計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)范文

1、第七章：多重共線性第一部分：學(xué)習(xí)目的和要求在經(jīng)典多元線性回歸模型中，其中一個(gè)重要假設(shè)就是各變量之間是線性無(wú)關(guān)的。但在現(xiàn)實(shí)中我們建立的多元線性回歸模型的各變量之間都會(huì)存在一定程度上的線性相關(guān)一一即存在多重共線性。本章就是討論存在多重共線性的情形， 主要介紹了多重共線性的概念， 多重 共線性的理論后果，幾種檢測(cè)多重共線性的方法， 以及對(duì)多重共線性進(jìn)行補(bǔ)救的措施。 通過(guò) 本章的學(xué)習(xí)我們需要掌握以下幾個(gè)問(wèn)題：(1)多重共線性的概念，完全多重共線性和近似多重共線性的異同。(2) 了解多重共線性產(chǎn)生的原因。(3)理解多重共線性的理論及實(shí)際后果，對(duì)統(tǒng)計(jì)量估計(jì)的后果、對(duì)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)的 影響。(4)掌握

2、并學(xué)會(huì)運(yùn)用多重共線性的幾種監(jiān)測(cè)方法，主要有樣本決定系數(shù)檢驗(yàn)法、相關(guān)系數(shù)檢 驗(yàn)法、輔回歸模型檢驗(yàn)法、容許度與方差膨脹因子檢驗(yàn)法及特征值檢驗(yàn)法。(5)掌握并學(xué)會(huì)運(yùn)用多重共線性的補(bǔ)救措施：利用先驗(yàn)信息法、變換模型法、綜合使用橫截面數(shù)據(jù)和時(shí)間序列數(shù)據(jù)法、增加樣本容量法、刪除變量和設(shè)定偏誤法。第二部分：練習(xí)題一、術(shù)語(yǔ)解釋1、多重共線性2、完全多重共線性與近似多重共線性3、輔回歸4、容許度與方差膨脹因子5、條件指數(shù)與病態(tài)指數(shù)二、簡(jiǎn)答題1、導(dǎo)致多重共線性的原因有哪些？2、多重共線性為什么會(huì)使得模型的預(yù)測(cè)功能失效？3、如何利用輔回歸模型來(lái)檢驗(yàn)多重共線性？4、判斷以下說(shuō)法正確、錯(cuò)誤，還是不確定？并簡(jiǎn)要陳述你的理

3、由。(1)盡管存在完全的多重共線性，OLS估計(jì)量還是最優(yōu)線，f無(wú)偏估計(jì)量( BLUE )。(2)在高度多重共線性的情況下，要評(píng)價(jià)一個(gè)或者多個(gè)偏回歸系數(shù)的個(gè)別顯著性是不可能的。(3)如果某一輔回歸顯示出較高的R2值，則必然會(huì)存在高度的多重共線性。(4)變量之間的相關(guān)系數(shù)較高是存在多重共線性的充分必要條件。(5)如果回歸的目的僅僅是為了預(yù)測(cè)，則變量之間存在多重共線性是無(wú)害的。(6)和VIF相比，容許度(TOL)是多重共線性的更好度量指標(biāo)。5、考慮下面的一組數(shù)據(jù):Y-10-8-6-4-20246810X21234567891011X313579111315171921如果我們用模型:Y = i 1區(qū)

4、來(lái)對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合回歸。(1)我們能彳#到這3個(gè)估計(jì)量嗎？并說(shuō)明理由。(2)如果不能，那么我們能否估計(jì)得到這些參數(shù)的線性組合？可以的話，寫(xiě)出必要的計(jì) 算過(guò)程。6、考慮以下模型：丫=周”2*日3*：+吃；*由于X2和X3是X的函數(shù)，那么它們之間存在多重共線性。這種說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？7、在涉及時(shí)間序列數(shù)據(jù)的回歸分析中，如果回歸模型不僅含有解釋變量的當(dāng)前值，同時(shí)還含有它們的滯后值，我們把這類(lèi)型稱(chēng)為分布滯后模型( distributed-lag model)(見(jiàn)計(jì)量 經(jīng)濟(jì)學(xué)251頁(yè))。我們考慮以下模型：Yi - 12Xt- 3Xt 43Xt_2 _ 3 Xt J3 t其中丫一一消費(fèi)，X 收入，t時(shí)間

5、。該模型表示當(dāng)期的消費(fèi)是其現(xiàn)期的收入及其滯后 三期的收入的線性函數(shù)。在這一類(lèi)模型中是否會(huì)存在多重共線性？為什么？如果存在多重共線性的話，應(yīng)該如何解決這個(gè)問(wèn)題？8、設(shè)想在模型丫=旦+認(rèn)+豚3+耳中，X2和X3之間的相關(guān)系數(shù) Q為零。如果我們做如下的回歸：丫 =X ! TOC o 1-5 h z 丫12X2i1i丫 二X M 1 3八3 2i(1)會(huì)不會(huì)存在叱=用且2 =用？為什么？ 2233(2)用會(huì)等于R或？或兩者的某個(gè)線性組合嗎？(3)會(huì)不會(huì)有 var遇)=var()且 var(%) =var(區(qū))?9、通過(guò)一些簡(jiǎn)單的計(jì)量軟件(比如EViews、SPSS),我們可以得到各變量之間的相關(guān)矩陣1

6、3III3 321IIIr3kR =通o+I+卜卜a2kIII1J怎樣可以從相關(guān)矩陣看出完全多重共線性、近似多重共線性或者不存在多重共線性?三、計(jì)算題1、考慮消費(fèi)函數(shù)G ：1 Y W t =1,即| n, 其中，C、Y、W依次表示消費(fèi)、收入與財(cái)富。下面是假想數(shù)據(jù)。CYW7080810651001009901201273951401425110160163311518018761202002252140220220115524024351502602686(1)作C對(duì)丫和W的普通最小二乘回歸。(2)這一回歸方程是否存在著多重共線性？你的判斷依據(jù)是什么？(3)分別作C對(duì)Y和W的回歸，這些回歸結(jié)果表

7、明了什么？(4)作W對(duì)Y的回歸。這一回歸結(jié)果表明了什么？(5)如果存在嚴(yán)重的共線性，你是否會(huì)刪除一個(gè)解釋變量？為什么?2、下表給出了美國(guó)1971-1986年期間新客車(chē)出售的數(shù)據(jù)。年份YX2X3X4X5X6197110227112.0121.3776.84.8979367197210872111.0125.3839.64.5582153197311350111.1133.1949.87.388506419748775117.5147.71038.48.618679419758539127.6161.21142.86.168584619769994135.7170.51252.65.2288752

8、197711046142.9181.51379.35.5092017197811164153.8195.31551.27.7896048197910559166.0217.71729.310.259882419808979179.3247.01918.011.289930319818535190.2272.32127.613.7319827980197.6286.62261.411.209952619839179202.6297.42428.18.69198410394208.5307.62670.69.65198511039215.2318.52841.17.75198611450224.4

9、323.43022.16.31Y 新車(chē)出售量，未經(jīng)季節(jié)調(diào)整數(shù)量；X2 新車(chē)，消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)， 1967年=100,未經(jīng)季節(jié)調(diào)整;X3 消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)，1967年=100,未經(jīng)季節(jié)調(diào)整；X4 個(gè)人可支配收入，10億美元，未經(jīng)季節(jié)調(diào)整；X5 利率，百分?jǐn)?shù)，金融公司票據(jù)直接使用；X6 民間就業(yè)勞動(dòng)人數(shù)(個(gè)人)，未經(jīng)季節(jié)調(diào)整。如果你決定使用表中全部回歸元作為解釋變量，可能會(huì)遇到多重共線性嗎？為什 么？如果你這樣認(rèn)為的話，你準(zhǔn)備怎樣解決這個(gè)問(wèn)題？明確你的假設(shè)并說(shuō)明全部計(jì)算。制定適當(dāng)?shù)木€性或者對(duì)數(shù)線性的模型，以估計(jì)美國(guó)對(duì)汽車(chē)的需求函數(shù)。第三部分：參考答案一、術(shù)語(yǔ)解釋1、多重共線性：對(duì)于經(jīng)典線性回歸模型(

10、CLRM )Y =飛*1X2i Xki . 5 i =1,2，n如果上式中某兩個(gè)或多個(gè)解釋變量之間出現(xiàn)了相關(guān)性，則稱(chēng)為存在多重共線性。 依據(jù)解釋變量之間共線性的程度不同，可以分為完全多重共線性和近似多重共線性。2、完全多重共線性與近似多重共線性：所謂完全多重共線性，是指線性回歸模型中的 若干解釋變量或全部解釋變量之間具有嚴(yán)格的線性關(guān)系，也就是說(shuō)，對(duì)于多元線性回歸模型，若各解釋變量X1,X2，Xk的之間存在如下的關(guān)系式：1X12X2kXk -0II 22k k式中A,%,，兒是不全為零的常數(shù)，則稱(chēng)這些解釋變量之間存在完全多重共線性。當(dāng)各解釋變量Xi, X2,，Xk的之間存在如下的近似的線性關(guān)系：

11、1X12X2kXk 0則可以說(shuō)上述解釋變量之間存在近似多重共線性。還可以采用如下的方式，在近似線性關(guān)系式中，假設(shè) 兀*0,則可將此近似線性關(guān)系表示為：Xi ”1X1 一 一：Xi i .iXi .1 ： kXk Vi其中a,=九1 /九i , Vi為隨機(jī)誤差項(xiàng)。3、輔回歸：在變量之間存在多重共線性的情況下，有一個(gè)解釋變量能由其它解釋變量近似的線性表示出來(lái)。為了找出哪個(gè)解釋變量和其它變量有這種關(guān)系，我們可以將每個(gè) Xi對(duì)其余變量進(jìn)行回歸，即Xi - 1X1 + 二yXi： i .Xi .1 +二kXk . Vi這種回歸叫做輔回歸，它是相對(duì)于Y對(duì)各個(gè)X的主回歸而言的。4、容許度與方差膨脹因子：在含

12、有k個(gè)變量的回歸模型中，包括常數(shù)項(xiàng)和k-1個(gè)回歸元，解釋變量 Xj的偏回歸系數(shù)的方差可以表示為：一 2,VIFi ,2工Xvar（彳）=、X212我們定義萬(wàn)差膨脹因子 VIFi =2 , R2為第i個(gè)解釋變量與其它解釋變量輔回歸模型的 1-R決定系數(shù)。1谷許度被定乂為 TOLi =1 - R2 = 。VIFi容許度與方差膨脹因子的數(shù)值可以被用來(lái)檢測(cè)多重共線性。5、條件指數(shù)與病態(tài)指數(shù)：條件指數(shù)與病態(tài)指數(shù)是在特征值檢驗(yàn)法中用來(lái)檢測(cè)多重共線 性所構(gòu)造出來(lái)的兩個(gè)指標(biāo)。條件指數(shù)(病態(tài)數(shù))CN (condition number ) ： CN=最大特征數(shù)/最小特征數(shù)病態(tài)指數(shù) CI (condition i

13、ndex ): C =(N簡(jiǎn)答題1、答：經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)中大量存在多重共線性這一現(xiàn)象， 主要原因在于：經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域很難象其它實(shí)驗(yàn)學(xué) 科那樣從控制性試驗(yàn)中獲得數(shù)據(jù)； 此外，可能有經(jīng)濟(jì)變量結(jié)構(gòu)上的原因， 也有數(shù)據(jù)收集與模 型設(shè)定方面的原因，具體的，有以下幾種：(1)所使用的數(shù)據(jù)收集方法。我們只能在一個(gè)有限的范圍內(nèi)得到觀察值，無(wú)法進(jìn)行重 復(fù)試驗(yàn)。(2)模型或從中取樣的總體受到約束(經(jīng)濟(jì)變量的共同趨勢(shì))。(3)模型設(shè)定的偏誤。(4)過(guò)度決定的模型。這種情況尤其容易發(fā)生在解釋變量的個(gè)數(shù)大于觀測(cè)值個(gè)數(shù)的情 形。由于上述原因，實(shí)際應(yīng)用中，解釋變量之間總會(huì)存在一定程度的線性相關(guān)，因此，問(wèn)題不是多重線性有無(wú)，而是多重共線性

14、的嚴(yán)重程度。2、答：多元線性回歸模型的一個(gè)重要應(yīng)用是經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)。對(duì)于模型Y = X ：如果給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值X0,就可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值丫0 =Xo ：但是，這只是被解釋變量的預(yù)測(cè)值的估計(jì)值而不是預(yù)測(cè)值。預(yù)測(cè)值僅以某一個(gè)置信水平位于以該估計(jì)值為中心的一個(gè)區(qū)間中。對(duì)于預(yù)測(cè)的置信區(qū)間，我們利用的是構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量，得到在給定(1-a的置信水平下丫0的置信區(qū)間為Yo-t /2 - 1 Xo XX ”Xo二丫0 二丫0 t：/21 Xo XXXo1顯然，當(dāng)解釋變量之間存在多重共線性時(shí)，(XX)非常大，故而Yo的置信區(qū)間也很大，因此，模型的預(yù)測(cè)功能失效。3、答：輔回歸是相對(duì)于 Y對(duì)各個(gè)X的主

15、回歸而言的。在變量之間存在多重共線性的情況下， 有一個(gè)解釋變量能由其它解釋變量近似的線性表示出來(lái)。為了找出哪個(gè)解釋變量和其它變量有這種關(guān)系，我們可以將每個(gè)Xi對(duì)其余變量進(jìn)行回歸，即Xi =X1 +十a(chǎn)-X-十%/+ 1 +%Xk +Vi，并計(jì)算相應(yīng)的決定系數(shù)，分別記為R2。然后，我們?cè)诮⒔y(tǒng)計(jì)量：F _R2 (k-2)i (1-R2) (n-k 1)它服從自由度為k-2和n-k+1的F分布。其中n為樣本大小，k為包括常數(shù)項(xiàng)在內(nèi)的解釋變量個(gè)數(shù)。如果計(jì)算出的 Fi超過(guò)了相應(yīng)自由度的臨界值，則認(rèn)為這個(gè)Xi和其余的解釋變量存在共線性；如果Fi未超過(guò)臨界值，則認(rèn)為這個(gè) Xi和其余的解釋變量不存在共線性。

16、這種輔回歸模型檢驗(yàn)不僅可以檢驗(yàn)是否存在多重共線性，而且還可以得到多重共線性的具體形式。4、答：(1)錯(cuò)。如果變量之間存在完全的線性關(guān)系時(shí)，我們甚至無(wú)法估計(jì)其系數(shù)或者標(biāo)準(zhǔn)誤。(2)錯(cuò)。在高度多重共線性的情況下，仍然可以得到一個(gè)或者多個(gè)顯著的t值。(3)錯(cuò)。OLS估計(jì)量的方差有下式給出：_ 2var(?)從此式可以看出，一個(gè)很高的R2可被一個(gè)很低的 92或者很高的Z Xi2抵消掉。(4)錯(cuò)。如果一個(gè)模型只有兩個(gè)回歸元，兩兩之間的高度相關(guān)系數(shù)便表示存在多重共 線性。但是在變量之間存在多重共線性的前提下，可能是幾個(gè)變量之間的關(guān)系。變量之間的相關(guān)系數(shù)較高是存在多重共線性的充分非必要條件。(5)不確定。如

17、果觀測(cè)到共線性在后來(lái)的樣本數(shù)據(jù)中繼續(xù)存在，或許無(wú)害。但如果不是這樣，或者目的在于做出精確的估計(jì)的話，多重共線性便成為問(wèn)題。 如果僅僅要是預(yù)測(cè)的話，預(yù)測(cè)有效的前提條件是模型結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定。(6)錯(cuò)。VIF和TOL給出的信息含義是相同的。它們僅僅是同一種方法的兩個(gè)不同 的指標(biāo)而已。5、答：(1)不能。通過(guò)對(duì) *2和*3的觀察，我們可以知道它們存在以下的關(guān)系：X3i =2X2i -1,所以可知變量 X2和X3是完全線性相關(guān)的。(2)把方程寫(xiě)成Y = 1-X2i =(2X2i -1)=(-1 - -3) ( -2 2 3)X2i =:1 ,二Mi 其中% =耳P3P2 =久十2/。 113223因此，我們

18、可以唯一的估計(jì)出和口2,但無(wú)法估計(jì)出原始的 P ,因?yàn)閮蓚€(gè)方程無(wú)法解出三個(gè)未知數(shù)。6、答：這種說(shuō)法不正確。因?yàn)閄2和X3都是x的非線性函數(shù)，把它們包括在回歸模型中并不違反經(jīng)典性線性回歸模型的基本假設(shè)。多重共線性的相關(guān)是指的變量之間的線性相關(guān)。7、答：(1)是的。經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)有同向變動(dòng)的趨勢(shì)。在這里，收入的滯后變量一般也可 以相同的方向變動(dòng)。(2)在遇到時(shí)間序列數(shù)據(jù)存在線性相關(guān)性時(shí)，我們一般都是采用一階或者高階差分變 換來(lái)消除共線性。8、答：(1)是的。這是因?yàn)?*2和X3之間的相關(guān)系數(shù)為 0,所以P系數(shù)的表達(dá)式2、。YiX2i)(XX3i )-。YiX3i)(XX2iX3i )為二_2_2

19、_2(-X2i )( _X3i )-(-X2iX3i)YiX3i)(xX2i2)-(v YiX2i)(VX2iX3i )馬二一 2 一 2 一2(X2i)(X3i ) -(1 X2i X3i )中的交叉乘積項(xiàng)消失，從而變成與a和尸系數(shù)同樣的表示式。(2)是它們的一個(gè)線性組合。證明如下：?縱-縱:？ =Y - ？2X2 =丫 - gXz& =丫_?女3=丫_?3又3因此有用=喝+2一丫。(3)不是。原因如下：var(馬)二乂2：(1-232)、 X2i/2一,(23 = 0)2；?2var?2 )、x2；9、答：我們可以利用相關(guān)矩陣的行列式來(lái)判斷多重共線性與否，可以利用R的行列式大小來(lái)判斷多重共

20、線性的強(qiáng)弱。若R的行列式為0時(shí)，則存在完全的共線性。若R的行列式很小接近于 0時(shí)，則存在近似的共線性。若R的行列式為1時(shí)，則變量正交、不存在共線性。三、計(jì)算題1、解：(1)使用EViews軟件進(jìn)行回歸Dependent Variable: SER01Method: Least SquaresDate: 07/02/06 Time: 19:32Sample: 1 10Included observations: 10VariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb.C24.3369061W-0.0.-1.0.2839Y.02

21、76R-squared0.Mean dependent111.0000varAdjusted R-squared0.S.D. dependent var31.42893S.E. of regression6.Akaike info criterion6.Sum squared resid282.8586Schwarz criterion6.Log likelihood-30.90120F-statistic106.5019Durbin-Watson stat2.Prob(F-statistic)0.回歸得到的方程為：Y? =24.34-0.03/?+0.87?。(2)有。R-squared的值

22、為0.，但是系數(shù) W通過(guò)不過(guò)顯著性檢驗(yàn)。VariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb.C24.4545051Y43170.0000R-squared0.Mean dependent111.0000varAdjusted R-squared0.S.D. dependent var31.42893S.E. of regression6.Akaike info criterion6.Sum squared resid337.2727Schwarz criterion6.Log likelihood-31.78092F-st

23、atistic202.8679Durbin-Watson stat2.Prob(F-statistic)0.VariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb.C26.4519140W75190.0000R-squared0.Mean dependent111.0000varAdjusted R-squared0.S.D. dependent var31.42893S.E. of regression8.Akaike info criterion7.Sum squared resid593.4849Schwarz crit

24、erion7.Log likelihood-34.60652F-statistic111.8346Durbin-Watson stat2.Prob(F-statistic)0.在這兩個(gè)回歸中，系數(shù)是顯著的，而在同時(shí)對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸時(shí)，卻存在部分系數(shù)的不顯著，說(shuō)明變量之間存在多重共線性。VariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb.C-3.73,70690-0.0.9647Y10.372730.25,252990.0000R-squared0.Mean dependent1760.000varAdjusted R-squared0.S.D. dep

25、endent var632.0272S.E. of regression74.61690Akaike info criterion11,63947Sum squared resid44541.45Schwarz criterion11.69998Log likelihood-56.19734F-statistic637.7133Durbin-Watson stat2.Prob(F-statistic)0.VariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb.Y10.354970.83,514000.0000R-squared0.Mean dependent

26、1760.000varAdjusted R-squared0.S.D. dependent var632.0272S.E. of regression70,35864Akaike info criterion11,43973Sum squared resid44553.05Schwarz criterion11,46999Log likelihood-56.19864Durbin-Watson stat2.不管是否帶上常數(shù)項(xiàng)，R-squared的值都非常大(0,98 ),而且Y的系數(shù)都通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，說(shuō)明 W和Y存在高度的共線性。在滿足模型的經(jīng)濟(jì)含義的前提下(以免造成模型設(shè)置失誤)，我們還是可

27、以通過(guò)舍去W或者Y來(lái)消除共線性的2、解：首先我們發(fā)現(xiàn)各個(gè)變量在數(shù)量級(jí)上存在較大差別，所以我們一般考慮對(duì)數(shù)線性回歸模型。如果我們的對(duì)數(shù)回歸模型中包含了所有的解釋變量，則得到如下的結(jié)果：Dependent Variable: LOG(Y)Method: Least SquaresDate: 07/02/06 Time: 20:31Sample: 1971 1986Included observations: 16VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C3.19,116560.0.8682LOG(X2).0675LOG(X3)-4.1

28、.-2.0.0280LOG(X4).1217LOG(X5)-0.0.-0.0.8077LOG(X6).8942R-squared0.Mean dependent9.varAdjusted R-squared0.S.D. dependent var0.S.E. of regression0.Akaike info criterion-2.Sum squared resid0.Schwarz criterion-2.Log likelihood27.23099F-statistic11.77442Durbin-Watson stat1.Prob(F-statistic)0.我們發(fā)現(xiàn) R-squared=0.0.80 , LOG(X4) 、L