高考數(shù)學二輪復習專題08 證明不等式問題（原卷版）

1、專題08 證明不等式問題 【方法技巧與總結】利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉，轉化為最值問題（6）同構變形【題型歸納目錄】題型一：直接法題型二：構造函數(shù)（差構造、變形構造、換元構造、遞推構造）題型三：分析法題型四：凹凸反轉、拆分函數(shù)題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友題型六：放縮法題型七：虛設零點題型八：同構法題型九：泰勒展式和拉

2、格朗日中值定理題型十：分段分析法、主元法、估算法題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題題型十三：三角函數(shù)【典例例題】題型一：直接法例1已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時，證明：，例2設函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當且時，證明：例3已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當，時，證明：題型二：構造函數(shù)（差構造、變形構造、換元構造、遞推構造）例4已知曲線與曲線在公共點處的切線相同，（）求實數(shù)的值；（）求證：當時，例5已知（1）若時，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）求證：當時，例6已知函數(shù)（1）當時，求在點，處的切線方程；（2）當

3、時，若的極大值點為，求證：例7已知函數(shù)（1）判斷的單調性，并說明理由；（2）若數(shù)列滿足，求證：對任意，題型三：分析法例8已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)（）證明：函數(shù)在上有唯一零點；（）記為函數(shù)在上的零點，證明：（）；（）例9已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)（）證明：函數(shù)在上有唯一零點；（）記為函數(shù)在上的零點，證明：（參考數(shù)值：例10已知函數(shù)在上有零點，其中是自然對數(shù)的底數(shù)（）求實數(shù)的取值范圍；（）記是函數(shù)的導函數(shù)，證明：題型四：凹凸反轉、拆分函數(shù)例11已知函數(shù)且（1）（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）證明：例12已知函數(shù)，（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；例13已知函數(shù)（）當時，判斷函數(shù)的單調性

4、；（）證明：當時，不等式恒成立題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友例14已知函數(shù)（）當時，求在，上最大值及最小值；（）當時，求證例15已知函數(shù)，曲線在點，（1）處的切線方程為（1）求、的值；（2）當且時求證：例16已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)圖象過點，求證：例17已知函數(shù)（）討論函數(shù)的單調性；（）若函數(shù)圖象過點，求證：題型六：放縮法例18已知函數(shù)（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)（1）討論函數(shù)的單調性；（2）證明：對任意的，當時，例19已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調性；（2）求證：當時，例20已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）解關于的不等式題型七：虛設零點例21設函數(shù)（1）討論的導函數(shù)

5、零點的個數(shù)；（2）證明：當時，例22設函數(shù)（）討論的導函數(shù)零點的個數(shù)；（）證明：當時，例23已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調遞增，求的取值范圍；（2）若，證明：當時，參考數(shù)據(jù)：，題型八：同構法例24已知函數(shù)（1）討論在區(qū)間上的單調性；（2）當時，證明：例25已知函數(shù)，（1）討論的單調區(qū)間；（2）當時，證明例26已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調性；題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例27已知函數(shù)，（1）若恰為的極小值點（）證明：；（）求在區(qū)間上的零點個數(shù)；（2）若，又由泰勒級數(shù)知：，證明：例28已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時若正實數(shù)，滿足，證明：例2

6、9英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當時，（1）證明：當時，；（2）設，若區(qū)間，滿足當定義域為，時，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”，（）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；（）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由題型十：分段分析法、主元法、估算法例30設且，函數(shù)（1）若在區(qū)間有唯一極值點，證明：，；（2）若在區(qū)間沒有零點，求的取值范圍例31已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)（1）當時，討論函數(shù)的單調性；（2）當時，求證：對任意的，例32已知函數(shù)=.（1）討論的

7、單調性；（2）設，當時，,求的最大值；（3）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001）例33已知函數(shù)（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若取，試估計的范圍（精確到0.01）題型十一：割線法證明零點差大于某值，切線法證明零點差小于某值例34已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的零點，以及曲線在處的切線方程；（2）設方程有兩個實數(shù)根，求證：例35已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的零點，以及曲線在其零點處的切線方程；（2）若方程有兩個實數(shù)根，求證：例36已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求曲線在點，處的切線方程：（2）若方程有兩個不等的實數(shù)根，求證：題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題例37已知函

8、數(shù)，其中為實常數(shù)（1）若函數(shù)定義域內恒成立，求的取值范圍；（2）證明：當時，；（3）求證：例38證明：例39已知，為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求證：恒成立；（2）設是正整數(shù)，對任意正整數(shù)，求的最小值題型十三：三角函數(shù)例40已知函數(shù).(1)設且，求函數(shù)的最小值；(2)當，證明：.例41已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)（1）若，求實數(shù)的值；（2）證明：例42已知.（1）當有兩個零點時，求a的取值范圍；（2）當，時，設，求證：.【過關測試】1已知函數(shù)，且(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)有三個極值點，且，求證：2已知函數(shù)在上有兩個極值點，且(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：當時，3已知.(1)

9、若在區(qū)間上有且僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍；(2)在（1）的條件下，證明.4已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求證：.5已知函數(shù)， .(1)試討論f（x）的單調性；(2)若對任意 ， 均有 ，求a的取值范圍；(3)求證: .6已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)在上單調性并證明你的結論；(2)若對于恒成立，求正整數(shù)的最大值；(3)求證：7已知函數(shù).(1)若是的極值點，求的值域；(2)當時，證明：8已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求實數(shù)的值；(2)（i）證明：函數(shù)有且僅有一個極小值點，且；（ii）證明：.參考數(shù)據(jù)：，.9關于的函數(shù)，我們曾在必修一中學習過“二分法”求其零點近似值.現(xiàn)結合導函數(shù)，介紹另一種求零點近似值的方法“牛頓切線法”.(1)證明：有唯一零點，且；(2)現(xiàn)在，我們任取(1,a)開始，實施如下步驟：在處作