高中數(shù)學圓錐曲線焦點弦斜率公式及應用專題輔導

1、8Bffilct。l為F對應的準線，如圖1對曲線1：_|AF_| |AA| ,|BF| |BB|_-1 |AF|-|BF| _” |AF| |BF| 一e(|AA1|-|BB|)(_|BC|)二 e|AF| |BF|AB|ecosot(F為左焦點)、ecosot(F為右焦點)(1)2C所以 sec : =e 2，即 tan( -1)2(2)當 90b0) 或 雙曲線 2 22 22 2.2八：b2x2 a2y2 =a2b2或拋物線 R : y2 =2px(p 0)的焦點弦，F(xiàn) 為焦點且 AF=?.FB, (A 在B之上)，則弦 AB所在直線斜率k滿足k2(T)2 2-,、(1)2 e - 1(

2、 , . : 0,. .;二1)( -1)2證明：設AB的傾角為 (1)當 0口b 0）或雙曲線 b2y2 _a2x2 = a2b2或 拋物線x2 =2py（p 0）的焦點弦，F(xiàn)為焦點，且AF =?：FB , （A在B之上）則弦AB所在 直線斜率k滿足（1）2 二6?2 .（九/0,九#1）k （一 1）下面我們介紹公式（1） （2）的一些巧妙應用。一、由定比求方程例1. （2002年南昌高考模擬題） 已知橢圓C的焦點為Fi（-V3,0）,F2（J3,0） , Fi到相應準 線距離為 今,過吊且傾角為銳角的直線l與橢圓交于A、B,使|F2B|=3|F2A |。（1）求橢圓方程；（2）求直線l的

3、方程。- b2、3 一o o解：（1）設橢圓為 b2x2 +a2y2 =a2b2,=,c = v,3 ,所以 b2 =1,a2=4,所以橢c 32圓方程為、+y2=1。4-11.3o 3一 一（2） ?.=-,- = 2,e=一，代入（1）中得 k2 =4 一1 =2 ,因為 k A0,所以 k=42 ,3 -124AB 方程為 y =V2（X y/3） o二、算定比求參數(shù)例 2.已知橢圓 C 的方程為 b2x2+a2y2=a2b2,（ab:0）,雙曲線 b2x2 a2y2 = a2b2 的 兩條漸近線為11,12,過橢圓C的右焦點F作直線1,使l_Ll1，交點依次為A、B （如圖3）, 求四

4、！的最大值及此時橢圓 C的離心率e。|PA|圖3aba2 ab 斛：設 F (c, 0) , l 方程為 y = (x c),代入 l2 ： y =- x 中得 P:(一 ,),故 P bac c在橢圓準線上，設 止BJniBBLLJnXjfjBF7FAMAFn2FB，在(1)中以二代 |PA| |AA1| |AF|入可化為k22(1)2 a、2=1% e -1=(),所以( -1)2b(1)2(-1)2222、a (a b )、幾 b、2-1 2/ 2，設 t=L) U(0,1),且b (a -b )a1 tt(1 -t)0化簡為 f(t) =ut2 +(1u)t +1=0,因為 f(0)0

5、,f(1)0,故 f(t) = 0 有根t w （0,1）的充要條件為r 、2. 一 =(1 -u) -4u 0,；1 -u0 122 -3 2,2=u _3 2.2，由(.(一 1)得,2 -12 1所以u =3+242時, max解：設l在y軸上截距為t,則k =t ,2以1代(1)中九，k2 = 1), e2 _1 ,即 ( -1)22，心年一1,又因為8工0弓且所以5 A11 E勺，即4-13_225 .( 1)16 ( -1)2嚕所以祥2 Y。2u占3+2量或u 11 - u -=J2 +1 ,此時 t =J2 1,而e = VT=j242 。2u三、由定比求參數(shù) TOC o 1-5

6、 h z 22X V例3.設雙曲線。：下4=1（a A0,b0）的右焦點為F,過F作傾角為一的直線l與雙 a2b23曲線交于M、N兩點，若|MF|=5|NF|,求雙曲線離心率 e。解：1）當兒=5時，由（1）,2 （ 1）2 236 2 “曰4k =e e - 1艮 口3 =e - 1寸 e=一。（一1）216311、2）當M、N位于不同支上，則 M應在N之下且NF = FM ,取九=一 代入（1）5516 2中得3 =e -1 ,解得e =3。36故所求雙曲線離心率為 4或3。 3例4. （2004年全國高考題）給定拋物線C: y2 =4x , F是C的焦點，過點 F的直線l與C相交于A、B兩點，設FB = zAF ,若九W4,9,求l在y軸上截距的變化范圍。解得 一4 wt 一3或a Mt 0 ,此時AB的方程是y 1 =勺1 x即 2.( -1)x -2, y 2. =0設M點坐標為(x1 ,y1), xx - 2y - 2y1 0重合，所以其對應的切點弦方程為士1 = -2 = 2G ,解得X12-2y1x1-1 -1-2.k MF =,所以 k MF -11一一所以FM AB =0為定值。k2 -4y =0(2)由. 一1 二.、，,x2y.1=2, xk AB =一1。-2(九1)x46=0。所以 |AB|=yA