高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品推理與證明

1、第十五章推理與證明考綱導(dǎo)讀（一）合情推理與演繹推理了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中 的作用。了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理。了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。（二）直接證明與間接證明了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。（三）數(shù)學(xué)歸納法了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題高考導(dǎo)航.推理與證明的內(nèi)容是高考的新增內(nèi)容，主要以選擇填空的形式出現(xiàn)。.推理與證明與數(shù)列、幾何、等有關(guān)內(nèi)容

2、綜合在一起的綜合試題多。第1課時(shí)合情推理與演繹推理基礎(chǔ)過(guò)關(guān).推理一般包括合情推理和演繹推理；.合情推理包括 和;歸納推理：從個(gè)別事實(shí)中推演出 ,這樣的推理通常稱(chēng)為歸納推理；歸納 推理的思維過(guò)程是：、.類(lèi)比推理：根據(jù)兩個(gè)（或兩類(lèi)）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉?或,這樣的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理，類(lèi)比推理的思維過(guò)程是：、.演繹推理：演繹推理是 ，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到的 推理過(guò) 程；三段論常用格式為： M是巳,S是P;其中是,它提供 了一個(gè)個(gè)一般性原理；是 ,它指出了一個(gè)個(gè)特殊對(duì)象；是 ,它根 據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷 .合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公

3、理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程，歸納和類(lèi)比是合情推理常用的思維方法； 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有得于創(chuàng)新 意識(shí)的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到的新結(jié)論 的推理過(guò)程.典型例題 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document - 33 .33 .33 3 n 0 .933 3例 1.已知：sin 30 +sin 90 +sin 150 =一； sin 5 +sin 65 +sin 125 = HYPERLINK

4、 l bookmark12 o Current Document 2通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一般性的命題： .一= - （ * ）并給出（* ）式的證明O2 TOC o 1-5 h z 22-23斛：一般形式：sin a +sin (a +60 ) +sin (a +120 )= 2證明：左邊1 -cos2 二 1 一cos(2,二 120 ) 1 -cos(2工: 240 ) HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 2221.cos2： cos(2：120 ) cos(2：240 )21_3-1cos2：-2 2一 3.sin2a= 3=

5、右邊2-cos2： -cos2： cos120 -sin2： sin120 cos2cos240 -sin2： sin240-1cos2： -sin2： -1cos2：22223(將一般形式與成sin (. -60v) sin .工sin (. 60 )= 一，2o3sin (a -240 ) +sin (a -120 ) +sin a =一等均正確。)2變式訓(xùn)練 1：設(shè) f0(x) =cosx, f(x) = f0 (x) , f2(x) = f1 (x),|, fn+(x) = fn (x) , n N,貝U f 2008 (x)=解：cosx,由歸納推理可知其周期是 4例2.在平面上，我

6、們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有：c2 -a2 b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐 緘LMN如果用g,S2,S3表示三個(gè)側(cè)面面積，s4表示截面面積，那么你類(lèi)比得到的結(jié)上面的結(jié)論推廣到空間，寫(xiě)出相類(lèi)似的結(jié)論。答案：本題是“由平面向空間類(lèi)比”?？紤]到平面中的圖形是一個(gè)直角三角形,所以在空間中我們可以選取有 3個(gè)面兩兩垂直的四面體來(lái)考慮。取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體A BCD且AB=a, AC=, AD=c,222則此三棱錐的外接球的半徑是 r=、a b c。2例3.請(qǐng)你把不等式“

7、若22 a1a2ai,a2是正實(shí)數(shù)，則有+ a?ai至a1 + a? ”推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論。答案:推廣的結(jié)論:a1 ,a2,，an都是正數(shù),22曳.邑a2a3am2ana1a2 an ai證明:,an都是正數(shù)a22a2 ai _ 2a2 ai2 an i - an2an A2an- ai- 2ananai2aia22冬a32anand2an _aiaia2an3_1C i 222I x 1一22n2n -i n2n2n i答案：C。解析：用n=2代入選項(xiàng)判斷。變式訓(xùn)練3：觀察式子：i+2_,i2 Mz，貝u可歸納出式子為22 222 32 322 32 42 412n -i例4.有

8、一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b “平面口，直線a,平面 ,直線b /平面口 ,則直線b /直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的, 這是因?yàn)椋ǎ〢.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤D. 非以上錯(cuò)誤答案：Ao解析：直線平行于平面，并不平行于平面內(nèi)所有直線。變式訓(xùn)練4: “AC,BD是菱形ABCD勺對(duì)角線，二AC,BD互相垂直且平分?！毖a(bǔ)充以上推理的 大前提是。答案：菱形對(duì)角線互相垂直且平分 第2課時(shí)直接證明與間接證明基礎(chǔ)過(guò)關(guān).直接證明：直接從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立，這種證明方法叫直接證明；直接證明的兩種基本方法一一分析法和綜合法綜合法一一；分析法一

9、一；.間接證明：間接證明是不同于直接證明的又一類(lèi)證明方法，反證法是一種常用的間接證明 方法；反證法即從 開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正確的推理，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成 立，這樣的證明方法叫做反證法（歸謬法）典型例題例 1.若 a,b,c 土勻?yàn)閷?shí)數(shù)，且 a =x2 _2y 十匹,b =y2 _2zS,c =z2 _2x 記。 236求證：a,b,c中至少有一個(gè)大于 0。答案：(用反證法)假設(shè)a，b，c都不大于0,即a 0,b 0，c 0, .,.a+b+c。，這與假設(shè) a+b+c0 矛盾，故a，b，c中至少有一個(gè)大于 0。變式訓(xùn)練1:用反證法證明命題a，bWN，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)

10、能被 5整除。 那么假設(shè)的內(nèi)容是答案：a，b中沒(méi)有一個(gè)能被 5整除。解析：“至少有n個(gè)”的否定是“最多有n-1個(gè)”。例2. 4ABC的三個(gè)內(nèi)角A、R C成等差數(shù)列，求證：，+，=3一。a b b c a 一 b c答案：證明：要證，+3,即需證a+c+a+b+c=3。a b b c a - b - ca - bb c即證上+_a_ =1。a b b c又需證 c(b +c) 4a(a +b) =(a 4b)(b +c),需證 c2 +a2 =ac+b2ABC三個(gè)內(nèi)角 A、B、C成等差數(shù)列。B=60 。由余弦定理，有 b2 =c2 +a2 -2cacos60即 b2 =c2 +a2 -ac。-

11、c2 +a2 =ac+b2成立，命題得證。 TOC o 1-5 h z 變式訓(xùn)練2:用分析法證明：若 a0,則；a2 T 7萬(wàn)2aU-2。 a2a答案：證明：要證a2 +-拒之a(chǎn)-2,a2a只需證 Ja2 +-1 -+2 a +1 +J2 o , a2a,a0,一.兩邊均大于零，因此只需證（ja2 +口+2）2至（a+1十收）2a2a只需證 a2+4 +4Ja2 +a2 +1（a2 起）， -a22 aa2 2a2即證a2-2 ,它顯然成立。，原不等式成立。a例 3.已知數(shù)列 GnL an 20 , a1 =0 , an- +an+-1 =an2(n N ).一_111記 Sn =a +a2

12、+an Tn+-；+-1al(1 a1)(1 a2)(1 a1)(1 a2)(1 an)求證：當(dāng)n w N鉗，(1)an n-2；Tn 3o解：(1)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n =1時(shí)，因?yàn)閍2是方程x2 +x1=0的正根，所以a1 a2 . TOC o 1-5 h z 一 、一 . . .*假設(shè)當(dāng)n = k(k n N )時(shí)，ak ak平，因?yàn)?ak1- ak - (ak 2 ak 2 _ 1) _(ak 1 ak 1- 1)= (ak 2- ak 1)(ak 2ak h1),所以ak書(shū)a2.即當(dāng)n = k+1時(shí)，an c a書(shū)也成立.根據(jù)和，可知 an an+對(duì)任何nw N都成立.(2)

13、證明：由 ak；十 ak 書(shū) 一1 = a/, k=1,2j|,n-1 (n)2),得 a2 +(a2 +a3 +|加)一(n1) = a；.2因?yàn)?a1 =0,所以 Sn = n 1 an .由 an an+及 an+=1+a； -2anJ 1 得 a。n-2.(3)證明：由 ak，+ak由=1 + ak2 n 2ak,得w .(k =2,3,111, n -1 , n 3)1 ak 12ak所以Fa-(a 3),(1 a3)(1 a4)HI(1 an)2 a?于是二W 2- =%三(n 3)，(1 a2)(1 a3)川(1 an)2nJ(a| a2) 2nJ 2n-2 TOC o 1-5

14、h z 1故當(dāng) n3 時(shí)，Tn 1+1+1+義3,2又因?yàn)門(mén)1 ；T二t3,所以Tn 22 5 + 2 52,24 +54 23 5 + 2，53, TOC o 1-5 h z 5 一53一22一325 +552352+2253,.將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是1a*2.已知數(shù)列& 滿足a1 = 2, an+ =n (nw N )，則a3的值為,1 - ana1a 3 III22007的值為3.已知f (x,1)=2 f (x)f(x) 2,f(1)=1 (xw N*),猜想f(x)的表達(dá)式為(A.4 f(x)=2x

15、2-2c.1B.f(x) = x+1； C.設(shè):+1；D. f(x) =4.臺(tái)某紡織廠的一個(gè)車(chē)間有技術(shù)工人(n W N沖)織布機(jī)，編號(hào)分別為mg ( m w N*)，編號(hào)分別為1、 2、 3、2.2x 1、m ,有 n1、2、3、ai j ：若第i名工人操作了第j號(hào)織布機(jī)，規(guī)定aai j則等式a41 +a42 +a43 +IIII +a4n =3的實(shí)際意義是(5.第4名工人操作了第3名工人操作了3臺(tái)織布機(jī);4臺(tái)織布機(jī);11.1已知 f ( n) =1 , 一-| -23n7.、第4名工人操作了、第3名工人操作了一一 3),計(jì)算得f(2)= 一,2n臺(tái)織布機(jī)；n臺(tái)織布機(jī).一一 5f2, f(8)

16、W，f (16) 3 , f(32) 2 ,由此推測(cè):當(dāng)n22時(shí)，有.觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n至2)個(gè)圓圈，每個(gè)圖案中圓圈的總數(shù)是Sn,按此規(guī)律推出：當(dāng)n之2時(shí)，S與n的關(guān)系式4o-n =2 S =4n =3 S = 8n = 4 S = 12.觀察下式：1=12, 2+3+4=3； 3+4+5+6+7=52, 4+5+6+7+8+9+10=72,，則可得出一般結(jié) 論： .函數(shù)f（x）由下表定義:x25314f(x)12345右 a0=5, an 書(shū)=f （an ） , n =0,1,2,| ,則 a2007 =-.在一次珠寶展覽會(huì)上，某商家展出一套珠寶首飾，第一件首飾是1顆珠

17、寶，第二件首飾是由6 顆珠寶構(gòu)成如圖1所示的正六邊形，第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成如圖2所示的正六邊形， 第四件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成如圖3所示的正六邊形，第五件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成如圖4 所示的正六邊形，以后每件首飾都在前一件上，按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶， 使它構(gòu)成更大的正六邊形，依此推斷第6件首飾上應(yīng)有 顆珠寶；則前n件首飾所 用珠寶總數(shù)為 顆.（結(jié)果用n表示）第1歹U第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123272510.將正奇數(shù)按下表排成 5列那么2003應(yīng)該在第 行，第 列。.如右上圖，一個(gè)小朋友按如圖所示的規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，1大拇指，2食指

18、，3中指，4無(wú)名指，5小指，6無(wú)名指，.,一直數(shù)到2008時(shí)，對(duì)應(yīng)的指頭是（ 填指頭的名稱(chēng)）.在數(shù)列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,中，第 25 項(xiàng)為.觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第 n個(gè)圖中有 個(gè)小正方形.14.同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第瓷磚 塊.（用含n的代數(shù)式表示）n個(gè)圖案中需用黑色 .如圖所示，面積為 S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為aMi=1,2,3,4),此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離記為h(i=1,2,3,4 若電=至=% =包=卜， TOC o 1-5 h z 1234一42S .則.z (ihi )=2

19、2類(lèi)比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為 S(i =12,3,4), i4k此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn) Q到第i個(gè)面的距離記為 Hid，2,3,4)若 MH十4則“ iHi = ( B )i 4a. 4yKB.3VC.2VD.hA,hB,hC , O到三邊的距離依次為1a ,lb,lc,.設(shè)O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，U ABC三邊上的高分別為hAhBhC,類(lèi)比到空間，O是四面體ABCErt一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別為hA,hB,hC,hD , O到這四個(gè)面的距離依次為 la,lb,lc,ld ,則有111.在RtiABC中，兩直角邊分別為 a、b,設(shè)h為斜邊上的電 則 ;=+二，由此類(lèi)比: h a

20、b三棱錐S-ABC中的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為 a、b、c,設(shè)棱錐底 面ABC上的高為h ,則.18、若數(shù)列 右n是等差數(shù)列，對(duì)于bn =1 (a +a2十十a(chǎn)n),則數(shù)列bj也是等差數(shù)列。類(lèi) n比上述性質(zhì)，若數(shù)列 g 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，對(duì)于 dn0,則dn=時(shí)，數(shù)列tn 也是等比數(shù)列。.已知 ABC三邊a, b, c的長(zhǎng)都是整數(shù)，且 a b 2)行首尾兩數(shù)均為 n, 其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加.則第n行(n2)中第2個(gè)數(shù)是 (用n表示)1 TOC o 1-5 h z 2243774511616III HYPERLINK l bookmark39 o Cur

21、rent Document 141152525166III IIIsin B sin C、，21.在 ABC中，sin A=,判斷 ABC的形狀并證明cosB cosC22.已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).右用反證法證明二個(gè)萬(wàn)程 ax+2bx+c=0, bx+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.應(yīng)假設(shè) . MBC中，已知3b =2j3asinB,且cosA = cosC ,求證：AABC為等邊三角形。.如圖，R(xi，yi)、P2(x2,y2)、Pn(xn,yn)(0y丫2yn)是曲線 C ：2y =3x(y之0)上的n個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A (a ,0) (i =1

22、,2,3n)在x軸的正半軸上，且AAAP是正三角形(4是坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)寫(xiě)出 a1、a2、a3 ；(2)求出點(diǎn)An (an ,0) (nW N*)的橫坐標(biāo) 為關(guān)于n的表達(dá)式并證明.推理與證明章節(jié)測(cè)試題答案1. an bn ambk akbm(a,b 0,m k=n,m,n,k N*)-1,32B.An 2n 1*f(2n) 一 (n N) 2n2 (n -2)2n (n -1) III (3n -2) = (2n -1)2,n N8.49. n(n 1)(4n-1)n. N*610.251,312.食指12.在數(shù)列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,中，第 25 項(xiàng)為

23、_7.13.n2 -3n 2214. 4n+815、B提示：平面面積法類(lèi)比到空間體積法.1.提示：平面面積法類(lèi)比到空間體積法1111=十 一十22. 22h a b c., - . * . 18、n；C| c2川gnN提不：等差數(shù)列類(lèi)比到等比數(shù)列，算術(shù)平均數(shù)1bn = (a1n+*+an)類(lèi)_.一 * .、f7T:*比到幾何平均數(shù)dn=nq GlHqm N19.m(m 1)20.2_n -n 2221.解：sin Asin B sin CcosB cosC.sin AcosB sin AcosC = sin( A C) sin( B C) .sin C cos A sin B cos A = (sin C sin B) cos A = 0sin C sin B = 0, cos A = 0= A = 2所以三角形ABC是直角三角