-A3(第九章第1、2、3節(jié))課件

1、高等數(shù)學(xué) A三Tel: 66132415崔洪泉 F-608第九章 向量代數(shù)與空間解析幾何1 向量及其線性運(yùn)算一、向量概念有向線段箭頭所指的方向就是向量的方向。向量：有大小也有方向的量。一向量起點(diǎn) M1，終點(diǎn) M2 ，M1M2aM1M2則向量可用有向線段或a表示。有向線段的長度表示 M1M2 的大小，稱為記為 M1M2 或 向量的模,零向量：單位向量：平行向量：相等向量：自由向量：模為 1 的向量，記為 a 0 或 M1M20 。模為 0 的向量，記為 0 .與始點(diǎn)位置無關(guān)的向量?？杀３执笮?、方向不變進(jìn)行平移。以下研究的向量均為自由向量。 兩向量的方向相同或相反。 a / b .且方向一致。同理

2、可定義多個向量共面。平行向量也稱共線向量。向量夾角：s把其中一向量繞 s 旋轉(zhuǎn)，使其方向與另一向量的方向重合，這個旋轉(zhuǎn)的角度 ，顯然，記作或若把一條軸 u 看作向量，類似可定義向量與軸 u 的夾角或空間兩軸 u1, u2 的夾角空間一點(diǎn) A 在軸 u 上的投影:過點(diǎn) A 作垂直于軸 u 的平面,則平面與軸 u 的交點(diǎn) A稱為點(diǎn) A 在軸 u 上的投影。. A. Au向量 AB 在軸 u 上的投影:向量 AB 的起點(diǎn) A 與終點(diǎn) B 在軸 u 上的投影AB 在軸 u 上的投影向量。u. A. B為 A 與 B, 則 AB 稱為記為AB 的值稱為AB 在軸 u上的投影。取正；取負(fù)。記作, 軸 u

3、稱為投影軸。定理1：uA. .B 投影定理u 與平行四邊形法則。二、向量的線性運(yùn)算1. 加減法三角形法則向量的加法運(yùn)算滿足交換律與結(jié)合律。n 個向量的相加可記為如三個向量的相加 類似方法可以定義兩個向量的減法。2. 數(shù)乘( 仍是一向量 )向量數(shù)乘滿足結(jié)合律與分配律。三、空間直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) M1 (x1, y1), xyM1 (x1, y1).M2 (x2, y2).M1M2x2 x1 為 在 x 軸上的投影或坐標(biāo) M1M2y2 y1 為 在 y 軸上的投影或坐標(biāo) M1M2x1x2y1y2 M2 (x2, y2),M1M2 平面兩點(diǎn)間的距離公式稱為向量 的坐標(biāo)表達(dá)式，M1M2稱

4、為向量 按基本單位向量的分解式。M1M2由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點(diǎn) o, 坐標(biāo)面 卦限(八個)zox面 空間直角坐標(biāo)系 向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q, R;坐標(biāo)面上的點(diǎn) A, B, C點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo))原點(diǎn) O(0,0,0);在空間直角坐標(biāo)系中:向量 M1M2點(diǎn) M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2)在 x 軸上的投影為:在 y 軸上的投影為:在 z 軸上的投影為:M1M2xyz0M2(x2, y2, z2)M1(x1, y1,

5、z1)M1M2坐標(biāo)。分向量或投影向量。 數(shù)量 向量方向角。 方向余弦。 方向余弦：由投影定理，為方向余弦的坐標(biāo)表示式。滿足：利用坐標(biāo)進(jìn)行向量的加減法和數(shù)乘運(yùn)算：定義了向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算后，可以證明投影定理的推廣形式：定理2：定理3：有關(guān)向量的一些結(jié)論：(1) 向量數(shù)乘滿足消去律：(3)例 題例1：解：記為例2：已知兩點(diǎn) 和以及實(shí)數(shù) 在直線 AB 上求點(diǎn) M，使xyzAMB0解：如圖所示，因此從而由于因?yàn)樗约碝點(diǎn)坐標(biāo)為定比分點(diǎn)課 外 作 業(yè) 習(xí)題 9 1(A) 3, 5, 8, 9, 11 習(xí)題 9 1(B) 2, 3一、向量的數(shù)量積 向量的數(shù)量積與向量積是向量特有的運(yùn)算, 它們并不是憑空想

6、象出來的, 而是從物理模型中抽象出來的, 有它們各自的實(shí)際意義。例：力對物體所作的功2 向量的數(shù)量積 向量積 混合積W =1. 定義，數(shù)量積又稱為點(diǎn)積或內(nèi)積。的乘積，數(shù)量積。記作即說明：數(shù)量積是一個數(shù)量（而不是向量）。(1)(2)數(shù)量積的正負(fù)取決于(3)前例中的功可表示為2. 幾何意義由此又得到投影公式：同理， 一個向量的模和另一個向量在這個向數(shù)量積的幾何意義：量方向上的投影的乘積。3. 基本性質(zhì)及其運(yùn)算規(guī)律性質(zhì)：(1)(2)注：零向量方向任意, 可省略。(3)基本單位向量的正交性= 1 ，= 0 .記為運(yùn)算規(guī)律交換律分配律結(jié)合律注意：數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律。也不一定有下例就可以說明這種情況：

7、4. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示法由此可得：=的三個方向角，的三個方向角，顯然，例 題例1. 已知求向量與的夾角。解：例2. 應(yīng)用向量證明不等式：的條件。證：即：并指出等號成立當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。即課 外 作 業(yè) 習(xí)題 9 2(A)1, 3, 4 習(xí)題 9 2(B)5, 8, 11二、向量的向量積向量積是兩個向量的又一種乘積，也是向量特有的運(yùn)算,也有其物理模型：設(shè) O 為杠桿 L 的支點(diǎn)，L有一個力 F 作用于桿上 P 點(diǎn)，PO則力 F 對支點(diǎn) O 所產(chǎn)生的力矩為一向量 M，H的大小的乘積。其大小等于O點(diǎn)到 F 的作用線的距離 OH 與力 F在實(shí)際中是非常有用的。即右手四指從 OP 握向 F 時, 大拇

8、指的指向?yàn)?M 的正向。顯然，力矩向量 M 由 OP 與 F 完全確定。這樣由兩個向量來確定另一個向量的法則FPM1、定義按下列規(guī)則確定新向量 c :(1)(2)向量積，記作, 向量積又稱為叉積或外積。按“右手法則”垂直于 所在平面的單位向量。2、幾何意義(1)向量積平行四邊形的面積。顯然，(2)按“右手法則” 垂直于 所在平面，若一向量 c 同時垂直 a 與 b ，則必有：(3)3、性質(zhì)與運(yùn)算規(guī)律性質(zhì)：(1)= 0(2)零向量方向任意, 可省略。當(dāng)時，(3) 基本單位向量的向量積運(yùn)算規(guī)律：(1)不滿足交換律(2)滿足分配律(3)滿足結(jié)合律滿足反交換律注：向量的向量積不滿足消去律例如，但4、向

9、量積的坐標(biāo)表示法 補(bǔ)充：有關(guān)行列式的計算法 1 ：法 2 ：行列式的有關(guān)性質(zhì)：_例 題 例1:(4) 以 a, b 為鄰邊的平行四邊形的面積 S 。解：(1)1 0 -1-1 -2 1(2)(3)(4)求此三角形的面積, AB 上的高及 A 的正弦。例2: 已知三角形 ABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A ( 1, 2, 0 ), B ( 3, 0, -3 ), C ( 5, 2, 6 )，解：ABC？ABC求 AB上的高及 A的正弦。AB上的高 hh= 14 ，例3：解：例4：求證：A, B, D 共線 。證：分析：即 A, B, D 共線 。思 考 題2. 下列各式中，哪些是向量，哪些是數(shù)量，哪些無意義

10、？4. 向量 0, 0, 5 與 2, 0, 10 是否共線？否否否否否是三、向量的混合積1.定義所得數(shù)量稱為混合積，或數(shù)量三重積，記作2. 坐標(biāo)表示式3. 幾何意義為棱的平行六面體的體積。h =一般地，有定理1：三個向量中如果有一個為零向量， 或者有兩個共線，或者三個共面， 則其混合積必為零；反之亦然。定理2：假定三個非零向量中任何兩個都 不共線，則其共面的充要條件是 它們的混合積為零。4. 混合積的性質(zhì)(1)(2)(3)(4)(5)輪換對稱性例：已知不在一平面上的四點(diǎn)求四面體 ABCD 的體積。解：由立體幾何知識知道，四面體的體積 V 等于以向量 AB、AC 和 AD 為棱的平行六面體的體

11、積的六分之一。所以有上式中符號的選擇必須和行列式的符號一致。課 外 作 業(yè) 習(xí)題 9 2(A)6, 9, 13 習(xí)題 9 2(B)2, 9, 10, 133. 平 面 及 其 方 程一. 平面的點(diǎn)法式方程法向量：由立體幾何知識可知：過一點(diǎn)可作且只能作一張平面垂直于一已知直線。若一非零向量垂直一平面，則稱該向量為這平面的法線向量。 所以已知一點(diǎn)與一法向量（直線）就可唯一確定一平面。注意：法向量不唯一簡稱法向量。作向量 已知平面 上一點(diǎn) M0 (x0 , y0 , z0) 及平面的法向量建立 的方程。xyz. M0在平面上任取一點(diǎn) M (x, y, z), M .顯然，= 0 ，即有 平面的點(diǎn)法式

12、方程例：一平面過點(diǎn) M(1, 0, -1) 且平行于向量試求這個解：所以所求平面方程為：即平面方程。二. 平面的一般式方程由平面的點(diǎn)法式方程的展開式可得:其中 A，B，C 不同時為零任一平面都可用點(diǎn)法式方程來表示，反之, 設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減, 得平面的點(diǎn)法式方程程稱為平面的一般式方程.任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程(*)與此點(diǎn)法式方程等價, 的平面, 此方因此方程(*)的圖形是法向量為 任意一個三元一次方程都表示一個平面。反之, 設(shè)有三元一次方程 (*)例：求過三點(diǎn)的平面方程。解一：設(shè)所求平面方程為則所以即解二：所以所求平面方程為：即先求平面的法向量此平面的方程也可寫成 一般情

13、況:過三點(diǎn)的平面方程可表示為說明:平面一般式方程的幾種特殊情形： 若 D = 0， 表示一通過原點(diǎn)的平面。 現(xiàn)在考慮 A，B，C，D 中有一些為零的情形： 若 C = 0，xyz 表示一平行于 z 軸的平面同理，B = 0A = 0 若 A = B = 0，xyz 表示一平行于xoy 平面的平面。同理，/ yoz 平面/ xoz 平面若 B = C = 0，若 A = C = 0，平面過 x 軸，若 A = D = 0，若 B = D = 0，平面過 y 軸，若 C = D = 0，平面過 z 軸， 若 A = B = D = 0，同理，若 A = C = D = 0，若 B = C = D

14、= 0，歸納起來，得：（1） 在平面的一般方程中，如果常數(shù) 項(xiàng)不是零，且缺一個變量，則平面一 定平行于該變量所對應(yīng)的坐標(biāo)軸；如 果缺兩個變量，則平面一定平行于該 兩個變量所對應(yīng)的坐標(biāo)面。（2） 在平面的一般方程中，如果常數(shù) 項(xiàng)是零，且缺一個變量，則平面一定 過該變量所對應(yīng)的坐標(biāo)軸；如果缺兩 個變量，則平面一定是這兩個變量所 對應(yīng)的坐標(biāo)面。例：已知一平面平行于 x 軸且經(jīng)過兩點(diǎn)解：設(shè)所求平面方程為：則所以即因?yàn)槠矫娼?jīng)過兩點(diǎn) (4,0,-2) 和 (5,1,7)，(4,0,-2) 和 (5,1,7)，求此平面方程。例：求通過 x 軸和點(diǎn) (4,-3,-1) 的平面方程。解：設(shè)所求平面方程為則所以則所以所求平面方程為因?yàn)槠矫嫱ㄟ^點(diǎn) (4,-3,-1)， 平面的截距式方程設(shè)一平面與 x, y, z 三軸分別交于求此平面方程。abc分別將三點(diǎn)代入平面一般式方程xyzPQR 平面的截距式方程其中 a, b, c 分別稱為平面在 x, y, z 軸上的截距。注意：過原點(diǎn)或平行于坐標(biāo)面的平面無截距式方程形式。例 題 例：解一：設(shè)平面上一點(diǎn)則三向量共面，即為所求方程。x y z1 1 12 4 -3解二：為平面上兩向量，則平面上法向量即為所求方程。三、有關(guān)平面的一些問題1. 兩平面的夾角兩平面的法向量的夾角稱為兩平面的夾角。（通常指銳角，包括零度角或