第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷及答案

1、第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷B卷）答案一.填空題（本題滿分 30分，共有10道小題，每道小題 3分），請(qǐng)將合適的答案填 在空中.設(shè)向量AB的終點(diǎn)坐標(biāo)為B 2,1, 7，它在x軸、y軸、z軸上的投影依次為 4、4和7 ,則該向量的起點(diǎn) A 的坐標(biāo)為.設(shè)a、b、c都是單位向量，且滿足 a b c 0,則ab bc c a10.對(duì)于微分方程y 3y 2y ex,利用待定系數(shù)法求其特解 y時(shí)，應(yīng)設(shè)其特（只需列出特解形式，不必具體求出系數(shù)）答案:1.A 2, 3, 0 ；2.3.xcos xy 2xcos xy sinxy ；4.xy 1 1 y ln x ;5.2750單位;6.01dx f x, y

2、 dy1dx0 11f x,21 xy dy ；7.2uU0 ；8.9.3 sin xC1xC2；*x10. y Axe二.（本題滿分8分）求過點(diǎn)P01, 2, 3 ,且與兩平面2z 1和y 3z 2平行的直線方程.解：所求直線l過點(diǎn)Po 1, 2, 3設(shè)其方向向量為s,由于l平行于平面 x 2z 1和y 3z2,所以其方向向量 s同時(shí)垂直于向量n 11, 0, 2 與 n20, 1,3 .因此，方向向量s可取為2i,一 ，、， x 1從而所求直線方程為：x 2三.（本題滿分8分）其中k是常數(shù),函數(shù)F具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).試求uux y 一xyuz z解:k 1kx FFiF2 - x所以,k

3、xk1f - xk -x F2k -x F1uy一 ykxk 1F - xk zxz zFiyxF2zx1F1F1kyx2F2_y x1F1k 1y xF21kzy kx F ，一x x四.（本題滿分8分）計(jì)算二重積分IX2X2ey2 42dxdy的值.解：作極坐標(biāo)變換：x r cos TOC o 1-5 h z 22222I e dxdy d e rdrx2 y2 400e4 11 r2e2五.（本題滿分8分）某工廠生產(chǎn)兩種型號(hào)的機(jī)床，其產(chǎn)量分別為x臺(tái)和y臺(tái)，成本函數(shù)為22c（x, y） x 2y xy（萬兀）若市場(chǎng)調(diào)查分析，共需兩種機(jī)床8臺(tái)，求如何安排生產(chǎn)，總成本最少？最小成本為多少？解：

4、即求成本函數(shù)c x,y在條件x y 8下的最小值構(gòu)造輔助函數(shù)解方程組22F x, y x 2y xy (x y 8)Fx 2x y 0Fyx 4y 0F x y 8 0解得7,x 5,y 3這唯一的一組解,即為所求,當(dāng)這兩種型號(hào)的機(jī)床分別生產(chǎn) 5臺(tái)和3臺(tái)時(shí)，總成本最小，最小成本為：c（5, 3） 52 2 32 5 3 28 （萬） 六.（本題滿分10分）2 .將f x xarctanx ln Ji x 展開為x的帚級(jí)數(shù);.指出該哥級(jí)數(shù)的收斂域;求級(jí)數(shù) n1n 2n 1的和.解：.因?yàn)閍rctan x11 x1 2x 1 ,且 arctanO 0,n 2 n1 t dtnI 2n 1xn 0

5、2n 1x所以， arctan x1 nt2n dt0 n 021211 2n而 In .1 x In 1 x -x22 n 1 n所以， f x xarctanx In、1 xxn 0 2n 1 2n 20 2n 1n2n 1一 x2n2n1 2n 202n 1x12n 1n 0 2n 11 2n 2x2n 2.哥級(jí)數(shù) n o 2nx1 2n 22n2的收斂域?yàn)?, 1 .令X 1 ,則有_1 nn 1 n 2n 12 1 n 1 2n 2n 1七.（本題滿分10分）2f求微分方程xy ln x yln2.x ln x解：該方程為一階線性微分方程-1因此，P x ,xln x代入一階線性微分

6、方程的求解公式，有l(wèi)eln xln x 1ln xln xln xdxln x1ln x 1dxxln x Cln x所以，原方程的通解為arctan1 ln , 1 12的通解.ln x 1ln x_Ldx xlnx dx,xlnx ln xxln1ln xln x12 一 一 ln 24 2八.（本題滿分10分）n 1討論級(jí)數(shù)lnt的絕對(duì)收斂性與條件收斂性.nn n 1n 1解：.因?yàn)榧?jí)數(shù)1 ln為父錯(cuò)級(jí)數(shù)，un ln.由于,n 1nn,n 2 , n 1un 1unln lnn 1 n所以數(shù)列Un單調(diào)減少而且lim Un n因此由Leibniz判別法知，級(jí)數(shù)2,n 2 n, n2n -I

7、n2In 1 0n 1 2 n2 2n 1n 1lim In 0 n n1 n ln n1 收斂.n 1nn n 1.討論級(jí)數(shù)1nln n 1nn 1 、,、,ln n-1 .其前n項(xiàng)部分和為snn 1 nnlnln2 ln1 ln3 ln 2 ln 4 1n 3ln n 1 ln nln n 1n所以，級(jí)數(shù)n 1.n n 11 ln lnU發(fā)散.n 1 nn 1 , 綜上所述知，級(jí)數(shù) 1n ln 條件收斂. n 1n九.（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)f u具有二階連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),而且ex sin y滿足方程2 z2X2z2y2x e z,試求函數(shù)f Ux解：設(shè)u e sin y ,則有 TOC o 1

8、-5 h z zx _.zx fuesiny, fue cosy xy2所以，一zf ue2xsin2y f u ex sin yx2 Z2x 2x .-2f u e cos y f u e sin yx22代入方程Z Z e2xz,xy得，f u e2xsin2 y f u ex sin y f u e2x cos2 y f u exsin ye2xz即，f u e2xf u e2x由此得微分方程 解此二階線性微分方程，得其通解為f uCieu C2eu （Ci與C2為任意常數(shù)）此即為所求函數(shù).2Z3.設(shè) z sin xy cos xy ，貝U .y24.設(shè) Z Xy ,貝U - .x y5.某工廠的生產(chǎn)函數(shù)是Q f（L,K）,已知.當(dāng)L 64, K 20時(shí)，Q 25000 ; （2）當(dāng)L 64,K20時(shí)，勞力的邊際生產(chǎn)率和投資的邊際生產(chǎn)率為fL 270, fK 350。如果工廠計(jì)劃擴(kuò)大投入到L 69,K24 ,則產(chǎn)量的近似增量為