板塊命題點(diǎn)專練(十三)

1、板塊命題點(diǎn)專練(十二)命題點(diǎn)一橢圓命題指數(shù)：2難度：高、中2!題型：選擇題、填空題、解答題1.(2015東高考)已知橢圓25+和=1(m0)的左焦點(diǎn)為Fi(4,0)，則m=()B.3解析：選B由左焦點(diǎn)為Fi(4,0)知c=4.又a=5,225m=16,解得m=3或一3.又m0,故m=3.222.(2016全國丙卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C:%+2=1(ab0)的左焦點(diǎn)，A,abB分別為C的左、右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF丄x軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，貝UC的離心率為()B.解析：選A如圖所示，由題意得A(a,0),B(a,0),F(c,

2、0).由PF/OE，得闔LAEJ|AO|，設(shè)E(0,m),mfac則|mf|=.12|e|BO|又由OEM，得芮=胡m(a+c則|mf|=2a.由得ac=(a+c),即卩a=3c,c1，e=_=二a3故選A.3.(2016全國乙卷)直線I經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到I的距離為其短軸長的占則該橢圓的離心率為()4B.解析：選B不妨設(shè)直線I經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)B(0,b)和一個焦點(diǎn)F(c,O)，則直線IXy|bc|1c11的方程為x+y=1，即bx+cybc=0.由題意知=2b,解得-=不，即e=t.故cbi.2,24a22屮+c224.(2015浙江高考)橢圓j+詁=1(ab0)的右

3、焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線y=bx的對稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是解析：設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為Fi(c,0),如圖，連接QFi,QF,設(shè)QF與直線y=bx交于點(diǎn)M.由題意知M為線段cOM丄FQ.又0為線段FiF的中點(diǎn),FiQ/OM,/-FiQJQF,|FiQ|=2|0M|.在RtMOF中，tan/MOF=|=b，lF=c,c2bc可解得|OM|=,|MF|=aa故|QF|=2|MF|=血，|QF1|=2|OM|=經(jīng)aa由橢圓的定義得|QF|+|QF1|=2bp+經(jīng)=2a,aa整理得b=c,+c2=2c,故e=a答案：5.(2015全國卷n)已知橢圓C:22字+b=1(ab0)的離心率為今，點(diǎn)(

4、2,2)在C上.(1)求C的方程;(2)直線I不過原點(diǎn)0且不平行于坐標(biāo)軸，I與C有兩個交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線I的斜率的乘積為定值.解：由題意得=孑,芻+務(wù)1解得a2=8,b2=4.22所以C的方程為+y=1.證明：設(shè)直線I:y=kx+b(kz0,0),A(xi,yi),B(X2,y2),M(xm,y”).22將y=kx+b代入尋+4=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b28=0.X1+X22kbb故xM=2,yM=kxM+b=222k+12k+1于是直線OM的斜率koM=yM=1xm211即koMk=.命題點(diǎn)二雙曲線命題指數(shù)：2難度：中2題型：選擇題、填

5、空題所以直線OM的斜率與直線I的斜率的乘積為定值.y=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的3mnx1.（2016全國乙卷）已知方程mn距離為4，則n的取值范圍是（）A.(1,3)C.(0,3)B.(1,3)D.(0,3)解析：選A由題意得（m2+n）（3m2n）0，解得一m2vn3m2，又由該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,得m2+n+3m2n=4,即卩m2=1,所以一1n0,b0)，則|BM|=|AB|=2a,/MBx=180ab120=60點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2a,3a）.點(diǎn)M在雙曲線上，22攀一誥=1,解得a=b,cc=2a,e=a=零2故選D.2X3.（2016全國甲卷）已知F1,F2是雙曲線E:孑

6、2y2=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直，1sin/MF2F1=3則E的離心率為（)A.2B3.2C.3D.2解析：選A法一：作出示意圖,如圖，離心率ce=-aIF1F2I由正弦定理得e=|F1F2|2c|MF2|-|MF1|MF2|-|MFi|sin/=1MF2sinzMF1F2sin/MF2F1LJ31=2.故選A.132a法二：因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以阿尸1|=幺a又sinzMF舊=3,所以需二寺即|MF2|=3|MFi|.由雙曲線的定義得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=也，所以b2=a2,所以ac2=b2+a2=2a2,所以離心率e=J=24.（2015全國卷

7、n）已知雙曲線過點(diǎn)（4,3），且漸近線方程為y=gx，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為解析：法一：雙曲線的漸近線方程為y=x,可設(shè)雙曲線的方程為X24y2=；（入工0）.雙曲線過點(diǎn)（4,3）,=164X(3)2=4,2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為中一y2=1法二：1T漸近線y=x過點(diǎn)(4,2)，而30,b0）.由已知條件可得b1a=2，a2=4,解得o7-i=1，b2=1,2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為xy2=1.4四邊形OABC為正方形，|OA|=2,OABC的邊OA,OC2答案：4y2=i225.（2016北京高考）雙曲線X2y2=1（a0,b0）的漸近線為正方形ab所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的

8、邊長為2,解析：不妨令B為雙曲線的右焦點(diǎn)，A在第一象限，則雙曲線如圖所示.c=|OB|=22,ZAOB直線OA是漸近線，方程為尸Jc,字tanZAOB=1，即a=b999又b=c=8,.a=2.答案：2命題點(diǎn)三拋物線命題指數(shù)：難度：中題型：選擇題、填空題、解答題11.(2015全國卷I)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為2,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合，A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn)，貝U|AB|=()A.3B.6D.1222T拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為解析：選B由題意，設(shè)橢圓E的方程為X2+y2=1(ab0),ab(2,0),橢圓中c=2,又C=1,.a=4,a2b2=a2c2

9、=12,從而橢圓的方程為22xy+=116121.A|BF|1AA.|AF|1C叫|AF|+1F,且拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為x=2,，Xa=Xb=2,將Xa=2代入橢圓方程可得”a|=3,由橢圓的對稱性可知|AB|=2張|=6.2.(2015浙江高考)如圖，設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,物線上，點(diǎn)C在y軸上，則BCF與厶ACF的面積之比是2“B.AF|1|BF|2+1D.|AF|2+1解析：選A由圖形可知，BCF與厶ACF有公共的頂點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)共線，易知BCF與厶ACF的面積之比就等于貰闇.由拋物線方程知焦點(diǎn)F(1,0),作準(zhǔn)線I,貝Ul的方

10、程為x=1.B在拋物線上，過A,B分別作AK,BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點(diǎn)K,H，且與y軸分別交于點(diǎn)N,M.由拋物線定義，得|BM|=|BF|1,|AN|=|AF|1.在厶CAN中，BM/AN,/.=揣=|AC|AN|af|122xy3.(2015山東高考)平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線6：孑一午=1(a0,b0)的漸近線與拋物線C2：x2=2py(p0)交于點(diǎn)O,A,B-若厶OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，貝UCi的離心率為解析:雙曲線的兩條漸近線方程為y=x,與拋物線方程聯(lián)立得交點(diǎn)aa2ppb2pb)a,a,拋物線焦點(diǎn)為F0,拋物線焦點(diǎn)為F0,2pba,2，由三角形垂心的性質(zhì)，得BFJOA,!卩

11、kBFoa=p2p?2aabb,-1，又kBF=2pb=4b-akoA=a，所以有a2aa=-1，即去5故C1的離心率e3_23_22X_.4.(2015全國卷I)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C:y=才與直線I：y=kx+a(a0)交于M,N兩點(diǎn).當(dāng)k=0時，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時，總有/OPM=ZOPN?說明理由.解：(1)由題設(shè)可得M(2.a,a),N(-2a,a),或M(2a,a),N(2a,a).又y=2,2故y=在x=2a處的導(dǎo)數(shù)值為.a,C在點(diǎn)(2a,a)處的切線方程為y-a=a(x2a),即.axya=0.2y=4在x=-2,a處的導(dǎo)數(shù)值

12、為一a,C在點(diǎn)(一2a,a)處的切線方程為y-a=-.a(x+2.a),即.ax+y+a=0.故所求切線方程為ax-y-a=0和ax+y+a=0.(2)存在符合題意的點(diǎn).理由如下：設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn)，M(X1,y1),N(X2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2將y=kx+a代入C的方程，得x216k122(34k)由X1(2)=2，得X1=3+4k3+4k4kx4a=0.故xi+X2=4k,XiX2=4a.yiby2bTOCo1-5hz從而ki+k2=+xiX22kxiX2+abxi+X2ka+bX1X2a當(dāng)b=a時，有ki+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角

13、互補(bǔ),故/OPM=/OPN，所以點(diǎn)P(0,a)符合題意.命題點(diǎn)四圓錐曲線中的綜合問題命題指數(shù)：22難度：高題型：解答題1.(2016全國甲卷)已知A是橢圓E:才+殳=1的左頂點(diǎn)，斜率為k(k0)的直線交E于A,M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上,MA丄NA.當(dāng)|AM|=|AN|時，求AMN的面積；當(dāng)2|AM|=|AN|時，證明:3vkv2.解:(1)設(shè)M(X1,y1),則由題意知y10.n由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為；.4又A(2,0)，因此直線AM的方程為y=x+2.22將x=y2代入X4+；=1得7y212y=0.12解得y=0或y=172,所以y1=乎.TOCo1-5hz1212144因此

14、AMN的面積Samn=2X；XtX：=.7749(2)證明：設(shè)直線AM的方程為y=k(x+2)(k0),22代入:+；=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k212=0.故|AM|=|xi+2|1+k2=121+k23+4k2由題意，設(shè)直線AN的方程為y=k(x+2),12k/l+k2故同理可得|AN|=訂3k+4由2|AM|=|AN|,得223+4kk3k+4TOCo1-5hz32即4k6k+3k8=0.32設(shè)f(t)=4t6t+3t8,則k是f(t)的零點(diǎn).29f(t)=12t12t+3=3(2t1)0,所以f(t)在(0,+s)上單調(diào)遞增.又f(3)=15326V0,f(2)=60,

15、因此f(t)在(0,+s)上有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)k在(3,2)內(nèi)，所以.3Vkv2.2.(2016全國乙卷)設(shè)圓x2+y2+2x15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，I交圓A于C,D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.解：(1)證明：因?yàn)閨AD|=|AC|,EB/AC,所以ZEBD=/ACD=/ADC，所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由題設(shè)得A(1,0),B(1,0),|AB|=2,22由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為：+才=1(yz0).當(dāng)I與x軸不垂直時，設(shè)I的方程為y=k(x1)(k0),M(X1,yi),N(X2,y2).y=kx-1，由律1得(4k12+3)x28k2x+4k212=0,X1+X2=8k24k2+32