隨機(jī)過(guò)程理論：07 線性變換、時(shí)域法、頻域法

1、為這條鐵路而工作！小故事盛夏的一天，一群人正在鐵路的路基上工作。這時(shí)，一列緩緩開來(lái)的火車打斷了他們的工作?；疖囃Ａ讼聛?lái)，一節(jié)特制的并且?guī)в锌照{(diào)車廂的窗戶被人打開了，一個(gè)低沉的、友好的聲音：“大衛(wèi)，是你嗎?” 大衛(wèi)安德森這群人的主管回答說(shuō)：“是我，吉姆，見到你真高興?！庇谑?，大衛(wèi)安德森和吉姆墨菲鐵路的總裁，進(jìn)行了愉快的交談。在長(zhǎng)達(dá)1個(gè)多小時(shí)的愉快交談之后，兩人熱情地握手道別。 大衛(wèi)安德森的下屬立刻包圍了他，他們對(duì)于他是墨菲鐵路總裁的朋友這一點(diǎn)感到非常震驚。大衛(wèi)解釋說(shuō)，20多年以前他和吉姆墨菲是在同一天開始為這條鐵路工作的。 其中一個(gè)下屬半認(rèn)真半開玩笑地問(wèn)大衛(wèi)，為什么他現(xiàn)在仍在驕陽(yáng)下工作，而吉姆墨

2、菲卻成了總裁。大衛(wèi)非常惆悵地說(shuō)：“23年前我為1小時(shí)175美元的薪水而工作，而吉姆墨菲卻是為這條鐵路而工作?！?23年前為1小時(shí)175美元薪水而工作的人，現(xiàn)在仍然為薪水工作；23年前為那條鐵路而工作的人，現(xiàn)在卻成了團(tuán)隊(duì)的總裁。這就是平凡者與卓越者之間差別的根源所在。大衛(wèi)的話一言九鼎。 第六講 回顧1、從普通函數(shù)微積分的概念推廣到隨 機(jī)過(guò)程均方微積分2、用自相關(guān)函數(shù)刻劃隨機(jī)過(guò)程連續(xù)、可導(dǎo)和可積的條件3、微分與積分作為線性變換，來(lái)看輸出自相關(guān)、輸入與輸出互相關(guān)4、作為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，以上2、3有更進(jìn)一步的結(jié)論線性變換、時(shí)域法、頻域法第07講：主要內(nèi)容一、線性系統(tǒng)描述及其分類二、線性系統(tǒng)基本關(guān)系式三、

3、隨機(jī)過(guò)程線性變換時(shí)域法四、隨機(jī)過(guò)程線性變換頻域法一、線性系統(tǒng)描述及分類1、描述系統(tǒng)2、描述線性系統(tǒng)3、分類基于系統(tǒng)末端特性4、分類基于描述線性系統(tǒng)的微分方程5、分類確定性系統(tǒng)1、系統(tǒng)定義系統(tǒng)定義為實(shí)現(xiàn)某種特性要求而構(gòu)成的集合數(shù)學(xué)觀點(diǎn)系統(tǒng)的輸出只不過(guò)是系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行一定數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果系統(tǒng)可以看作是由輸入到輸出的數(shù)學(xué)映像2、線性系統(tǒng)的描述T表示函數(shù)x(t)與y(t)之間對(duì)應(yīng)的變換規(guī)則3、基于系統(tǒng)末端特性的分類分類假定對(duì)兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果 和 有：當(dāng) 有 T為確定性變換 T為隨機(jī)性變換4、基于描述線性系統(tǒng)的微分方程的分類 系數(shù)是隨機(jī)變量，為隨機(jī)系統(tǒng) 系數(shù)是常系數(shù)，為定常線性系統(tǒng)5、分類確定性系統(tǒng)線性時(shí)

4、不變非線性時(shí)不變線性時(shí)變非線性時(shí)變二、線性系統(tǒng)基本關(guān)系式1、線性系統(tǒng)變換規(guī)則的定義2、線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性疊加性3、線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性比例性4、線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性時(shí)不變性5、線性時(shí)不變系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型6、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)及傅立葉變換對(duì)1、線性系統(tǒng)變換規(guī)則的定義 若x(t)是線性系統(tǒng)的輸入信號(hào)，則輸出y(t)可以表示成 y(t) = L x(t) L表示 x(t)和y(t)之間的相對(duì)應(yīng)的變換規(guī)則，這個(gè)線性系統(tǒng)就由變換規(guī)則L來(lái)定義。2、疊加性對(duì)任意的 都成立，則稱這一特性為線性系統(tǒng)的疊加性若等式3、比例性若k為任一常數(shù)，有下列等式成立則稱這一特性為線性系統(tǒng)的比例性。4、時(shí)不變性若線性系統(tǒng)的輸出對(duì)

5、輸入的依賴關(guān)系不隨時(shí)間的推移而改變，即則稱線性系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)，如常系數(shù)線性微分方程所描述的系統(tǒng)。如無(wú)特殊聲明，以后提到的線性系統(tǒng)都指線性時(shí)不變系統(tǒng)。5、數(shù)學(xué)模型（1）線性時(shí)不變系統(tǒng)：常系數(shù)線性微分方程，一般形式為思考1：為什么nm?思考2：拉氏變換與 傅里葉變換運(yùn)用拉氏變換來(lái)解方程式，則有5、數(shù)學(xué)模型（2）H(s)稱為系統(tǒng)傳遞函數(shù)，與系統(tǒng)的特性有關(guān)6、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)（1）若系統(tǒng)的輸入x(t)是平方可積的函數(shù)，即則x(t)可表示為傅立葉積分。稱為頻譜函數(shù)6、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)（2）x(t)是 的極限若L是連續(xù)的，當(dāng) 收斂于x(t)時(shí)， 6、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)（3）比較兩式： 輸出y(t)的

6、頻譜函數(shù)， 為系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)表明了系統(tǒng)輸出、輸入在頻域上的關(guān)系6、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)（4）系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和沖激響應(yīng)函數(shù)是一對(duì)傅立葉變換利用時(shí)域卷積定理，有 表明了線性系統(tǒng)的輸出是輸入和系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。6、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)（5）物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，沖激響應(yīng)函數(shù)應(yīng)符合條件線性系統(tǒng)可表述為如果線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)h(t)絕對(duì)可積，即則該系統(tǒng)穩(wěn)定。對(duì)于穩(wěn)定的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)函數(shù)為三、時(shí)域法沖擊響應(yīng)法1、系統(tǒng)的輸出響應(yīng)2、數(shù)字特征自相關(guān)函數(shù)3、數(shù)字特征協(xié)方差函數(shù)目的是尋找輸出自相關(guān)、輸入自相關(guān)和系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系1、線性系統(tǒng)的輸出響應(yīng)若線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，輸入隨機(jī)過(guò)程為X(t

7、)，則系統(tǒng)輸出端的隨機(jī)過(guò)程Y(t)為系統(tǒng)的輸出響應(yīng)等于系統(tǒng)的輸入響應(yīng)與沖激響應(yīng)的卷積。2、自相關(guān)函數(shù)(1)若假定輸入、輸出過(guò)程均為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且輸入過(guò)程的相關(guān)函數(shù)為則輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為2、自相關(guān)函數(shù)(2)作變量代換，令 ，則有2、自相關(guān)函數(shù)(2)得到令z=u-v，并消去u，上式可以改寫為2、自相關(guān)函數(shù)(3)上式中稱為系統(tǒng)權(quán)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)?？梢姡敵鲞^(guò)程的自相關(guān)函數(shù)等于輸入過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)權(quán)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)的卷積。3、協(xié)方差函數(shù)(1)輸出過(guò)程Y(t)的協(xié)方差函數(shù)為證明：對(duì)于一個(gè)廣義平穩(wěn)過(guò)程，有3、協(xié)方差函數(shù)(2)輸出隨機(jī)過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)分別為 因此3、協(xié)方差函數(shù)(3)類似于求

8、 ，令z=u-v，并消去u,上式可以改寫為4、協(xié)方差函數(shù)方法2思考題？既然微分變換與積分變換都是線性變換，那么借用自相關(guān)定理得出的結(jié)論是否與前面介紹的定理一致？微分變換的輸出自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)；積分變換的輸出自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)；四、頻域法1、輸出過(guò)程的功率譜密度2、時(shí)域法和頻域法總結(jié)1、功率譜密度(1)對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，按維納辛欽定理，輸出過(guò)程有和1、功率譜密度(2)將式 代入式 可得1、功率譜密度(3)令 ，則 ，有1、功率譜密度(4) 是功率增益因子，它是無(wú)相位因子，所以功率譜密度是無(wú)相位的實(shí)函數(shù)。即輸出功率譜密度僅與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的幅頻特性有關(guān)，而與其相頻特性無(wú)關(guān)。依據(jù)維納辛欽定理改寫為直接求解?兩邊求傅里葉變換問(wèn)題：復(fù)雜證明的意義何在？可以簡(jiǎn)化證明嗎？舉例說(shuō)明已知輸入平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù) ，求通過(guò)RC積分電路后，輸出隨機(jī)過(guò)程Y(t)在穩(wěn)態(tài)時(shí)的相關(guān)函數(shù)。解：第一種方法，時(shí)域法： 線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)為第一項(xiàng)積分第二項(xiàng)積分于是可得：第二種方法：頻域法輸入過(guò)程得功率譜密度RC積分電路傳遞函數(shù)：2、時(shí)域法和頻域法總結(jié)：時(shí)域法（或沖擊響應(yīng)法）是求隨機(jī)過(guò)程