計(jì)算智能混沌計(jì)算

1、第五章 混沌(hndn)計(jì)算車(chē)生兵中南林業(yè)科技大學(xué)(dxu)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院共三十五頁(yè)0、概述(i sh)1963年，Lorenz將“非周期性流”稱(chēng)為(chn wi)“混沌解”。J.Ford認(rèn)為，20世紀(jì)物理學(xué)的三大發(fā)現(xiàn)是，相對(duì)論、量子力學(xué)和混沌?；煦缡亲匀唤缙毡榇嬖诘默F(xiàn)象。應(yīng)用：時(shí)間序列預(yù)測(cè)、模式識(shí)別、數(shù)據(jù)壓縮、通訊編碼與保密等。共三十五頁(yè)0、概述(i sh)自然界只有一個(gè)，但其表現(xiàn)行為紛繁復(fù)雜，根據(jù)其復(fù)雜程度的不同可以分為確定論系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)。確定論系統(tǒng)指的是：根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程及初始條件就可以確定系統(tǒng)行為的演化。確定論系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程往往有閉型解，其解是用初始狀態(tài)來(lái)表示任意時(shí)刻狀態(tài)的公式，因

2、而只要知道初始狀態(tài)和最終時(shí)間就可以預(yù)測(cè)未來(lái)，與狀態(tài)的中間過(guò)程(guchng)無(wú)關(guān)。即使初始條件有微小的偏差，其結(jié)果的偏差也不大，即系統(tǒng)的行為是完全確定的，牛頓力學(xué)是確定論的典型代表。 共三十五頁(yè)0、概述(i sh)不論是確定論系統(tǒng)，還是隨機(jī)系統(tǒng)，都是構(gòu)成物理世界的兩個(gè)極端情況，而且也不是絕對(duì)的。出人意料的是，只有很少幾個(gè)參量的確定論系統(tǒng)竟會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)性為，這種隨機(jī)性行為并非來(lái)自外界的干擾，而是系統(tǒng)的一種根本性質(zhì)。事實(shí)上，許多具有確定的微分方程（或離散變量的映射）的非線性系統(tǒng)，在一定條件下表現(xiàn)出了隨機(jī)行為，更令人(ln rn)驚奇的是，這種隨機(jī)行為中蘊(yùn)涵著一定的秩序。我們把非線性的確定論系統(tǒng)表現(xiàn)出

3、的隨機(jī)行為稱(chēng)為混沌。 共三十五頁(yè)0、概述(i sh)對(duì)混沌系統(tǒng)最直觀的描述是狀態(tài)空間的引入，它是一種抽象的結(jié)構(gòu)，其坐標(biāo)為狀態(tài)的各個(gè)分量（或動(dòng)力系統(tǒng)的自由度）。在力學(xué)系統(tǒng)中狀態(tài)空間可以由位置和速度(sd)來(lái)描述，而在生態(tài)系統(tǒng)中，狀態(tài)空間是由蟲(chóng)口數(shù)描述的。以穩(wěn)定的單擺系統(tǒng)為例，在近平衡條件下，非阻尼擺的狀態(tài)空間由圖一所示，系統(tǒng)的每一狀態(tài)與狀態(tài)空間的一點(diǎn)對(duì)應(yīng)，當(dāng)擺來(lái)回?cái)[動(dòng)時(shí)，狀態(tài)空間中的點(diǎn)形成一橢圓軌道。 圖0-1單擺軌道 共三十五頁(yè)0、概述(i sh)對(duì)于混沌系統(tǒng)(xtng)來(lái)說(shuō)，由于其長(zhǎng)期行為的不可預(yù)測(cè)性，因此必須用漸進(jìn)的方法來(lái)探索系統(tǒng)(xtng)的狀態(tài)，并得到一系列的狀態(tài)值，我們把動(dòng)力系統(tǒng)(x

4、tng)中的一點(diǎn)或一個(gè)數(shù)連續(xù)迭代所產(chǎn)生的序列稱(chēng)為軌道。上述單擺系統(tǒng)(xtng)的軌道是一個(gè)橢圓，它表示系統(tǒng)(xtng)的運(yùn)動(dòng)是周期性的。阻尼擺的運(yùn)動(dòng)不再是周期性的，在狀態(tài)空間的軌道盤(pán)旋縮小，最后靜止在原點(diǎn)的一條螺旋線，可以看出，狀態(tài)空間能以直觀的幾何形式表現(xiàn)系統(tǒng)(xtng)的行為，阻尼擺最終會(huì)停下來(lái)，這意味著軌道最終會(huì)趨于一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，它好象吸引了鄰近軌道，因此稱(chēng)為吸引子，所謂吸引子是指系統(tǒng)(xtng)反復(fù)出現(xiàn)或越來(lái)越逼近的狀態(tài)集。 圖0-2 阻尼擺軌道 共三十五頁(yè)1 混沌(hndn)的概念周期倍分叉到混沌混沌的定義(dngy)蝴蝶效應(yīng)等混沌特征共三十五頁(yè)一、周期(zhuq)倍分叉到混沌一維迭代

5、(di di)映射從倍分叉到混沌共三十五頁(yè)1.1.1 一維迭代(di di)映射一維迭代(di di)映射 Xn+1=f(Xn)，n=0,1, ，又稱(chēng)為離散動(dòng)力系統(tǒng)。 不動(dòng)點(diǎn)的定義。 周期K點(diǎn)的定義。共三十五頁(yè)1.1.1 一維迭代(di di)映射不動(dòng)點(diǎn)的定義若存在 ，使得(sh de) 成立，則稱(chēng) 為映射f( )的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。共三十五頁(yè)1.1.1 一維迭代(di di)映射周期K點(diǎn)的定義若 成立(chngl)，且 ，則稱(chēng) 為f( )的周期K點(diǎn)。記為：P-K 點(diǎn)。因此，f的不動(dòng)點(diǎn)是否f的P-1點(diǎn)，f的P-K點(diǎn) 的不動(dòng)點(diǎn)。共三十五頁(yè)1.1.2 從倍分叉(fn ch)到混沌考慮人口方程Logist

6、ic Xn+1=Xn(1-Xn) 其不動(dòng)點(diǎn)為：0和 。 當(dāng)=3.569 945 672 時(shí)，出現(xiàn)(chxin)混沌。 Feigenbaum常數(shù)=4.669 201 660 共三十五頁(yè)1.1.2 從倍分叉(fn ch)到混沌u=2.6:0.001:4.0;x=0.1;for i=1:300 x=u.*x*(1-x);endfor j=1:80 x=u.*x*(1-x); plot(u,x,k.,markersize,2) hold on;endgrid on; 當(dāng)u3.599456,4 之間時(shí)處于混沌狀態(tài)。也就是說(shuō)，由初始條件x0 在Logistic映射的作用下所產(chǎn)生的序列 Xn ; n=0,1

7、,2,3.是非周期(zhuq)的、不收斂的并對(duì)初始值非常敏感。 共三十五頁(yè)1.1.2 從倍分叉(fn ch)到混沌倍周期分岔以更快的速度進(jìn)行，再次進(jìn)入混沌狀態(tài)。如果將周期窗口放大，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)與分岔圖的整體結(jié)構(gòu)具有相似性，而且是一種無(wú)限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)。 可以看出，通過(guò)改變系統(tǒng)參量，使系統(tǒng)進(jìn)入混沌的第一種模式是倍周期分岔，即由不動(dòng)點(diǎn)周期二周期四無(wú)限倍周期進(jìn)入混沌狀態(tài)。當(dāng)然通向混沌的道路不只于此，第二種通向的道路是：從平衡態(tài)到周期運(yùn)動(dòng)，再到擬周期運(yùn)動(dòng)，直到進(jìn)入混沌狀態(tài)。第三種通向混沌的方式是陣發(fā)（或間歇）道路，即系統(tǒng)在近似(jn s)周期運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)改變參量，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)陣發(fā)性混沌過(guò)程，隨著參

8、量的調(diào)整，陣發(fā)性混沌越來(lái)越頻繁，近似(jn s)的周期運(yùn)動(dòng)越來(lái)越少，最后進(jìn)入混沌.圖1-1 Logistic映射分差圖 混沌地帶共三十五頁(yè)二、混沌(hndn)的定義基本定義 常見(jiàn)(chn jin)的有：Smale馬蹄映射，奇怪吸引子，橫截同窗點(diǎn)，符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)等。不嚴(yán)格的定義 如果一個(gè)系統(tǒng)具有對(duì)初始值的敏感性，而且存在非周期性運(yùn)動(dòng)，那么可以認(rèn)為該系統(tǒng)是混沌的。其他，如：Li-York定義等共三十五頁(yè)三、蝴蝶效應(yīng)等混沌(hndn)特征蝴蝶效應(yīng)：對(duì)初始值的敏感性。奇怪吸引子：Lorenz研究大氣環(huán)流時(shí)的非線性動(dòng)力學(xué)方程(fngchng)具有的特性如下： 吸引性：當(dāng) 時(shí)，軌道極限集； 分維性：軌道的維

9、數(shù)為D=2.06，具有無(wú)窮自嵌套、自相似結(jié)構(gòu)； 非周期性：軌道不自我交叉、不自我重復(fù)。共三十五頁(yè)三、蝴蝶效應(yīng)等混沌(hndn)特征蝴蝶效應(yīng)在發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象之前，科學(xué)家們一直認(rèn)為微分方程的解只有(zhyu)四種類(lèi)型：不動(dòng)點(diǎn)；極限環(huán)；二維環(huán)面；發(fā)散軌道。1963年麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究天氣的不可預(yù)測(cè)性時(shí)，從流體的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，通過(guò)簡(jiǎn)化方程獲得了具有三個(gè)自由度的系統(tǒng)，并再計(jì)算機(jī)上用他所建立的微分方程模擬氣候變化，意外地發(fā)現(xiàn)，初始條件的極微差別可以引起模擬結(jié)果的巨大變化，這表明天氣過(guò)程以及描述它們的非線性方程是如此的不穩(wěn)定，以至巴西熱帶雨林的一只蝴蝶偶然拍動(dòng)一下翅膀，

10、幾星期后可以在美國(guó)德克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)，這就是天氣的“蝴蝶效應(yīng)” 共三十五頁(yè)三、蝴蝶效應(yīng)等混沌(hndn)特征蝴蝶效應(yīng)羅淪茲方程(fngchng)的具體形式為 圖1-2 Lorenz混沌吸引子 其中x、y、z為無(wú)量綱量，分別表征對(duì)流強(qiáng)度，對(duì)流中升流與降流間的溫差和豎直方向溫度分布的非線性度。任意給定初值，系統(tǒng)最終都會(huì)回到狀態(tài)空間的特定區(qū)域內(nèi)，其吸引子具有精巧而奇特的結(jié)構(gòu)，如圖1-2所示，表明系統(tǒng)進(jìn)入了混沌狀態(tài)。 共三十五頁(yè)三、蝴蝶效應(yīng)等混沌(hndn)特征蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)表明，初始條件的極細(xì)微變化，隨著時(shí)間的推移會(huì)顯著地影響系統(tǒng)的宏觀行為，反映在狀態(tài)空間中，初始狀態(tài)非常(fichng)接近

11、的二條軌道，只在很短的時(shí)間內(nèi)靠的比較近，然后會(huì)迅速散開(kāi)，因此根據(jù)初始狀態(tài)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為，會(huì)由于誤差的迅速擴(kuò)大，使長(zhǎng)期行為的預(yù)測(cè)受到了根本的限制?；煦缥虞^平庸吸引子要復(fù)雜的多，其最大特點(diǎn)是，初始狀態(tài)相近的二條軌道會(huì)迅速散開(kāi)，然后再次靠近，再迅速散開(kāi)，且這種聚散行為具有隨機(jī)性，所以混沌吸引子也稱(chēng)為奇怪吸引子。 共三十五頁(yè)三、蝴蝶效應(yīng)等混沌(hndn)特征蝴蝶效應(yīng)：對(duì)初始值的敏感性對(duì)xn+1=4xn(1-xn),n=0,1,2,3,，取三個(gè)初始值進(jìn)行迭代，有右面(yumin)的結(jié)果：nx000.10.100000010.1000000210.360.36000000320.360000006

12、210014782444990.1478125182500.27756908100.43565739970.0550053776510.80209438620.98312983460.2079191442520.64395592740.06634225160.6587550946共三十五頁(yè)2 Lyapunov特征函數(shù)Lyapunov指數(shù)基本思想(sxing) Lyapunov指數(shù)的計(jì)算例子共三十五頁(yè)2.1 判別(pnbi)方法根據(jù)拓?fù)涮卣鱽?lái)判別 Smale馬蹄，橫截同窗點(diǎn)，有限子位移根據(jù)統(tǒng)計(jì)特征來(lái)判別 功率，Lyapunov指數(shù)(zhsh)，K-熵，分?jǐn)?shù)維數(shù)共三十五頁(yè)

13、2.2 Lyapunov指數(shù)(zhsh)的基本思想對(duì)非線性方程(fngchng)對(duì)非線性系統(tǒng)共三十五頁(yè)2.3 Lyapunov指數(shù)(zhsh)的計(jì)算一維映射 例子(l zi)：帳篷映射Tent，它存在混沌。n 維映射 定義：共三十五頁(yè)3 基于混沌(hndn)的跳頻編碼跳頻技術(shù)與混沌跳頻編碼(bin m)混沌跳頻編碼的的設(shè)計(jì)方法共三十五頁(yè)3.1 跳頻技術(shù)(jsh)與混沌跳頻編碼跳頻：通訊中擴(kuò)展頻譜的方法，載波頻率在一定范圍內(nèi)不斷地跳變。在發(fā)射端，由偽隨機(jī)碼改變發(fā)射頻率。在接收端，保持與發(fā)射端相同的偽隨機(jī)碼改變頻率接受信號(hào)(xnho)。跳頻技術(shù)分類(lèi)：一類(lèi)是基帶跳頻，在基本帶寬內(nèi)跳變。另一類(lèi)是射頻跳

14、頻，用兩臺(tái)發(fā)射機(jī)發(fā)射信號(hào)，一臺(tái)發(fā)射基帶信號(hào)，一臺(tái)用于偽隨機(jī)碼控制。跳頻技術(shù)優(yōu)點(diǎn)：抗干擾性強(qiáng)，保密性能好。應(yīng)用例子：移動(dòng)GSM系統(tǒng)，跳變217次每秒。低速無(wú)線局域網(wǎng)，跳變小于50次每秒。共三十五頁(yè)3.2 混沌跳頻編碼(bin m)的的設(shè)計(jì)方法利用混沌映射產(chǎn)生混沌時(shí)間序列 利用Logistic迭代映射產(chǎn)生初始序列； 不同初始值產(chǎn)生N1個(gè)長(zhǎng)度為N2的混沌序列； 級(jí)聯(lián)N1個(gè)長(zhǎng)度為N2的混沌序列得到長(zhǎng)度為N1N2的混沌序列。進(jìn)行(jnxng)混沌序列量化編碼 量化；編碼。共三十五頁(yè)4數(shù)字圖像的混沌(hndn)加密基于混沌的數(shù)字圖像加密算法1、基本思路2、算法說(shuō)明 當(dāng)u=3.74時(shí)，加密后的圖片出現(xiàn)了明顯

15、的周期現(xiàn)象，這是由于計(jì)算機(jī)數(shù)值表示精度不夠造成的，并不是Logistic方程出現(xiàn)了周期現(xiàn)象。所以，u值的選擇很重要。 通過(guò)對(duì)圖4-1的分析可知，當(dāng)u3.65時(shí)，Logistic映射進(jìn)入混沌狀態(tài)，圖像漸漸達(dá)到了混沌效果，但是僅當(dāng)u3.85后，圖像才達(dá)到較好的加密效果。根據(jù)加密圖像的不同效果，容易發(fā)現(xiàn)Logistic方程迭代函數(shù)存在局部周期性，由圖4-1可以看出u=3.63，3.74，3.83，3.84，3.85時(shí)加密圖像呈現(xiàn)出條紋狀，這說(shuō)明相鄰點(diǎn)的像素值也相似。所以圖像的輪廓(lnku)也就隱約可見(jiàn)。這些u的取值不利于圖像的加密，所以要盡量避免取到這些值。對(duì)于不同的圖像，可以得到相同的試驗(yàn)結(jié)果。共三十五頁(yè)4數(shù)字圖像的混沌(hndn)加密共三十五頁(yè)4數(shù)字圖像的混沌(hndn)加密共三十五頁(yè)4數(shù)字圖像的混沌(hndn)加密共三十五頁(yè)4數(shù)字圖像的混沌(hndn)加密共三十五頁(yè)5復(fù)合混沌(hndn)理論初步復(fù)合混沌理論的提出(t ch)復(fù)合混沌理論的基礎(chǔ)復(fù)合混沌理論的特性復(fù)合混沌理論的應(yīng)用（詳細(xì)參見(jiàn)0510-復(fù)合混沌理論及其應(yīng)用.PPT）共三十五頁(yè)第五章 混沌(hndn)計(jì)算車(chē)生兵中南(zhn nn)林業(yè)科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院本章結(jié)束共三十五頁(yè)內(nèi)容摘要第五章 混沌計(jì)算。1963年，Lorenz