重慶雙江中學(xué)高二數(shù)學(xué)解析幾何例題

1、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)例題 TOC o 1-5 h z 22(1)過(guò)點(diǎn) P( J,5) 與雙曲線(xiàn) -L =1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有幾條，分別求出它72522,們的萬(wàn)程。(2)直線(xiàn)y=kx+1與雙曲線(xiàn)3x - y =1相交于a、B兩點(diǎn)，當(dāng)a為何值時(shí),A、B在雙曲線(xiàn)的同一支上？當(dāng)a為何值時(shí)，A、B分別在雙曲線(xiàn)的兩支上？解析：(1)解：若直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，則x=J7,此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)(J7,0),滿(mǎn)足條件;若直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為y-5 = k(x-，7)則y = kx + 5 kJ7 ,x2 (kx 5 k、7)22- 2- -=1,25x2 -7(kx + 5-kV7)2 =7父25,72

2、5(25 -7k2)x2 -7 2kx(5-k ,7) (5-k.7)2 -7 25 = 0,5.7 ,. 一 .當(dāng)k =時(shí)，方程無(wú)解，不滿(mǎn)足條件；當(dāng)/尹2x5xx10 = 75方程有一解，滿(mǎn)足條件;225 22 2當(dāng) k2 時(shí)，令-： =14k(5-k , 7)2 -4(25-7k2)(5 k、7)2 -165 =0 ,化簡(jiǎn)彳導(dǎo):k無(wú)解，所以不滿(mǎn)足條件； 5 7所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有兩條 x =和y = -5 x +10。7(2)把 y =kx + 1 代入 3x2 y2 =1 整理得：(3 a2)x2 -2ax-2 = 0 (1)當(dāng) a#M3時(shí)，2 =24 -4a2 o由 0得-66，晨甚且

3、a # 73時(shí)，方程組有兩解，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)。2若A、B在雙曲線(xiàn)的同一支，須 x1x2 =0 ,所以a1T3或a%3。a。3故當(dāng)、后啟7舊或J3a/6時(shí)，A B兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng) J3aJ3時(shí)，A B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的兩支上。點(diǎn)評(píng)：與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有兩種。一種是與漸近線(xiàn)平行的兩條與雙曲線(xiàn)交于一點(diǎn)的直線(xiàn)。另一種是與雙曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)也有兩條。2 y22. (1)求直線(xiàn)y=x+1被雙曲線(xiàn)x =1截得的弦長(zhǎng)；42(2)求過(guò)定點(diǎn)(0,1)的直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)x2 -2=1截得的弦中點(diǎn)軌跡方程。42x2 -工=1222得 4x _(x+1) 4=0 得 3x -2x-5 = 0(*)4解析：由y

4、 = x 12X|X2 , X| X2 得，= 8.23則設(shè)直線(xiàn)的方程為y = kX 1 ,設(shè)方程(*)的解為K，X2,則有3d = ,2 區(qū)-X2 1= . 2 *(X1 X2) -4X1X2 = 2. 9，3（2）方法一：若該直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)與雙曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn), 它被雙曲線(xiàn)截得的弦為 AB對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為P（X，y）,y = kX 12y 1- 二12、 24 得(4 -k)X -2kX-5 = 0(*)22、設(shè)方程（*）的解為x1，x2,則=十2。（4 k ） 054-k2.16k2 ：80,|k | ： .52kX1 X2 =2,X1X2且4 -k21 . kX 二二(X1X2 )2 ,24

5、-k1 ,、1 ,、,y 二二(y y2)二二(、x2) 1 =2244 -k2kX =24;ky4 - k22得 4x -y +y=0(y或 y0)。方法二：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為A（X1,y1）,B（X2,y2） ,弦中點(diǎn)為Pdy),則24X1, 2 4x22.-Y1=42.-Y2 =4得:4(X1 x2)(x -X2) = (y1 y2)(y1 - 2y y2 二 4（x1 -X2）_y _ 4x. X1 +x2y1-y2 , 即x y1,即4x2 y2+y = 0（圖象的一部分）點(diǎn)評(píng)：（1）弦長(zhǎng)公式|AB|=|x1X2|=,1+/|y1y2|; （2）有關(guān)中點(diǎn)弦問(wèn) 題的兩種處理方法。22

6、解析：設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為三_三 a2 b2.過(guò)雙曲線(xiàn)的一焦點(diǎn)的直線(xiàn)垂直于一漸近線(xiàn)，且與雙曲線(xiàn)的兩支相交，求該雙曲線(xiàn)離心率 的范圍。一一 一. b . . _=1(a 0, b a 0) , F (c,0),漸近線(xiàn) y = - x ,則過(guò) F a.2 22 22, 2b x -ay -ab =0的直線(xiàn)方程為y=a(xc),則 aby = -(x-c)b代入得(b4 -a4)x2 +2a4cx-a4c2 -a2b4 =0,：0 _ 441 即得b a ,Xf x2 0b a ,即得到 e J2。取值范點(diǎn)評(píng)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線(xiàn)的幾何要素建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系, 圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系

7、。.直線(xiàn)m y=kx+1和雙曲線(xiàn)x2-y2=1的左支交于 A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P (2, 0)和線(xiàn) 段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l在y軸上的截距b的取值范圍。分析：本題的目標(biāo)是求參數(shù) b的取值范圍，與例 3中第(2)問(wèn)，在方法上相同，一方 面，由直線(xiàn) m與雙曲線(xiàn)左支交于兩點(diǎn)，可得關(guān)于k、b的不等式，A =f(k , b)0 ,但應(yīng)注意A B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)Xa, Xb均小于0;另一方面，由直線(xiàn)l過(guò)P及AB中點(diǎn)，又可得到關(guān)于 k, b的等量關(guān)系g(k , b)=0,聯(lián)立f(k , b)0及g(k , b)=0 ,可求b的取值范圍。 TOC o 1-5 h z y = kx + 19 9解：9= (1k2)

8、x2 2kx 2 = 0 x2 -y2 =1設(shè) A ( X1 , y1 ) , B ( X2 , y2 ) , AB 中點(diǎn)為 M ( X0 , y ),則由題意，得”2kx1 +x2 =2 0= 1 k 0px1 x2k又 X0 -2 21-k2y。1=kx0 12,即 M (1 -k21 - k2 1 -k2二直線(xiàn)l的斜率為kPM1-k2 -0二直線(xiàn)l的方程為y =k1 -k212(n、 -2k2 k 2一(一2)-2k2 k 2(x 2)令x=0,得直線(xiàn)l在y軸上的截距為b=2-, kW(1,J2)-2k2 k 2注：求b的取值范圍，即求以 k為自變量的函數(shù) b=f(k)的值域?！?函數(shù)g

9、(k) =-2k2 +k +2 = -2(x -)2 +17在(1,J2)上為減函數(shù) TOC o 1-5 h z 48g(Q) g(k) g(1),且g(k)*0 即血-2g(k)1,即g(k)#0二一2-jJ一或一2-a 2 即b0,bO）的右頂點(diǎn)為A, P是雙曲線(xiàn)右支上異于頂 a b作雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn) 的平行線(xiàn)與直線(xiàn)OP分別交于Q和R兩點(diǎn)（1）證明：不論p點(diǎn)在什么位置，總有 op2=OQ Or；點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A（2）在雙曲線(xiàn)上是否存在 一點(diǎn)P,使AAQR的面積等于 生？若存在，寫(xiě)出4請(qǐng)說(shuō)明理由。P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,17已知向量OA =（2,0）,OC =AB =（0,1）,動(dòng)點(diǎn)M到定直

10、線(xiàn)y = 1的距離等于d,并且滿(mǎn)足OM AM=k （CM BM -d2），其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，k是參數(shù)（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷曲 線(xiàn)類(lèi)型；1 .(2)當(dāng)k=1時(shí)，求|OM +2AM |的最大值與最小值(3)如果動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條圓錐曲線(xiàn)，其離心率e滿(mǎn)足蟲(chóng)工出，求k的取值范圍 32215.解:(1)由拋物線(xiàn)方程，得焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)橢圓G的方程:事 a2+與=1(a b a 0),解方程組 b22y = 4x,x = 1,由于Ci, C2者B關(guān)于珞由對(duì)稱(chēng)：: 嶼| =匹d1 = - ,A|FA|=3X2=-|FA| |AB| 3423.192.22，A(1,一),二二十2=1，又a -b

11、 =c2a24b222方程為2 =143=1,得3+3 =1,解得b2 =3,并推得a2 =4,故橢圓CMb 1 4b(2)設(shè)l : x=ty +1,解方程組J2/y =4x,x=ty +1,消元得：y2-4ty-4 = 0, ：=16t2 16 0, TOC o 1-5 h z r 22，| PQ|=Ji +t2.316t2 +16 =4(t2 +1).再解方程組13xy 一 二0得:(3t2+4)y2+6ty 9 = 0,x =ty +122 二36t36(3t4) 0.5+3t = ,.33衛(wèi)盧二坦口由四:5,即虹口3t2 43t2 4 . | MN | 312(t1)23t2 4故直線(xiàn)

12、l的方程為：y = 6x-V3或y = 7x + V3.216.解:(1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(Xi, y1),則OP方程為：y = *x,且與 x1ay1 yxbb分別為，l1: y = (x-a),l2: y = 一一(x-a)由同理得R點(diǎn)坐標(biāo)為(abxabybx1 aybx ay12 y1b2),OQ OR =1,過(guò)A與漸近線(xiàn)平行的兩直線(xiàn)方程得Q點(diǎn)坐標(biāo)為(bl bx1 - ayi2 222 222a b (xy) _ a b (Xiy1)2 2222b Xi -a y12. 2.xia b ( 2 a2b2)abybx1 - ay1二為2y12 ; OP2(2)點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離即AQR的QR上的

13、高為h= r 1ya|.x； yi2，|OR|= ji +一22,Xiyiab | xi|Xi|1 2a|yi |,2 2 |b Xi=2a 2 bxiyi|yi| _2|yiJ2,2 a b /A Oxi d忌殂w,y B2a 27y1ab 2Jb2i 得 Xi=a, TOC o 1-5 h z bx2j. yi =土一，代22a2二滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為(史a,士b) 22i7.解:(i)設(shè)M(x, y),則由 oA=(2,0),oC = aB =(0,i)且O是原點(diǎn)，得 A(2,0), B(2,i),C(0,i)，從而oM =(x, y), AM =(x2, y),CM = (x,

14、 y-i), BM = (x2, y-i),d =| yi|,根據(jù)曲 AM = k(CM 而d2)得(x, y) (x-2, y) =k(x, y -i) (x-2, y-i)-| y i |2,即(ik)x2 +2(k i)x+ y2 =0為所求軌跡2方程，當(dāng)k=i 時(shí)，y=0,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條直線(xiàn)；當(dāng)k#i時(shí)，方程可化為(x-i)2+-y = ii-k動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓。當(dāng)k=0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓；當(dāng)0 k i4k OBt,動(dòng)點(diǎn)M的軌 跡是一個(gè)橢圓 TOC o 1-5 h z (2)當(dāng)k=時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是(x-i)2+2y2 =i,即y2 =二-(x-i)2,從而|OM+

15、2疝|2 = 22 222222 i i29527|(x,y) 2(x-2,y)| =|(3x-4,3y)| =(3x-4)9y =(3x-4) 9 (x-i) =-(x-)-325 .c . 7.又由(xi)2 +2y2 =i得O Ex E2.所以當(dāng)x=時(shí),|OM +2AM |2,取得最小值,當(dāng)x = O時(shí)，|OM32i4+ 2AM |2取得最大值i6,因此|OM +2AM |的最大值是4,最小值是 t 3(3)由于 3 e2 r- 一， 一 一、,八，即e Mi,所以此時(shí)圓錐曲線(xiàn)是橢 圓，其方程可以化為2當(dāng)O二k ：二1時(shí),222a =i,b =i-k,c2,2二a -biM(ik) =

16、k 此時(shí) e22 c2 a22(x-i) . y =ii i-k3 . . 2=k，而W e 9，32當(dāng)k ；O時(shí)，a2=i -k, b2 =i,c2=a2 -b2 = (i k)-i = -k,此時(shí)e22 c -2 a-ki-k k -i田3 .2而-e -i上3 k -i TOC o 1-5 h z 1 一 一-1w.而 kO,可解得iWkE.22綜上可以k的取值范圍是-i,-4uCJ23 27,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(i,O)和B(i,O)的距離分別為 di和d2 , /APB = R ,且存在常數(shù)2%（0 九1）,使得d1d2sin ,(1 -)-V 5 7211 -11 - 1-:二，：二一

17、.,-2.1.0235 -12由知，H1w九4 36 =九.（1）證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線(xiàn)，并求出 C的 方程；（2）過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)雙曲線(xiàn)C的右支于M, N兩點(diǎn)，試確定K的范圍，使OME = 0, 其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).解法一：（1）在 PAB 中，AB| =2 ,即 22 =d； +d； 2d1d2cos28,4=（d1 d2）2 +4d1d2 sin29 ,即 |d1 一d2| = ,4 4d1d2sin2 8 =2/T2 （常數(shù)）， TOC o 1-5 h z 、/、,2點(diǎn)P的軌跡C是以A, B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)2a = 2 J匚f的雙曲線(xiàn).方程為：工=1.1 - 設(shè)M區(qū)，W），N（X2,

18、y2）當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為x = 1 , M （1,1）,11o-1 _ 5N (1, 1)在雙曲線(xiàn)上.即 一一=1=九+九1=0= %=,因?yàn)? 九 1 ,1 - 25-1.所以k=-.當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè) MN的方程為y = k（x1）.2得： -(1 - )k2 x2 2(1 - )k2x-(1- )(k2)=0,y =k(x-1)由題意知：4一(1-，)k2 =0,所以K %;為(1 ) , 2 -(1 - )k2xx22-(j )(k2-)1 - (1 - 1)k22是：yy2 =k (xi -1)(x2 -1) =,-(1 - 1) k2因?yàn)镺M5n=0,且M, N

19、在雙曲線(xiàn)右支上，所以gyy2 =0 x1x20=x1x20k2當(dāng)X|=X2=1時(shí)，2 I.21、，八 一 ，MB = 九=1=九十九一1= 0,因?yàn)?九1 ,所以1 九x1九二史二1；當(dāng)X #X2時(shí)，IJ2| X2.1-= kMN又 kMN kBE -所以(1 九)y0 =，uX0 九X0 ；Xo -1由 / MON =得 X2 + y：= 岬,由第二定義得21 ,又 0 兒 12-3一1 5-12, 解得：%升上一。升口 r 父 m *點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,0) .(I)證明CA, CB為常數(shù)；(II)若動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足CM =CA + CB + CO(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)M的軌跡方程.19.解：

20、由條件知 F(2,0),設(shè) A(x1, y), B(x2, V2) .(I)當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn) A, B的坐標(biāo)分別為(2,J2) , (2,- J2),此時(shí) cacb =(1,揚(yáng)1,揚(yáng)=1 .當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn) AB的方程是y =k(x2)(k1).代入 x2-y2 =2 ,有(1 k2)x2+4k2x (4k2 +2) = 0.則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以x1+x2 =4k24 k22 , x1x2 = -2，k -1k -1于是CACB2 , TOC o 1-5 h z = (X1-1)(X2- 1)yiy2 =(X1- 1)(X2- 1) k(X1-2)(x2- 2)2_22(k2 1)(4k2 2)k2 -1= (k2 1)X1X2 -(2k2 1)(X1 - x2) 4k2 1 4k2(2k2 1)2 彳 4k2 1k2 -1= (Mk2 2)+4k2+1 = 1.綜上所述，CAW 為常數(shù)1.,、5、一(II)解法一：設(shè) M (x, y),則 CM =(x1, y) , CA = (x1-1, y1),CB = (X21, y2), CO = (-1,0),由x -1 = X1 x2- 3