高中08排列組合、二項(xiàng)定理、概率與統(tǒng)計(jì)

1、.分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)N =m1 +m2十|+mn.分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理) N = m1Mm2Mli |父mi.排列數(shù)公式n!* 一An =n(n 1)(n m +1)=.( n , mCN,且 mwn).(n -m)Aln!=n(n-1)(n-2)？ -(he n*)注：規(guī)定0!=1.組合數(shù)公式八 m Am n(n -1) (n -m 1) n*Cn = = -=(nCN, m=N,且 mwn).Am12 m m! (n - m)!組合數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)m n mm m mn =CnCn +Cn =Cn 1nc Cn =c； +c：+c： +c； +Cn =2n 注：規(guī)定 co =1.r 0

2、.排列組合應(yīng)用題原則：分類后分步，先選后排，先特殊后一般解法：相鄰問題“捆綁法”，不相鄰“插空法”，特殊元素“定位法”，復(fù)雜問題“排除法”依據(jù)：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合規(guī)律：相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法；至多至少問題間接法，還記得什么時(shí)候用隔板法？.二項(xiàng)式定理(a +b)n =C；an +C：anb + C：an/b2 +C；anbr 十一 +Cnbn ；二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr+1= C； an-rbr (r =0,1,2，n).備注：C：-第r+1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)：所有二項(xiàng)式系數(shù)和為 2n中

3、間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大f (x) =(ax +b)n =為 +ax +a2x2 +|+anXn 的展開式的系數(shù)關(guān)系：a。+a+a2 + 川+an =f(1); a。a1 + a2+111+(-1)% = f (T); a。= f (0)。.抽樣方法主要有：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽簽法、隨機(jī)樣數(shù)表法)常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的主要特征是從總體中逐個(gè)抽取;系統(tǒng)抽樣，常常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一個(gè)；分層 抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異。它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到 的概率相等。用總體估計(jì)樣本的方法就是把樣本的頻率作為總體的概率。.確定性事件

4、：必然事件不可能事件隨機(jī)事件：0 WP（A）W1樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式n _ _（知如切r二P - 2n ZZ（xrx）z i （yry）1=18.古典概型:mA包含的基本事件個(gè)數(shù)（）=n（總的基本事件個(gè)數(shù)）求基本事件個(gè)數(shù)：列舉法、圖表法9.幾何概型A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體區(qū)域總長(zhǎng)度（面積或體積)W注：試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果無限個(gè).常用抽樣（不放回）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：逐個(gè)抽取（個(gè)數(shù)少）系統(tǒng)抽樣：總體均分，按規(guī)則抽取（個(gè)數(shù)多）分層抽樣：總體分成幾層，各層按比例抽?。傮w差異明顯）.用樣本估計(jì)總體眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)一1 n平均數(shù)：x = 為n i 1中位數(shù)：按從小到大，處在中間的一個(gè)數(shù)據(jù)（或中間兩個(gè)數(shù)的平

5、均數(shù)）一一 21 J , 一、八 一萬差S = Z （Xi - x）標(biāo)傕差s 極差S超大數(shù)-最小數(shù) n yXX 2Xn212/、2/、2r平均數(shù)：X = 萬差：s = (x1 - x) + (x2 -x) + (xn - x)nn標(biāo)準(zhǔn)差：s= 1(X1 X)2 +(X2 X)2 + (Xn X)212.方差公式.2. 2. 2D = % -EpiX2 -EP2 HI xn-Epn 山標(biāo)準(zhǔn)差C- = , D .方差的性質(zhì):D(a： +b 尸a2Dt .(2)若七B(n, p)則 DU =np(1 p).若乂服從幾何分布，且P仔=k）=g（k，p） =qk,p,則(4)方差與期望的關(guān)系：D： =E

6、 （E* ）.方差與期望的關(guān)系D =E，2 -(EL)：.頻率分布直方圖一、.一, 頻率 u 小長(zhǎng)方形面積=組距x 1=頻率組距各小長(zhǎng)方形面積之和為眾數(shù)一最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)中位數(shù)一垂直于X軸且平分直方圖面積的直線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).莖葉圖：由莖葉圖可得到所有的數(shù)據(jù)信息如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等16.條件概率公式（理）P(B|A)=P(ABP互斥事件：不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件p a!Jb)=p(A) p(B)對(duì)立事件：兩個(gè)互斥事件必有一個(gè)發(fā)生互斥事件A B分別發(fā)生的概率的和n個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和17.獨(dú)立事件 A B同時(shí)發(fā)生的概率獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率n次獨(dú)立重復(fù)

7、試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生P(A)=1 - P(B)P(A + B)=P(A) + P(B).P(A1 + A2+ + An)=P(A1)+ P(A2)+ +P(An).P(A B)= P(A) P(B).P(A B)= P(A) P(B);P(A1 -2n)=P(A 1) P(A2) P(Ak 次的概率：Pn（K ）=C：pk（1 p 尸18.常用分布兩點(diǎn)分布 B(1,P)： E(X) = p二項(xiàng)分布B(n,P):期望公式 E(X)=np方差公式 D(X)=np(1 P)P(X=k)=C：pkqn”超幾何分布H（N,M,n）：E(X)二n MM D(X)-n(1 -N、N - nj P(x=k)

8、= ?19.數(shù)學(xué)期望Et=xiP +x2p2+n|H-xnP1 +m數(shù)學(xué)期望的性質(zhì):（i）E(a +b) =aE)+b.(2)若巴B（n，p），則 E：=ripk E：若服從幾何分布，且耍=k） =g（k, p） =q7P，則p。120.正態(tài)分布留度函數(shù)：f (x )= e xW (-0cl +看)2 62、的概率:仃（仃0）是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.）對(duì)于N（N尸），取值小于,x _ N )F (x尸【仃JP x1 : x0 : x2= P x : x2 )-P x : x1o性質(zhì)：曲線在x軸上方、關(guān)于x= N對(duì)稱,曲線與x軸圍成面積為1變量在區(qū)間（a,b）內(nèi)取值的概率等于密度曲

9、線與x軸、直線x = a、x = b 所圍成曲邊梯形的面積Xy標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線x2）e （ 2明中陰影部分面積表示概率P（x ： X0 ）13.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0,1）:X E(X) =0,D(X) = 1P(X a) =(a)可查表P(a :二 Jb) = (b) _ (a) a :二 0, (a) =1 - (-a) a = 0, (0) =0.5正態(tài)分布N（N,。2）：E( X)=，D(X) = :-2.a -P(X ：二 a) = F(a)=()crP(a b) = F (b) - F (a)P(X - a) =1 -P(X :二 a).21.回歸直線方程（最小二乘法）回歸直線方程：y

10、=a+bx,其中v X -X y -y回歸系數(shù)： (x -x fa = y -bxna Z (修。)(y廣7)i=l2i=lnE城i=l-nxla = y-bx92-2n（ac -bd）K 二.性檢驗(yàn)（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）.古典概型的計(jì)算（必須要用列舉法、列表法、樹狀圖的方法把所有基本事件表示出來，不重復(fù)、不遺漏）統(tǒng)計(jì).總體和樣本：在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把研究對(duì)象的全體叫做總體.把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體.把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量.為了研究總體x的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：M, %,，4研究，我們稱它為樣本.其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量.2、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就

11、是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同。（總體個(gè)數(shù)較少）3、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法：（1）抽簽法；隨機(jī)數(shù)表法；計(jì)算機(jī)模擬法；4、系統(tǒng)抽樣（等距抽樣）：把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。（總體個(gè)數(shù)較多）K （抽樣距離）=N （總體規(guī)模）/n （樣本規(guī)模）5、分層抽樣：先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟危缓笤僭诟鱾€(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。先以

12、分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。（總體中差異明顯）6、總體分布的估計(jì)：一表二圖：頻率分布表一一數(shù)據(jù)詳實(shí)頻率分布直方圖一一分布直觀頻率分布折線圖一一便于觀察總體分布趨勢(shì)注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。莖葉圖：莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。個(gè)位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的數(shù)重復(fù)寫。概率一、概念1、事件：試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表示；（1）必然事件：在條件 S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件 S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的

13、不可能事件；（3）隨機(jī)事件：在條件 S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件；2、古典概型：基本事件：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果；古典概型的特點(diǎn)：基本事件可列舉；每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生概率計(jì)算公式：一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，事件A包含了其中的m個(gè)基本事件，則事件A發(fā)生的概率p（A）=mn3、幾何概型：特點(diǎn)：所有的基本事件是無限個(gè)；每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生。構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體 積）幾何概型概率計(jì)算公式：試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）。4、若An B= 6 ,即不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，那么稱事件A與事件B互斥；5、若A A B為不可

14、能事件，AU B為必然事件，即不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件；二、概率的基本性質(zhì)：1）必然事件概率為 1,不可能事件概率為 0,因此0WP（A）W1；2）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P（AU B）= P（A）+ P（B）;3）若事件A與B為對(duì)立事件，則 A U B為必然事件，所以 P（A U B）= P（A）+ P（B）=1 ,于是有 P（A）=1 P（B）;4）互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件 B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而