2-?=y .故橢圓的方程為3=1.51010=1.剖析 本題因橢圓的焦點(diǎn)位置未定.應(yīng)該考慮兩種情況,這里由于直覺犯了 “對(duì)而不 全”的錯(cuò)誤.正解 當(dāng)焦點(diǎn)在大軸上時(shí).如上面求解.當(dāng)焦點(diǎn)在y料上時(shí).同理可得橢圓的方程為至+。10 5工 X* 3y 2 . - 3f故填+= 1 751010點(diǎn)評(píng) 對(duì)本題的思考要深刻要注重其解法.不能光憑感覺解題.7.歸納類比陷阱題在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，由于對(duì)特殊化

18、數(shù)學(xué)思想方法缺乏正確的理解,常常會(huì)犯“以 特殊代替一般不能警出完整無誤的解答”的錯(cuò)誤：有時(shí)由于對(duì)問題實(shí)質(zhì)把握不住,僅僅依養(yǎng) 形式上的相似,而將其結(jié)論進(jìn)行遷移.就造成了失誤.例題 12 已知例 18 = 1. sin（2+）=3sin 求lai（0+。）.錯(cuò)解 由tan9 = l.可設(shè)。=2.代入sin(2e+M=3sin。,得cos0=3sin即 4tan 0 =5. TOC o 1-5 h z n -. . 1tan + tan1 + 一 tan（ +。） = tan（ + 4）=言=2 .1 - tan - tan1 一 剖析 上述解法犯了以特殊代替一般的錯(cuò)誤，是不完整的錯(cuò)誤解法.本題應(yīng)注

19、意從tan = l解得0 =小江+ （左6二）.從而可把。代入sin（26+0） = 3sin。得解：另外.若 4注意到角的變化：20+。= （0+。） + 0,。= （+。）-0.則仍然可得解.正解 由 lan0 = l得0 = k萬 + 石(k w 二).故sin(2+) = sin(C + 0) = cos。. 42 sin( 2。+。) = 3 sin。. tan . 3二 tan( + ) = taii(- + 4)=4TC .一 1tan + tan1 +4“T = 2.1 - tan - tan(/1點(diǎn)評(píng)解題中不能以特殊代替一般.否則就會(huì)形成解題的失誤.8.分類陷阱題許多數(shù)學(xué)問鎏

20、的解決,常常要用分類討論的思想方法，但在分類討論時(shí).會(huì)出現(xiàn)分類 的重合或遺漏而造成錯(cuò)誤.這就是分類陷阱題.要跳出這類問通的陷阱,就要在分類討論時(shí) 確定分類標(biāo)準(zhǔn)，并且要不重合也不遺漏的全方位進(jìn)行討論.例題13已知數(shù)列4滿足/“ =5-4| + 2(丫).試探求q的值,使得數(shù)列qkN)成等差數(shù)列.錯(cuò)解遞推式中含絕對(duì)值,按照常規(guī)去掉絕對(duì)值號(hào)的方法進(jìn)行分類討論：(1)當(dāng)凡24時(shí).由凡“=凡-4 + 2變形整理得=/-2.設(shè)等差數(shù)列的公差為d則4 = -2,所以數(shù)列4為單局遞減數(shù)夕入有. 。2。3一.a-1 4 例 總存在自然N.當(dāng)時(shí).一定有? 4.這與& 24矛盾.所以勺24不成立.(2)當(dāng)勺4時(shí).由

21、r = 4一川+ 2變形整理得=6,表明數(shù)列%任意相鄰兩項(xiàng)的和為常數(shù)6.因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,所以這個(gè)等差數(shù)列必為常數(shù)列.故q=34符合題意.所以q =3.綜合(1)、(2)知當(dāng)q =3時(shí),才使數(shù)列4為等差數(shù)列.例析 解答過程不完善.分類討論不周密.在解答中.4 24表示數(shù)列任意一項(xiàng)都恒不小于4： & 4表示數(shù)列的每一項(xiàng)都恒小于4漏掉數(shù)列有一部分項(xiàng)不小于4余下的項(xiàng)都小于4這種情況，而這種情況處理有難度.正解 設(shè)數(shù)列4是等差數(shù)列,公差為由1“用一.=-4：平方后兩式相減 J - 2 = I1 - 4得.2-2)2 -(勺“-2)2 =(1 一4一 (% -4),即(限 + - - 軟-+J =(4.1

22、 + 4 - 8)(a”.i - 4) ,(4+2 + % -4乂 = (an+l + a” -8乂，即(。會(huì) 一4 + 4 = 0,4 = 0 或 H = -2 (1)若 = (),則4 =q,.q-2 = |q-4|.解得q =3經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)q =3時(shí).q=3(6N).數(shù)列d(、)是等差數(shù)列.(2)若4 = -2時(shí).則a，“=a2,將其代入遞推得4-4 = |q,-4|24.對(duì)一切wN都成立，另一方面,a/=q-2(- 1).4N4當(dāng)且僅當(dāng)4：-I時(shí)成立, 矛盾.4 = -2不符合題意.舍去.綜上所述，q=3.點(diǎn)評(píng) 在運(yùn)用分類思想解決問題時(shí).要注意統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn),并作到不貪不漏.9.充耍條件陷

23、阱題在解決一些數(shù)學(xué)問題時(shí),若忽視或混淆條件的充分性、必要性和充要性.進(jìn)行非等價(jià)轉(zhuǎn) 化,就會(huì)出現(xiàn)解題的錯(cuò)誤,這就是充要條件陷陰題.要避免充要條件的陷阱,一要準(zhǔn)確掌握 數(shù)學(xué)的概念定理公式等.二要規(guī)范解題的過程.并要學(xué)會(huì)反思檢驗(yàn).例題14己知函數(shù)/(x) = axr+：,若-34/。)40. 34/(2)4 6.求/(3)的范圍.0錯(cuò)解由條件.得-3Sa + b 0, 342a + g 46.X2一，得64aMi5.X2一.得+.得 103a+-43, 33 3即裂八3)4JJx剖析 采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的困數(shù)/(x) = or十,其 b值是同時(shí)受a和力制約的.當(dāng)a取最大(小)值時(shí).6不一定取最大(小)值,因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的.也就是說./(3)取到最值并不是。和8同時(shí)取到最值的充要條件.f/(l) = a +瓦正解由跑意有八2)=%+ g. TOC o 1-5 h z 12解之得。=?2/(2) - /(1). Z)= 2/(l)-/(2)h JJ./(3) = 3a +