集合間的基本關(guān)系講義

1、集合間的基本關(guān)系一、子集(一)子集：對于兩個集合A、B,如果集合A中任意一個元素 都是集合B中的元 素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合 A為集合B的子集，記作A B (或 B A),讀作“A含于B”(或B包含A)數(shù)學(xué)語言表示形式為：若對任意的xGA有xGB,則A B子集關(guān)系用文氏圖表示為：A B(或B A)1 B 、A.,.根據(jù)子集的定義，我們可以知道A A,也就是說任何集合都是它本身的一個子集.對于空集，我們規(guī)定A,.即空集是任何集合的子集。例1:用適當(dāng)?shù)姆柼羁?00222 N 2N變式練習(xí) 1：已知 A= x | x23x+2=0 , B= 1 , 2 , C= x | xv8,

2、xG N , 用適當(dāng)?shù)姆柼羁誂 B A C 2C 2 C例2:寫出集合a,b,c,d的所有子集。【解析】集合a,b,c,d的所有子集可以分為五類，即：(1)含有0個元素的子集，即空集 ；(2)含有一個元素的子集：a, b, c, d;(3)含有二個元素的子集：a,b, a,c, a,d, b,c, b,d, c,d;(4)含有三個元素的子集：a,b,c, a,b,d, a,c,d, b,c,d;(5)含有四個元素的子集：a,b,c,d.結(jié)論：如果集合A中有n個元素，則集合 A共有2n個子集變式練習(xí)1:已知集合A= x G N+ | - 1x4,則集合A的子集有個?！窘馕觥浚?個（二）、集合相

3、等：如果集合A是集合B的子集（A B）, 逐）且集合B是集合A的子集（B A）,則集合A與集合B相等，記作集合A=集合B。即：A B且B人則人=Bo（上節(jié)兩個集合相等：兩個集合的元素完全相同）例3 :已知集合A和集合B都是含三個元素的集合， 且集合A=a, a+ b, a+ 2b,B= a , ac, ac 2,若 A B 且 BA,求 c 的值。a b ac【解析】（1）右2消去b得：ac2+ a-2ac= 0,a 2b aca= 0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故aw0.c2-2c+1 = 0,即c= 1,但c= 1時，B中的三元素又相同，此時無解.2什 a b ac

4、12一（2）右消去 b 得：2ac ac a= 0,a 2b ac- aw 0, 2c2 c 1 = 0,即（c1） （2c + 1） =0,又 c1,故 c= 1。 2變式練習(xí)：已知集合A和集合B都含有三個元素，A= x , xy , x y , B= 0 , | x | ,y,若A B且B A,求2x+y的值?！窘馕觥浚河杉系幕ギ愋?，xy = 0, 則x=y,止匕時A=x, x2, 0, B= 0 , |x | , x,則 x2= | x | 且 x乎x2,故 x = y = 1,止匕時 A= 1, 1,0, B= 0 , 1,-1,符合題意，綜上所述，2x+y= 3。（三）、真子集：如

5、果集合A B,但存在元素xGB,且x A,我們稱集合A是集合B的真子集。記：/B（或BgA）A真含于B B 真包含A注意：即如果A B且A乎B,那么集合A是集合B的真子集，記作 庫B （或 軍A）。例如1 , 2些Z a, b/a, b, c等。子集與真子集的區(qū)別在于“/ B”允許A= B或恁B,而 電B是不允許“ A= B”的，所以如果 的B成立，則一定有 A B成立； 但如果有A B成立，陌B不一定成立。空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。例4：分別寫出集合a , a, b和a, b, c的所有子集和真子集。集合a的子集有，a,共有2個子集；真子集有a,共1個真子集。集合a

6、, b的子集有，a , b , a, b,共有4個子集；真子集有，a , b,共3個真子集。集合a , b, c的子集有：,a , b , c , a , b, a , c , b , c , a , b, c,共有 8 個即個子集；真子集有 ，a , b , c , a , b, a, c , b , c, 共7個真子集。結(jié)論：如果集合A中有n個元素、則集合A共有2n個子集：2 n1個真子集。例5:有適當(dāng)?shù)姆柼羁?。A= 2, 3, 6 B =x |x是 12 的約數(shù) A BA= 0 , 1 B =x I x2+ y2= 1, y G N A BA= x | - 1x2 B =x | - 2

7、x2 A BA= (x , y) | xXy0, y0 A BA= x | x2= 1 B =y | y2- 2y+ 4=0A B【解析】：(1)與(2)至(3)與(4)與(5)三變式練習(xí)1：已知集合A= 0, 1, B=z |z = x + y, xGA, yGB ,則B的子集有 ()A: 8個B:2個C:4個 D:7個【解析】：集合B中有3個元素，子集有8個。A變式練習(xí)2：已知集合 A= xGZ| 上0, B= y |y = x2+1, xGA,則集合 B x 3的含有元素1的子集個數(shù)為()A: 5 B:4 C :3 D:2【解析】：A= x GZ| -1x3=-1, 0, 1, 2,則

8、B=1 , 2, 5,則集合 B的含有元素1的子集有1 , 1 , 2 , 1 , 5 , 1 , 2, 5共四個，B變式練習(xí) 3:已知 A= x | x= a + 1, a G Z , B= x | x=b- , b G Z, C= x | TOC o 1-5 h z 623x=c+l, cGZ,則集合A、B、C滿足的關(guān)系是()26A: A= C B : &B= C C : SC D : 國欣A【解析】：A= 6x |6x=6a+1, aGZ, B= 6x |x = 3a 2=3(a 1)+1, bGZ, C= 6x|x=3c + 1, cGZ。則心B= C B變式練習(xí) 4：已知 A= x

9、| y= x2 2x 1 , B= y | y= x2 2x 1 , C= x | x2 2x 1= 0, D= x | x2 2x 1V0, E=(x , y) | y=x2 2x 1,則下列結(jié)論正確的是( )A: A B C D B : EC=BA C : B= E D : A= B【解析】：B變式練習(xí)5:若集合A滿足1 ,2 A 1,2, 3, 4,則滿足條件的集合 A的個數(shù)為個?！窘馕觥浚?個二、子集的有關(guān)性質(zhì)1、空集：我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記為 ，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，即只有一個子集就是它本身、而空集沒有真子集。2、子集與真子集的性質(zhì)(1)

10、任何集合是它本身的子集，即 A A;(2)對于集合 A、B、C,如果A B且B C,那么A C;(3)對于集合 A、B、C,如果 KB,且B=C,那么A=C;(4)空集 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例5:下列集合只有一個子集 的是()A: x | x20 B : x | x3 0【解析】：C例6:下列表述正確的是()A:= 0 B :0 C :0 D : G 0【解析】：B例 7:設(shè) A= x | 2m- ivxvm 3, B= x GR| x2+1 = 0問 m 為何值時能使得 A=Bo【解析】(1)顯然B=，欲使A=B,必須且只需A= 即可。由于 2m- 1 mnH- 3可得

11、4,止匕時 A= x | 2m- 1vxvm+ 3=.綜上可知，當(dāng)4時，A= B例 8:已知集合 A= x | x2 + x 2=0 , B= x | x a=0,若 B? A,貝a =【解析】易求A= 2, 1 , B= 1或2當(dāng) B= 1 , a=1; B= -2, a= 2綜上：a= 1或a = 2變式練習(xí) 1:已知集合 A= x | x2 8x+15=0, B= x | ax- 1 = 0,若 B? A,則a o【解析】：0或1或135例 9:設(shè)集合 A= x | (x 1)(x 4)00, B= x | x4變式練習(xí)1:已知集合 A= x | - 3 x 5,若集合 x | 2- 1

12、0 x&m 1,若A B?,則求m的取值范圍。【解析】一2m- K 3 542m 13變式練習(xí) 2：集合 A= x | -2x5 , B= x | m+ 1x2m- 1時，即m 2; (2)若B手，則m滿足m 1 2m 1m 12 解之得2&m 3,綜上所述，32m 1 5變式練習(xí) 2:已知函數(shù) f(x) = x2 ax b (a、b G R),且集合 A= x | x = f(x) , B=x | x=f f (x) , (1)求證：A B?;(2)當(dāng) A= -1, 3時，用列舉法表示Bo=f x =x,故 xGB,【解析】：(1)任取xGA,則有x = f(x),則f f (x)故A B;

13、b得:1,故 f(x) = x x 3311a. A=T 3，故 3 9 3a. ff(x)=(x2 x 3)2 (x2 x 3)3,故(x2x 3)2(x2x 3)(x2 x 3)2 x2 0, ，x = 3, x=1, x= 3 ,故 B= 1, 3, V3 ,課后綜合練習(xí)1、下列關(guān)系中正確的個數(shù)為( ) 060, 20,0, 1 (0 , 1)，( a, b) =( b, a)A: 1B : 2C: 3D : 4【解析】：B3【解析】：C3、設(shè) a、b G R,集合1 , a + b , a =0 , b, b,貝U b a =( aA: 1B: 1C : 2 D【解析】：C4、設(shè)集合A

14、=x |x=k+l, kGZ,若x=9,則下列關(guān)系正確的是 242A: x A B : x G A C . x G A D . x A【解析】：A5、用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?1) x | x2- 1 = 0 ; (2) 1 , 2, 3N;(3) 1x | x2x = 0;(4) 0 x | x2- 2x=0【解析】：三立6、已知集合 A= x | 1x47、已知 A= x | x2 3x + 2 = 0, B= x | ax- 2 = 0且 B A,則實數(shù) a 組成的集合 C是 O【解析】：0, 2, 18、寫出集合 A= x | 0 xv3, xGN+的真子集。【解析】：3個9、已知昨x | -2x5, N=x | a + 1x2a-10(1)若M N,求實數(shù)a的取值范圍。(2)若M N,求實數(shù)a的取值范圍?！窘馕觥浚?1)(2) a310、若集合A= x | ax a + 2,B= x |x01