2020_2021學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)章末復(fù)習(xí)課3練習(xí)含解析選擇性必修第一冊(cè)

1、PAGE PAGE 14章末復(fù)習(xí)課回顧本章學(xué)習(xí)過(guò)程、建構(gòu)“基本思想、基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”之間的聯(lián)系.要點(diǎn)訓(xùn)練一圓錐曲線的幾何性質(zhì)圓錐曲線的幾何性質(zhì)主要包括范圍、對(duì)稱性、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、長(zhǎng)短軸(橢圓)、實(shí)虛軸(雙曲線)、漸近線(雙曲線)、離心率和準(zhǔn)線(拋物線).1.若橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為32,則雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線方程為()A.y=12xB.y=2xC.y=4xD.y=14x解析:由橢圓的離心率e=32,可知a2-b2a2=34,所以ba=12,故雙曲線的漸近線方程為y=12x.答案:A2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)

2、為F,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線的一條漸近線垂直,直線l與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)A,B,若AF=3FB,則該雙曲線的離心率為()A.52B.62C.233D.3解析:不妨設(shè)與直線l垂直的漸近線的方程為y=-bax.由題意,得直線l的方程為x=bay+c,取a=1,則x=by+c,且b2=c2-1.將x=by+c代入x2-y2b2=1,得(b4-1)y2+2b3cy+b4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=-2b3cb4-1,y1y2=b4b4-1.由AF=3FB,得y1=-3y2,所以-2y2=-2b3cb4-1,-3y22=b4b4-1,得3b2c2=1-b4,解得b

3、2=14,所以c=b2+1=54=52,故該雙曲線的離心率為e=ca=52.答案:A3.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為22,F1,F2為橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓短軸的端點(diǎn),PF1F2的面積為2.(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)O為原點(diǎn),若點(diǎn)A在橢圓C上,點(diǎn)B在直線y=2上,且OAOB,試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解: (1)由題意,得ca=22,122cb=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=c=2,所以橢圓C的方程為x24+y22=1.(2)直線AB與圓x2+y2=2相切.證明如下:設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x0,y0),(t,2),其

4、中x00.因?yàn)镺AOB,所以O(shè)AOB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0 x0.當(dāng)x0=t時(shí),y0=-t22,代入橢圓C的方程,得t=2,故直線AB的方程為x=2.圓心O到直線AB的距離d=2.此時(shí)直線AB與圓x2+y2=2相切.當(dāng)x0t時(shí),直線AB的方程為y-2=y0-2x0-t(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0,d=|2x0-ty0|(y0-2)2+(x0-t)2.因?yàn)閤02+2y02=4,t=-2y0 x0,所以d=2x0+2y02x0 x02+y02+4y02x02+4=4+x02x0 x04+8x02+162x02=2.此時(shí)直線AB與圓x2+y2

5、=2相切.綜上所述,直線AB與圓x2+y2=2相切.要點(diǎn)訓(xùn)練二直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,化簡(jiǎn)后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,則直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況:(1)相交:0直線與圓錐曲線相交;(2)相切:=0直線與圓錐曲線相切; (3)相離:1,b0)的焦距為2c,直線l過(guò)點(diǎn)(a,0)和(0,b),且點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)(-1,0)到直線l的距離之和s45c,則雙曲線的離心率的取值范圍是52,5.解析:由題意知直線l的方程為bx+ay-ab=0.由點(diǎn)到直線的距離公式,且a1,得點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d1=b(a-1)

6、a2+b2,點(diǎn)(-1,0)到直線l的距離d2=b(a+1)a2+b2,s=d1+d2=2abc45c,即5ac2-a22c2,即5e2-12e2,所以4e4-25e2+250,解得54e25,因?yàn)閑1,所以52e5,即e的取值范圍為52,5.2.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0),其焦點(diǎn)為F1,F2,離心率為22,直線l:x+2y-2=0與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B.(1)若點(diǎn)A是橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn),求橢圓的方程;(2)若線段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范圍.解:(1)由題意,得A(2,0),B(0,1).由橢圓的離心率為22,得a=2c.由題意得a=2,

7、所以c=2,b=2,所以橢圓的方程為x24+y22=1.(2)由e=22,設(shè)橢圓方程為x2a2+2y2a2=1,聯(lián)立方程,得x2a2+2y2a2=1,x+2y-2=0,消去x,得6y2-8y+4-a2=0.若線段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2a,則線段AB與橢圓E有公共點(diǎn),等價(jià)于方程6y2-8y+4-a2=0在y0,1上有解.設(shè)f(y)=6y2-8y+4-a2,則0,f(0)0,即a243,4-a20,所以43a24,故a的取值范圍是233,2.要點(diǎn)訓(xùn)練三圓錐曲線的定義及應(yīng)用“回歸定義”解題的三點(diǎn)應(yīng)用應(yīng)用一:在求軌跡方程時(shí),若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義,則根據(jù)圓錐曲線的定義,

8、寫出所求的軌跡方程.應(yīng)用二:涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題時(shí),常用定義結(jié)合解三角形的知識(shí)來(lái)解決.應(yīng)用三:在求有關(guān)拋物線的最值問(wèn)題時(shí),常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,或把到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離.1.已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切,和圓C2相外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.x264-y248=1B.x248+y264=1C.x248-y264=1D.x264+y248=1解析:設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)M(x,y),半徑為r,因?yàn)閳AM與圓C1:(x-4)2+y2=169內(nèi)切,與圓C2:(x+

9、4)2+y2=9外切,所以|MC1|=13-r,|MC2|=r+3,所以|MC1|+|MC2|=168,由橢圓的定義,知圓心M的軌跡為以C1,C2為焦點(diǎn)的橢圓,可得a=8,c=4,則b2=a2-c2=48,所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為x264+y248=1.答案:D2.在ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中a,c,b成等差數(shù)列,且acb,|AB|=2,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.解:以線段AB所在直線為x軸,線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),因?yàn)閍,c,b成等差數(shù)列,且acb,所以a+b=2c,即|BC|+|AC|=2|AB|=4.由橢圓的定義,可知點(diǎn)C的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)

10、的橢圓(y0),其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為3,方程為x24+y23=1.又因?yàn)閍cb,所以x0.又因?yàn)槿c(diǎn)A,B,C構(gòu)成三角形,所以x-2,所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為x24+y23=1(x0,n0).(3)定量由題設(shè)中的條件找到“式”中關(guān)于待定系數(shù)的等量關(guān)系,通過(guò)解方程得到量的大小.1.以x軸為對(duì)稱軸,通徑長(zhǎng)為8,頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線方程是()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y答案:C2.若橢圓x2a2+y2b2=1的焦點(diǎn)在x軸上,過(guò)點(diǎn)1,12作圓x2+y2=1的切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),則橢圓的方程是x25

11、+y24=1.解析:因?yàn)辄c(diǎn)1,12在圓外,過(guò)點(diǎn)1,12與圓相切的一條直線為x=1,且直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),所以橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0),即c=1.設(shè)點(diǎn)P1,12,連接OP,則OPAB,因?yàn)閗OP=12,所以kAB=-2.又因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)(1,0),所以直線AB的方程為2x+y-2=0.因?yàn)辄c(diǎn)(0,b)在直線AB上,所以b=2.又因?yàn)閏=1,所以a2=5,所以橢圓的方程是x25+y24=1.3.已知雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點(diǎn),它的一條漸近線方程為x-3y=0,求雙曲線的方程.解:橢圓x2+4y2=64,即x264+y216=1,其焦點(diǎn)是(43,0).設(shè)雙曲線方程為x2

12、a2 - y2b2=1(a0,b0),則其漸近線方程是y=bax.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為x-3y=0,所以ba=33.又因?yàn)閍2+b2=c2=64-16=48,解得a2=36,b2=12.所以所求雙曲線方程為x236-y212=1.要點(diǎn)訓(xùn)練五圓錐曲線的綜合問(wèn)題圓錐曲線的綜合問(wèn)題, 涉及函數(shù)、方程、不等式(組)、平面幾何等諸多方面的知識(shí),形成了求軌跡、最值、對(duì)稱性、取值范圍、線段的長(zhǎng)度等多種問(wèn)題.角度一:定值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值:依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式中參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值.(2)斜率之積、之和為定值:利用斜率公式得出斜率的解析式,再利用

13、題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求解.(3)求某線段長(zhǎng)度為定值:利用長(zhǎng)度公式求得解析式,再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求解.已知拋物線C:y2=ax(a0)上一點(diǎn)Pt,12到焦點(diǎn)F的距離為2t.(1)求拋物線C的方程.(2)拋物線上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1,過(guò)點(diǎn)Q(3,-1)的直線與拋物線C交于M,N兩個(gè)不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合),設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值.(1)解:由拋物線的定義可知,|PF|=t+a4=2t,則a=4t.因?yàn)辄c(diǎn)Pt,12在拋物線上,所以at=14,所以aa4=14,所以a2=1.因?yàn)閍0,所以a=1,所以拋物線的方程為y2=x.(2)證明:因?yàn)辄c(diǎn)A在拋

14、物線上,且yA=1,所以xA=1,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1).設(shè)過(guò)點(diǎn)Q(3,-1)的直線l的方程為x-3=m(y+1),即x=my+m+3,代入y2=x,得y2-my-m-3=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以k1k2=y1-1x1-1y2-1x2-1=y1y2-(y1+y2)+1m2y1y2+m(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=-12.所以k1k2為定值.角度二:定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法:先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示的變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系,找到定點(diǎn).(2)特殊到一般法:先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探

15、索出定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).1.已知拋物線y2=2px(p0)上的點(diǎn)T(3,t)到焦點(diǎn)F的距離為4.(1)求t,p的值.(2)如圖,設(shè)A,B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且OAOB=5(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).說(shuō)明:直線AB過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解:(1)由拋物線的定義,得3+p2=4,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.把點(diǎn)T(3,t)代入拋物線方程,可解得t=23.(2)設(shè)直線AB的方程為x=my+n,Ay124,y1,By224,y2,由y2=4x,x=my+n,得y2-4my-4n=0,則y1+y2=4m,y1y2=-4n.由OAOB=5,得(y1y2)216+y

16、1y2=5,所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),所以-4n=-20,即n=5,所以直線AB的方程為x=my+5,所以直線AB過(guò)定點(diǎn)(5,0).2.(全國(guó)卷)已知A,B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a1)的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn),G為橢圓E的上頂點(diǎn),AGGB=8.P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與橢圓E的另一交點(diǎn)為C,PB與橢圓E的另一交點(diǎn)為D.(1)求橢圓E的方程;(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).(1)解:由題意,得A(-a,0),B(a,0),G(0,1),則AG=(a,1),GB=(a,-1),由AGGB=8,得a2-1=8,即a=3,所以橢圓E的方程為x29+y2=1.(2)證明:設(shè)C(x1

17、,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t0,設(shè)直線CD的方程為x=my+n.作出圖象,如圖所示.由題意可知,-3n3.因?yàn)橹本€PA的方程為y=t9(x+3),所以y1=t9(x1+3).同理可得y2=t3(x2-3).于是有3y1(x2-3)=y2(x1+3).因?yàn)閤229+y22=1,所以y22=-(x2+3)(x2-3)9,將其代入,消去x2-3,可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.由x=my+n,x29+y2=1,消去x整理可得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.所以y1+y2=-2mnm2+9

18、,y1y2=n2-9m2+9,將其代入,得(27+m2)(n2-9)-2m2n(n+3)+(n+3)2(m2+9)=0,解得n=32或-3.因?yàn)?3n0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為()A.33B.23C.22D.1解析:設(shè)Py022p,y0,由題意得Fp2,0,顯然y00,則OM=OF+FM=OF+13FP=OF+13(OP-OF)=13OP+23OF=y026p+p3,y03,可得kOM=y03y026p+p3=2y0p+2py0222=22,當(dāng)且僅當(dāng)y02=2p2,即y0=2p時(shí)取等號(hào).答案:C2.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為

19、坐標(biāo)軸,且拋物線x2=-42y的焦點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)A(1,2)在該橢圓上.(1)求橢圓E的方程;(2)若斜率為2的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,當(dāng)ABC面積為最大值時(shí),求直線l的方程.解:(1)由已知,得拋物線的焦點(diǎn)為(0,-2),故可設(shè)橢圓E的方程為y2a2+x2a2-2=1.將點(diǎn)A(1,2)的坐標(biāo)代入橢圓方程,得2a2+1a2-2=1,整理得a4-5a2+4=0,得a2=4或a2=1(舍去),故所求橢圓E的方程為y24+x22=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=2x+m,設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),由y24+x22=1,y=2x+m,消去y并化簡(jiǎn),得4x2+22mx+m2-

20、4=0.由=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)0,得m2b0)的離心率為22,且過(guò)點(diǎn)A(2,1).(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)M,N在橢圓C上,且AMAN,ADMN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.(1)解:由題意可得e=ca=22,4a2+1b2=1,a2=b2+c2,2分解得a2=6,b2=3.1分(累計(jì)3分)故橢圓C的方程為x26+y23=1.1分(累計(jì)4分)(2)證明:設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2).因?yàn)锳MAN,所以AMAN=0,即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0.(i)1分(累計(jì)5分)當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)直線MN的方程為y

21、=kx+m,如圖.代入橢圓方程消去y并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0,所以x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-61+2k2,(ii)2分(累計(jì)7分)把y1=kx1+m和y2=kx2+m代入(i)式整理可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0,(iii)將(ii)式代入(iii)式可得(k2+1)2m2-61+2k2+(km-k-2)-4km1+2k2+(m-1)2+4=0,整理化簡(jiǎn),得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因?yàn)锳(2,1)不在直線MN上,所以2k+m-10,所以2k+3m+1=0,k1,1分(累計(jì)8分)評(píng)分細(xì)則第(1)題有e=ca=22得1分,有4a2+1b2=1得1分.沒(méi)有過(guò)程只有結(jié)果得1分.如果第(1)問(wèn)錯(cuò)誤,那么第(2)問(wèn)0分.第(2)題只有寫出坐標(biāo)表達(dá)式才能得分.設(shè)方程有以下兩種情況:第一,如