平方差公式完全平方公式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、乘法公式的復(fù)習(xí)一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式：位置變化，xyyxx2y2符號(hào)變化，xyxyx2y2x2y2指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z22zmzmmx2y2z222zmm增項(xiàng)變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z222連用公式變化，xyxyxy2222xyxy44xy逆用公式變化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz完全平方公式活用:把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平

2、方公式為例，經(jīng)過(guò)變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：1.a22aba2b2b2.a22aba2b2b3.a2a22a2b2bb4.a2a24abbb靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問(wèn)題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例1已知ab2，ab1，求a2b2的值。例2已知ab8，ab2，求(ab)2的值。解：(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2(ab)24ab(ab)24ab=(ab)2ab8，ab2(ab)2824256例3已知ab4，ab5，求a2b2的值。解：2222aababb425262三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問(wèn)題（一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中

3、的“兩數(shù)”1計(jì)算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本題兩個(gè)因式中“-5”相同，“2x2”符號(hào)相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”則是公式中的b2計(jì)算(-a2+4b)2分析：運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時(shí)，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若將題目變形為(4b-a2)2時(shí)，則“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b（解略）（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件3計(jì)算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算，但注意觀察，兩個(gè)因式中的“2x”、“5”兩項(xiàng)同號(hào)，“y”、“z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技巧

4、使原式變形為符合平方差公式的形式5計(jì)算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析：此題乍看無(wú)公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(xiàng)（2-1），則可運(yùn)用公式，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)（三）、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每?jī)身?xiàng)乘積2倍6計(jì)算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+22xy+22x(-3)+2y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y（四）、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式7已知：x+2y=7，xy=6，求(

5、x-2y)2的值10計(jì)算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)后計(jì)算，但逆用完全平方公式，則運(yùn)算更為簡(jiǎn)便四、怎樣熟練運(yùn)用公式：熟悉常見(jiàn)的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn)常見(jiàn)的幾種變化是：1、位置變化如（3x+5y）（5y3x）交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計(jì)算了2、符號(hào)變化如（2m7n）（2m7n）變?yōu)椋?m+7n）（2m7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化如98102，992，912等分別變

6、為（1002）（100+2），（1001）2，（90+1）2后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數(shù)變化如（4m+n）（2mn）變?yōu)?（2m+n）（2mn）2444后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了（四）、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來(lái)解，此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡(jiǎn)便如計(jì)算（a2+1）2（a21）2，若分別展開(kāi)后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡(jiǎn)便即原式=（a2+1）（a21）2=（a41）2=a82a4+1對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向（從左到右）運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向（從右到左）運(yùn)用如計(jì)算（11）（11）（11）（1223242192）（11102），

7、若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計(jì)算繁難，而且容易出錯(cuò)若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題即原式=（11）（1+1）（11）（1+1）（11）（1+1）22331010=1324911=111=112233101021020有時(shí)有些問(wèn)題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）22ab，a2+b2=（ab）2+2ab等用這些變式解有關(guān)問(wèn)題常能收到事半功倍之效2222如已知m+n=7，mn=18，求m+n，mmn+n的值面對(duì)這樣的問(wèn)題就可用上述變式來(lái)解，22222（18）=49+36=85，即m+n=（m+n）2mn=

8、722223（18）=103mmn+n=（m+n）3mn=7下列各題，難不倒你吧？！1、若a+1=5，求（1）a2+12，（2）（a1）2的值aaa2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數(shù)字（答案：1.（1）23；（2）212.6）五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次乘法公式：(ab)(ab)=a2b2，(ab)=a22abb2，(ab)(a2abb2)=a3b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡(jiǎn)單的套用例1計(jì)算(2xy)(2xy)第二層次逆用，即將這些公式反過(guò)來(lái)進(jìn)行逆向使用例2計(jì)算第三層次活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探

9、尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式3化簡(jiǎn)：(21)(221)(241)(281)1分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò)，注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律，如果再增添一個(gè)因式“21”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問(wèn)題迎刃而解解原式=(21)(21)(221)(241)(281)1=(221)(221)(241)(281)1=216第四層次變用：解某些問(wèn)題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2b2=(ab)22ab，a3b3=(ab)33ab(ab)等，則求解十分簡(jiǎn)單、明快5已知ab=9，ab=14，求2a22b2的值解：ab=9，ab=14，2a22b2=2(ab)22ab=2(

10、92214)=106，第五層次綜合后用：將(ab)2=a22abb2和(ab)2=a22abb2綜合，可得(ab)2(ab)2=2(a2b2)；(ab)2(ab)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問(wèn)題顯得新穎、簡(jiǎn)捷6計(jì)算：(2xyz5)(2xyz5)解：原式=1(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2-1(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)244=(2x5)2(yz)2=4x220 x25y22yzz2乘法公式的使用技巧：提出負(fù)號(hào)：對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式，通常先提出負(fù)號(hào)，以避免負(fù)號(hào)多帶來(lái)的麻煩。例1、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2改變

11、順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排列順序，可以使公式的特征更加明顯.例2、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：111a2（1）(3a-4b)(-4b-3);（2）(x-1/2)(x+1/4)(x+1/2)逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2=(a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解題時(shí)常會(huì)收到事半功倍的效果。例3、計(jì)算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2;（2）(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2合理分組：對(duì)于只有符號(hào)不同的兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，一般先將完全相同的項(xiàng)調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號(hào)相反的項(xiàng)放在后面

12、，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).先提公因式，再用公式例2.yy計(jì)算：8x4x24簡(jiǎn)析：通過(guò)觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù)2出來(lái)，變?yōu)?4xy，則可利用乘法公式。4.先分項(xiàng)，再用公式3.計(jì)算：2x3y22x3y6簡(jiǎn)析：兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒(méi)多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將2分解成4與2的和，將6分解

13、成4與2的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開(kāi)。.先整體展開(kāi)，再用公式4.計(jì)算：(a2b)(a2b1)簡(jiǎn)析：乍看兩個(gè)多項(xiàng)式無(wú)聯(lián)系，但把第二個(gè)整式分成兩部分，即(a2b)1，再將第一個(gè)整式與之相乘，利用平方差公式即可展開(kāi)。六.先用公式，再展開(kāi)例6.計(jì)算：111111112232421021212簡(jiǎn)析：第一個(gè)整式1可表示為12，由簡(jiǎn)單的變化，22可看出整式符合平方差公式，其它因式類似變化，進(jìn)一步變換成分?jǐn)?shù)的積，化簡(jiǎn)即可。.先整體展開(kāi)，再用公式4.計(jì)算：(a2b)(a2b1)簡(jiǎn)析：乍看兩個(gè)多項(xiàng)式無(wú)聯(lián)系，但把第二個(gè)整式分成兩部分，即(a2b)1，再將第一個(gè)整式與之相乘，利用平方差公式即可展開(kāi)。六.先用公式，再展開(kāi)例6.計(jì)算：111111112232421021212簡(jiǎn)析：第一個(gè)整式1可表示為12，由簡(jiǎn)單的變化，22可看出整式符合平方差公式，其它因式類似變化，進(jìn)一步變換成分?jǐn)?shù)的積，化簡(jiǎn)即可。.先整體展開(kāi)，再用公式4.計(jì)算：(a2b)(a2b1)簡(jiǎn)析：乍看兩個(gè)多項(xiàng)式無(wú)聯(lián)系，但把第二個(gè)整式分成兩部分，即(a2b)1，再將第一個(gè)整式與之相乘，利用平方差公式即可展開(kāi)。六.先用公式，再展開(kāi)例6.計(jì)算：111111112232421021212簡(jiǎn)析：第一個(gè)整式1可表示為12，由簡(jiǎn)單的變化，22可看出整式符