解直角三角形的應(yīng)用中考試題

1、解直角三角形的應(yīng)用中考試題作者：日期:解直角三角形的應(yīng)用一.選擇題（共 5小題）.如圖，要測量 B點到河岸 AD的距離，在A點測得 / BAD=30 ,在C點測得 / BCD=60 ,又測得 AC=100米，則B點到河岸 AD的距離為XA. 100 米B. 50 米C米 D, 50 米米B一r=l 15/1 X.B/2.如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形底AD的長度為（）A. 26米28 米ABCD ,壩頂寬10米，壩高12米，30 米斜坡AB的坡度i=1:1.5,則壩46 米.如圖1,某超市從一樓到二樓有一自動扶梯，圖 2是側(cè)面示意圖.已知自動扶梯AB的坡度為1： 2.4,AB的長度是13米，M

2、N是二樓樓頂，MN / PQ , C是MN上處在自動扶梯頂端B點正上方的一點，BCXMN ,在自動扶梯底端 A處測得C點的仰角為42 ,則二樓的層高BC約為（精確到 0.1 米，sin42 0y7, tan42 090） （ ）一I 圖1即IIA .10.8B. 8.9 米C. 8.0 米D.5.8 米米.如圖，在某監(jiān)測點B處望見一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西15 0方向的A處，若漁船沿北偏西 750方向以40海里/小時的速度航行，航行半小時后到達C處，在C處觀測到B在C的北偏東60方向上，則B、C之間的距離為（）A. 20海里 B. 10海里C. 20海里D. 30海里二.填空題（共 5小題）.

3、如圖所示，小華同學(xué)在距離某建筑物6米的點A處測得廣告牌 B點、C點的仰角分別為 52。、35。，則廣告牌的高度 BC 為 米（精確到 0.1 米）.（sin350 在57, cos35082, tan35 P.70 ;sin52 079,cos52 0 分2 , tan52 1 28）.長為4m的梯子搭在墻上與地面成45。角，作業(yè)時調(diào)整為60。角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高.為解決停車難的問題，在如圖一段長 56米的路段開辟停車位，每個車位是長5米寬2.2米的矩形，矩形的邊與路的邊緣成 45。角，那么這個路段最多可以劃由個這樣的停車位.如圖，河流兩岸 a、 b互相平行，點 A、B是河岸

4、a上的兩座建筑物，點 C、 D是河岸b上的兩點， A、 B的距離約為200米.某人在河岸 b上的點P處測得 /APC=75 , /BPD=30 ,則河流的寬度約為 米.三.解答題（共 5小題）9.圖1中的中國結(jié)桂件是由四個相同的菱形在頂點處依次串聯(lián)而成，每相鄰兩個菱形均成 意圖如圖2.在圖2中，每個菱形的邊長為10cm ,銳角為60 .1）連接CD , EB,猜想它們的位置關(guān)系并加以證明；2）求A, B兩點之間的距離（結(jié)果取整數(shù)，可以使用計算器）參考數(shù)據(jù)：F.41 , F.73,2.45）30的夾角，示圖210.如圖，小麗假期在娛樂場游玩時，想要利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量某個娛樂場地所在山坡AE的

5、長度.她先在山腳下點 E處測得山頂 A的仰角是30 ,然后，她沿著坡度是i=1 : 1 （即tan/ CED=1 ）的斜坡步行15分鐘抵達C處，此時，測得 A點的俯角是15 .已知小麗的步行速度是E、D、 C在同一平面內(nèi)，且點D、E、B在同一水平直線上.求生娛樂場地所在山坡F.41 ,結(jié)果精確到 0.1米）18米/分，圖中點 A、 B、AE的長度.（參考數(shù)據(jù):.如圖1所示的晾衣架，支架主視圖的基本圖形是菱形，其示意圖如圖2,晾衣架伸縮時，點 G在射線DP上滑動， /CED的大小也隨之發(fā)生變化，已知每個菱形邊長均等于20cm ,且AH=DE=EG=20cm .（1）當/ CED=60 時，求C、

6、D兩點間的距離；（2）當 /CED由60變?yōu)?20時，點A向左移動了多少cm ?（結(jié)果精確到 0.1cm）（3）設(shè)DG=xcm ,當/ CED的變化范圍為 60 720 （包括端點值）時，求 x的取值范圍.（結(jié)果精確到0.1cm ）（參考數(shù)據(jù) V.732 ,）.如圖是某通道的側(cè)面示意圖，已知 AB /CD/EF, AM / BAM=30 , AB=6m .(1)求FM的長；2)連接 AF,若 sin/ FAM=,求 AM的長. 一艘觀光游船從港口A以北偏東60的方向由港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)生了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船 在它的北

7、偏東370方向，,求海警船到大事故船馬上以40海里每小時的速度前往救援cos53 06)解直角三角形的應(yīng)用練習(xí)題參考答案與試題解析一.選擇題（共 5小題）1. （2012?襄陽）在一次數(shù)學(xué)活動中，李明利用一根栓有小錘的細線和一個半圓形量角器制作了一個測角 儀，去測量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD .如圖，已知小明距假山的水平距離BD為12m ,他的眼鏡距地面的高度為1.6m,李明的視線經(jīng)過量角器零刻度線OA和假山的最高點 C,此時，鉛垂線 OE經(jīng)過量角器的60。刻度線，則假山的高度為（）A. ( 4 +1.6) mB. ( 12 +1.6) mC. (4 +1.6) mD. 4 m考點：解直角三角形

8、的應(yīng)用.分析：根據(jù)已知得由 AK=BD=12m ,再利用tan300=,進而得由 CD的長.解答： 解： : BD=12米，李明的眼睛高 AB=1.6米， /AOE=60 ,/. DB=AK , AB=KD=1.6 米， / CAK=30 ,AK解得CK=4 (米)，即 CD=CK+DK=4 +1.6= ( 4 +1.6)米.故選：A.點評:本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得由tan30 =解答是解答此題的關(guān)鍵.（2014?隨州）如圖，要測量B點到河岸 AD的距離，在 A點測得/ BAD=30 ,在C點測得/BCD=60 ,又測得 AC=100米，則B點到河岸 AD的距離為（）IBD.

9、 50 米/ ABC=30 ,再根據(jù)等角對等邊可得 CM長，最后利用勾股定理可得答案.AC=BC ,掌握直角三角形的性質(zhì)：30角所對直i=1 : 1,5,則壩底AD的長度為（考點：解直角三角形的應(yīng)用.專題：幾何圖形問題.分析：過B作BM XAD,根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得BC=AC ,然后再計算由 / CBM的度數(shù)，進而得到 解答：解：過B作BM1AD ,: / BAD=30 , / BCD=60 ,，/ ABC=30 ,，AC=CB=100 米，; BM AD,，/ BMC=90 ,，/ CBM=30 ,，CM= BC=50 米，BM= CM=50 米, 故選：B.rC Sf D點評：

10、此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是證明 角邊等于斜邊的一半.（2014?衡陽）如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD ,壩頂寬10米，壩高12米，斜坡 AB的坡度C. 30 米 D. 46 米考點：解直角三角形的應(yīng)用 -坡度坡角問題.專題：幾何圖形問題.分析： 先根據(jù)坡比求得 AE的長，已知 CB=10m ,即可求得 AD .解答：解：丁壩高12米，斜坡AB的坡度i=1 : 1.5,AE=1.5BE=18 米,BC=10 米，AD=2AE+BC=2 M8+10=46 米,故選：D.E 10 C,將相關(guān)的知識點點評： 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的坡度坡角的問題及等腰梯形的性質(zhì)的掌握情況

11、 相結(jié)合更利于解題.（2014?西寧）如圖1,某超市從一樓到二樓有一自動扶梯，圖 2是側(cè)面示意圖.已知自動扶梯 AB的坡 度為1 : 2.4, AB的長度是13米，MN是二樓樓頂， MN / PQ , C是MN上處在自動扶梯頂端 B點正上方 的一點，BC XMN ,在自動扶梯底端 A處測得C點的仰角為42 ,則二樓的層高BC約為（精確到 0.1米, sin42 067 , tan42 0 六90）（）A . 10.8 米B. 8.9 米C. 8.0 米D. 5.8 米考點：解直角三角形的應(yīng)用 -仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.專題：幾何圖形問題.分析： 延長CB交PQ于點D,根

12、據(jù)坡度的定義即可求得BD的長，然后在直角 4CDA中利用三角函數(shù)即 可求得CD的長，則BC即可得到.解答：解：延長CB交PQ于點D ./ MN /PQ, BCXMN ,/. BC PQ .;自動扶梯AB的坡度為1 : 2.4,設(shè) BD=5k 米，AD=12k 米，則 AB=13k 米.; AB=13 米，k=1 ,，BD=5 米， AD=12 米.在 RtACDA 中， / CDA=90 ,/ CAD=42 ,，CD=AD ?tan / CAD 2 0.90 0.8 米， ，BC 5.8 米.故選：D . TOC o 1-5 h z /IPr An點評：本題考查仰角和坡度的定義，要求學(xué)生能借助

13、仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形.（ 2014?臨沂）如圖，在某監(jiān)測點B處望見一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西150方向的A處，若漁船沿北偏西750方向以40海里/小時的速度航行，航行半小時后到達C處，在C處觀測到B在C的北偏東600方向上，則B、C之間的距離為（）/A . 20海B . 10海里C. 20海里D.30海里里考解直角三角形的應(yīng)用 -方向角問題.京：幾何圖形問題.蓼：如圖，根據(jù)題意易求 ABC是等腰直角三角形，通過解該直角三角形來求BC的長度.樨： 解：如圖， /ABE=15 , / DAB= / ABE ,答：DAB=15 ,，/ CAB= ZCAD+ /DAB=90 .又FCB=6

14、0 , /CBE= / FCB , / CBA+ / ABE= / CBE ,，/ CBA=45，在直角 ABC sin/=中，ABC=，BC=20海里.故選：C.r北個東點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.解題的難點是推知 ABC是等腰直角三角形.二.填空題（共 5小題）（ 2009?仙桃）如圖所示，小華同學(xué)在距離某建筑物6米的點A處測得廣告牌 B點、C點的仰角分別為52、35 ,則廣告牌的高度 BC 為 3.5 米（精確到 0.1 米）.（sin35 057, cos35 082 , tan350070;sin52 079, cos52 0F2, tan52 0198）考解直角

15、三角形的應(yīng)用 -仰角俯角問題.點：應(yīng)用題；壓軸題.BD蓼：圖中有兩個直角三角形4ABD、 ACD ,可根據(jù)兩個已知角度，利用正切函數(shù)定義，分別求生析.，一和CD ,求差即可.答：一，,，,解：根據(jù)題意：在 RtA ABD 中，有 BD=AD ?tan52 .在ADC 中，有 DC=AD ?tan35 則有 BC=BD - CD=6 （1.28 - 0.70 ）=3.5 （米）.點本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形.評：7. （ 2009?安徽）長為4m的梯子搭在墻上與地面成 頂端沿墻面升高了 2 （） m.45角，作業(yè)時調(diào)整為60。角（如圖所示），則梯子的考 解

16、直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.京：壓軸題.粵：利用所給角的正弦函數(shù)求兩次的高度，相減即可.析：解 解：由題意知：平滑前梯高為4?sin45 =4?=.答：平滑后高為 4?sin60 =4 ?=.升局了 2（） m.點本題重點考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用.（ 2014?寧波）為解決停車難的問題，在如圖一段長56米的路段開辟停車位，每個車位是長5米寬2.217個這樣的停車位.（F.4 ）考點：解直角三角形的應(yīng) 用.專調(diào)配問題.題： 如圖，根據(jù)三角函數(shù)可求BC , CE,由BE=BC+CE可求BE,再根據(jù)三角函數(shù)可求EF ,再根據(jù)停車位的個數(shù) =(56 - BE) 由F+1 ,列式計算即可求解.解答:

17、解：如圖,BC=2.2 冷in45 =2.2 乂 勺54 米，CE=5 冷in45 =5 X 3.5 米,BE=BC+CE 著.04 ,EF=2.2 -4sin45 =2.2 + M.14 米，(56 - 5.04)與.14+1=50.96 314+1V6+1 =17 (個).故這個路段最多可以劃由17個這樣的停車位.故答案為：17 .56千點評： 考查r解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)及運算，關(guān)鍵把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計算.(2014?十堰)如圖，輪船在 A處觀測燈塔 C位于北偏西70方向上，輪船從A處以每小時20海里的速度沿南偏西500方向勻速航行，1小時后到達碼頭 B處，此時，觀

18、測燈塔 C位于北偏西25方向上，則燈塔Cq碼頭B的題高是 24 海里.結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：.4, .7 , 電4)考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.專題：幾何圖形問題.分析： 作BDLAC于點D,在直角 ABD中，利用三角函數(shù)求得 BD的長，然后在直角 4BCD中，利用 三 角函數(shù)即可求得 BC的長.解答： 解： / CBA=25 +50 =75 .作BDXAC于點D.則/ CAB= (90 -70 )+ (90 -50 )=20 +40 =60/ ABD=30 ，/ CBD=75-30 =45在直角 4ABD中,在直角 BCD中,點評：.是河岸a上的兩座建筑物，點 C、D是河岸BD

19、=AB ?sin / CAB=20 冷in60 =2024./ CBD=45 ,則 BC= BD=10 X=10 10 2,4=24 （海里）. 故答案是:/CBD以及 / CAB的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.（ 2014?撫順）如圖，河流兩岸 a、b互相平行，點 A、Bb上的兩點， A、B的距離約為200米.某人在河岸 b上的點P處測得 /APC=75 , /BPD=30 ,則河流的寬度約為100米.考 點: 募 析:解解直角三角形的應(yīng)用.幾何圖形問題.過點P作PEXAB于點E,先求生 /APE及/BPE、/ ABP的度數(shù)，由銳角三角函數(shù)的定義即可 得由結(jié)論.解：過點 P作PEXAB于點E,: /

20、 APC=75 , /BPD=30 , ，/ APB=75 ,: / BAP= / APC=75 ,，/ APB= / BAP ,，AB=PB=200m ,: / ABP=30 ,，PE= PB=100m .z故答案為:100.點評： 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.二.解答題（共 5小題）11 . （ 2014?南昌）圖1中的中國結(jié)桂件是由四個相同的菱形在頂點處依次串聯(lián)而成，每相鄰兩個菱形均成30的夾角，示意圖如圖2.在圖2中，每個菱形的邊長為10cm,銳角為60 .（1）連接CD , EB,猜想它們的位置關(guān)系并加以證明；（2）求A, B兩點之間的距離

21、（結(jié)果取整數(shù)，可以使用計算器）（參考數(shù)據(jù)：F.41 , F.73 , 彩.45 ）考解直角三角形的應(yīng)用.黃： （1）連接DE.根據(jù)菱形的性質(zhì)和角的和差關(guān)系可得/CDE=/BED=90 ,再根據(jù)平行線的判定可析： 得CD , EB的位置關(guān)系；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得 BE, DE,再根據(jù)三角函數(shù)可得 BD, AD ,根據(jù)AB=BD+AD ,即可求 解解， 答：解：（1）猜想CD / EB . 證明：連接 DE .中國結(jié)桂件是四個相同的菱形，每相鄰兩個菱形均成30。的夾角，菱形的銳角為 60。CDE=60 2-2+30 =90 ,，/ BED=60 2-2+30 =90 ,，/ CDE= / BE

22、D ,，CD II EB .(2) BE=2OE=2 M0tos30=10 cm, 同理可得， DE=10 cm,貝U BD=10 cm , 同理可得，AD=10 cm ,AB=BD+AD=20F9cm .答：A, B兩點之間的距離大約為 49cm.點評：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，菱形的性質(zhì)和平行線的判定，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，關(guān)鍵是運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題.（ 2014?鐵嶺）如圖，小麗假期在娛樂場游玩時，想要利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量某個娛樂場地所在山坡AE的長度.她先在山腳下點E處測得山頂 A的仰角是30 ,然后，她沿著坡度是i=1： 1 （即tan/ CED=1 ）的斜坡步行

23、15分鐘抵達C處，此時，測得 A點的俯角是15 .已知小麗的步行速度是 18米/分，圖中點 A、 B、E、D、C在同一平面內(nèi)，且點 D、E、B在同一水平直線上.求生娛樂場地所在山坡AE的長度.（參考數(shù)據(jù)：F.41 ,結(jié)果精確到 0.1米）考點：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.分析： 根據(jù)速度乘以時間得由 CE的長度，通過坡度得到 / ECF=30。，作輔助線EF1AC ,通過平角減去 其他角從而得到 /AEF=45 即可求由AE的長度.解答： 解：作 EF AC, 根據(jù)題意， CE=18 M5=270 米， : tan/ CED=1 , ，/ CED= /

24、DCE=45 ,/ ECF=90 -45 -15 =30 ,，EF= CE=135 米，: / CEF=60 , ZAEB=30 ,AEF=180 -45 -60 -30 =45 ,，AE=135 190.35 米點評:本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是作輔助線EFAC ,以及坡度和坡角的關(guān)系.L 45DE( 2014?撫州)如圖1所示的晾衣架，支架主視圖的基本圖形是菱形，其示意圖如圖 2,晾衣架伸縮時， 點G在射線DP上滑動，/ CED的大小也隨之發(fā)生變化，已知每個菱形邊長均等于20cm,且AH=DE=EG=20cm(1)當/ CED=60 時，求C、D兩點間的距離；(2)當/C

25、ED由60變?yōu)?20時，點A向左移動了多少 cm?(結(jié)果精確到 0.1cm)(3)設(shè)DG=xcm ,當/ CED的變化范圍為 60 720 (包括端點值)時，求 x的取值范圍.(結(jié)果精確到0.1cm)(參考數(shù)據(jù) M.732,可使用科學(xué)計算器)考點：解直角三角形的應(yīng)用；菱形的性質(zhì).分析：(1)證明 CED是等邊三角形，即可求解；(2)分別求得當 /CED是60和120 ,兩種情況下AD的長，求差即可；(3)分別求得當 /CED是60和120 ,兩種情況下DG的長度，即可求得 x的范圍. 解答： 解: (1)連接CD (圖1).CE=DE, / CED=60 ,.CED 是等邊三角形，CD=DE=

26、20cm ;( 2)根據(jù)題意得：AB=BC=CD , 當/ CED=60 時，AD=3CD=60cm , 當/ CED=120 時，過點 E 作 EHLCD 于 H(圖 2),則/ CEH=60 , CH=HD . 在直角 ACHE 中，sin/CEH=,CH=20 ?sin60 =2cm)0J,，CD=20 cm ,，AD=3 20 =60 N03.9 ( cm).103.9 - 60=43.9 (cm). 即點 A 向左移動了 43.9cm;(3)當 /CED=120 時，/ DEG=60 ,; DE=EG ,.DEG是等邊三角形.，DG=DE=20cm ,當/ CED=60 時(圖3),

27、則有 / DEG=120 ,過點E作EIDG于點I. ; DE=EG ,，/ DEI= / GEI=60 , DI=IG ,在直角 ADIE 中，sin/ DEI=,，DI=DE ?sin / DEI=20利入丐cm .冷in60 =20. J，DG=2DI=2034.6cm .則x的范圍是：20cm 4 江4.6cm .C3解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.幾何圖形問題.析:答:點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，當菱形的一個角120?；?0 時，連接菱形的較短的對角線，即可把菱形是分成兩個等邊三角形.( 2014?宿遷)如圖是某通道的側(cè)面示意圖，AB /CD/EF, AM / BC/ DE , AB=CD=EF ,已知 /AMF=90 , / BAM=30 , AB=6m .(1)求FM的長；(2)連接 AF,若 sin/ FAM=,求 AM的長.煮:(1)分別過點 B、D、F作BNLAM于點N, DG BC延長線于點 G, FHDE延長線于點 H, 根 據(jù) AB/CD/EF, AM / BC /DE，分別解 RtAABN、Rt A DCG RtFEH,求生 BN、DG、FH 的長 度，繼而可求由 FM的長度；(2)在RtA FAM中，根據(jù)sin/ F