計算智能混沌計算

1、第五章 混沌(hndn)計算車生兵中南林業(yè)科技大學(xué)(dxu)計算機科學(xué)學(xué)院共三十五頁0、概述(i sh)1963年，Lorenz將“非周期性流”稱為(chn wi)“混沌解”。J.Ford認(rèn)為，20世紀(jì)物理學(xué)的三大發(fā)現(xiàn)是，相對論、量子力學(xué)和混沌?；煦缡亲匀唤缙毡榇嬖诘默F(xiàn)象。應(yīng)用：時間序列預(yù)測、模式識別、數(shù)據(jù)壓縮、通訊編碼與保密等。共三十五頁0、概述(i sh)自然界只有一個，但其表現(xiàn)行為紛繁復(fù)雜，根據(jù)其復(fù)雜程度的不同可以分為確定論系統(tǒng)和隨機系統(tǒng)。確定論系統(tǒng)指的是：根據(jù)系統(tǒng)的運動方程及初始條件就可以確定系統(tǒng)行為的演化。確定論系統(tǒng)的運動方程往往有閉型解，其解是用初始狀態(tài)來表示任意時刻狀態(tài)的公式，因

2、而只要知道初始狀態(tài)和最終時間就可以預(yù)測未來，與狀態(tài)的中間過程(guchng)無關(guān)。即使初始條件有微小的偏差，其結(jié)果的偏差也不大，即系統(tǒng)的行為是完全確定的，牛頓力學(xué)是確定論的典型代表。 共三十五頁0、概述(i sh)不論是確定論系統(tǒng)，還是隨機系統(tǒng)，都是構(gòu)成物理世界的兩個極端情況，而且也不是絕對的。出人意料的是，只有很少幾個參量的確定論系統(tǒng)竟會產(chǎn)生隨機性為，這種隨機性行為并非來自外界的干擾，而是系統(tǒng)的一種根本性質(zhì)。事實上，許多具有確定的微分方程（或離散變量的映射）的非線性系統(tǒng)，在一定條件下表現(xiàn)出了隨機行為，更令人(ln rn)驚奇的是，這種隨機行為中蘊涵著一定的秩序。我們把非線性的確定論系統(tǒng)表現(xiàn)出

3、的隨機行為稱為混沌。 共三十五頁0、概述(i sh)對混沌系統(tǒng)最直觀的描述是狀態(tài)空間的引入，它是一種抽象的結(jié)構(gòu)，其坐標(biāo)為狀態(tài)的各個分量（或動力系統(tǒng)的自由度）。在力學(xué)系統(tǒng)中狀態(tài)空間可以由位置和速度(sd)來描述，而在生態(tài)系統(tǒng)中，狀態(tài)空間是由蟲口數(shù)描述的。以穩(wěn)定的單擺系統(tǒng)為例，在近平衡條件下，非阻尼擺的狀態(tài)空間由圖一所示，系統(tǒng)的每一狀態(tài)與狀態(tài)空間的一點對應(yīng)，當(dāng)擺來回擺動時，狀態(tài)空間中的點形成一橢圓軌道。 圖0-1單擺軌道 共三十五頁0、概述(i sh)對于混沌系統(tǒng)(xtng)來說，由于其長期行為的不可預(yù)測性，因此必須用漸進的方法來探索系統(tǒng)(xtng)的狀態(tài)，并得到一系列的狀態(tài)值，我們把動力系統(tǒng)(x

4、tng)中的一點或一個數(shù)連續(xù)迭代所產(chǎn)生的序列稱為軌道。上述單擺系統(tǒng)(xtng)的軌道是一個橢圓，它表示系統(tǒng)(xtng)的運動是周期性的。阻尼擺的運動不再是周期性的，在狀態(tài)空間的軌道盤旋縮小，最后靜止在原點的一條螺旋線，可以看出，狀態(tài)空間能以直觀的幾何形式表現(xiàn)系統(tǒng)(xtng)的行為，阻尼擺最終會停下來，這意味著軌道最終會趨于一個不動點，它好象吸引了鄰近軌道，因此稱為吸引子，所謂吸引子是指系統(tǒng)(xtng)反復(fù)出現(xiàn)或越來越逼近的狀態(tài)集。 圖0-2 阻尼擺軌道 共三十五頁1 混沌(hndn)的概念周期倍分叉到混沌混沌的定義(dngy)蝴蝶效應(yīng)等混沌特征共三十五頁一、周期(zhuq)倍分叉到混沌一維迭代

5、(di di)映射從倍分叉到混沌共三十五頁1.1.1 一維迭代(di di)映射一維迭代(di di)映射 Xn+1=f(Xn)，n=0,1, ，又稱為離散動力系統(tǒng)。 不動點的定義。 周期K點的定義。共三十五頁1.1.1 一維迭代(di di)映射不動點的定義若存在 ，使得(sh de) 成立，則稱 為映射f( )的一個不動點。共三十五頁1.1.1 一維迭代(di di)映射周期K點的定義若 成立(chngl)，且 ，則稱 為f( )的周期K點。記為：P-K 點。因此，f的不動點是否f的P-1點，f的P-K點 的不動點。共三十五頁1.1.2 從倍分叉(fn ch)到混沌考慮人口方程Logist

6、ic Xn+1=Xn(1-Xn) 其不動點為：0和 。 當(dāng)=3.569 945 672 時，出現(xiàn)(chxin)混沌。 Feigenbaum常數(shù)=4.669 201 660 共三十五頁1.1.2 從倍分叉(fn ch)到混沌u=2.6:0.001:4.0;x=0.1;for i=1:300 x=u.*x*(1-x);endfor j=1:80 x=u.*x*(1-x); plot(u,x,k.,markersize,2) hold on;endgrid on; 當(dāng)u3.599456,4 之間時處于混沌狀態(tài)。也就是說，由初始條件x0 在Logistic映射的作用下所產(chǎn)生的序列 Xn ; n=0,1

7、,2,3.是非周期(zhuq)的、不收斂的并對初始值非常敏感。 共三十五頁1.1.2 從倍分叉(fn ch)到混沌倍周期分岔以更快的速度進行，再次進入混沌狀態(tài)。如果將周期窗口放大，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)與分岔圖的整體結(jié)構(gòu)具有相似性，而且是一種無限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)。 可以看出，通過改變系統(tǒng)參量，使系統(tǒng)進入混沌的第一種模式是倍周期分岔，即由不動點周期二周期四無限倍周期進入混沌狀態(tài)。當(dāng)然通向混沌的道路不只于此，第二種通向的道路是：從平衡態(tài)到周期運動，再到擬周期運動，直到進入混沌狀態(tài)。第三種通向混沌的方式是陣發(fā)（或間歇）道路，即系統(tǒng)在近似(jn s)周期運動的過程中，通過改變參量，系統(tǒng)會出現(xiàn)陣發(fā)性混沌過程，隨著參

8、量的調(diào)整，陣發(fā)性混沌越來越頻繁，近似(jn s)的周期運動越來越少，最后進入混沌.圖1-1 Logistic映射分差圖 混沌地帶共三十五頁二、混沌(hndn)的定義基本定義 常見(chn jin)的有：Smale馬蹄映射，奇怪吸引子，橫截同窗點，符號動力系統(tǒng)等。不嚴(yán)格的定義 如果一個系統(tǒng)具有對初始值的敏感性，而且存在非周期性運動，那么可以認(rèn)為該系統(tǒng)是混沌的。其他，如：Li-York定義等共三十五頁三、蝴蝶效應(yīng)等混沌(hndn)特征蝴蝶效應(yīng)：對初始值的敏感性。奇怪吸引子：Lorenz研究大氣環(huán)流時的非線性動力學(xué)方程(fngchng)具有的特性如下： 吸引性：當(dāng) 時，軌道極限集； 分維性：軌道的維

9、數(shù)為D=2.06，具有無窮自嵌套、自相似結(jié)構(gòu)； 非周期性：軌道不自我交叉、不自我重復(fù)。共三十五頁三、蝴蝶效應(yīng)等混沌(hndn)特征蝴蝶效應(yīng)在發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象之前，科學(xué)家們一直認(rèn)為微分方程的解只有(zhyu)四種類型：不動點；極限環(huán)；二維環(huán)面；發(fā)散軌道。1963年麻省理工學(xué)院的氣象學(xué)家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究天氣的不可預(yù)測性時，從流體的運動方程出發(fā)，通過簡化方程獲得了具有三個自由度的系統(tǒng)，并再計算機上用他所建立的微分方程模擬氣候變化，意外地發(fā)現(xiàn)，初始條件的極微差別可以引起模擬結(jié)果的巨大變化，這表明天氣過程以及描述它們的非線性方程是如此的不穩(wěn)定，以至巴西熱帶雨林的一只蝴蝶偶然拍動一下翅膀，

10、幾星期后可以在美國德克薩斯州引起一場龍卷風(fēng)，這就是天氣的“蝴蝶效應(yīng)” 共三十五頁三、蝴蝶效應(yīng)等混沌(hndn)特征蝴蝶效應(yīng)羅淪茲方程(fngchng)的具體形式為 圖1-2 Lorenz混沌吸引子 其中x、y、z為無量綱量，分別表征對流強度，對流中升流與降流間的溫差和豎直方向溫度分布的非線性度。任意給定初值，系統(tǒng)最終都會回到狀態(tài)空間的特定區(qū)域內(nèi)，其吸引子具有精巧而奇特的結(jié)構(gòu)，如圖1-2所示，表明系統(tǒng)進入了混沌狀態(tài)。 共三十五頁三、蝴蝶效應(yīng)等混沌(hndn)特征蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)表明，初始條件的極細微變化，隨著時間的推移會顯著地影響系統(tǒng)的宏觀行為，反映在狀態(tài)空間中，初始狀態(tài)非常(fichng)接近

11、的二條軌道，只在很短的時間內(nèi)靠的比較近，然后會迅速散開，因此根據(jù)初始狀態(tài)預(yù)測系統(tǒng)的長期行為，會由于誤差的迅速擴大，使長期行為的預(yù)測受到了根本的限制。混沌吸引子較平庸吸引子要復(fù)雜的多，其最大特點是，初始狀態(tài)相近的二條軌道會迅速散開，然后再次靠近，再迅速散開，且這種聚散行為具有隨機性，所以混沌吸引子也稱為奇怪吸引子。 共三十五頁三、蝴蝶效應(yīng)等混沌(hndn)特征蝴蝶效應(yīng)：對初始值的敏感性對xn+1=4xn(1-xn),n=0,1,2,3,，取三個初始值進行迭代，有右面(yumin)的結(jié)果：nx000.10.100000010.1000000210.360.36000000320.360000006

12、210014782444990.1478125182500.27756908100.43565739970.0550053776510.80209438620.98312983460.2079191442520.64395592740.06634225160.6587550946共三十五頁2 Lyapunov特征函數(shù)Lyapunov指數(shù)基本思想(sxing) Lyapunov指數(shù)的計算例子共三十五頁2.1 判別(pnbi)方法根據(jù)拓?fù)涮卣鱽砼袆e Smale馬蹄，橫截同窗點，有限子位移根據(jù)統(tǒng)計特征來判別 功率，Lyapunov指數(shù)(zhsh)，K-熵，分?jǐn)?shù)維數(shù)共三十五頁

13、2.2 Lyapunov指數(shù)(zhsh)的基本思想對非線性方程(fngchng)對非線性系統(tǒng)共三十五頁2.3 Lyapunov指數(shù)(zhsh)的計算一維映射 例子(l zi)：帳篷映射Tent，它存在混沌。n 維映射 定義：共三十五頁3 基于混沌(hndn)的跳頻編碼跳頻技術(shù)與混沌跳頻編碼(bin m)混沌跳頻編碼的的設(shè)計方法共三十五頁3.1 跳頻技術(shù)(jsh)與混沌跳頻編碼跳頻：通訊中擴展頻譜的方法，載波頻率在一定范圍內(nèi)不斷地跳變。在發(fā)射端，由偽隨機碼改變發(fā)射頻率。在接收端，保持與發(fā)射端相同的偽隨機碼改變頻率接受信號(xnho)。跳頻技術(shù)分類：一類是基帶跳頻，在基本帶寬內(nèi)跳變。另一類是射頻跳

14、頻，用兩臺發(fā)射機發(fā)射信號，一臺發(fā)射基帶信號，一臺用于偽隨機碼控制。跳頻技術(shù)優(yōu)點：抗干擾性強，保密性能好。應(yīng)用例子：移動GSM系統(tǒng)，跳變217次每秒。低速無線局域網(wǎng)，跳變小于50次每秒。共三十五頁3.2 混沌跳頻編碼(bin m)的的設(shè)計方法利用混沌映射產(chǎn)生混沌時間序列 利用Logistic迭代映射產(chǎn)生初始序列； 不同初始值產(chǎn)生N1個長度為N2的混沌序列； 級聯(lián)N1個長度為N2的混沌序列得到長度為N1N2的混沌序列。進行(jnxng)混沌序列量化編碼 量化；編碼。共三十五頁4數(shù)字圖像的混沌(hndn)加密基于混沌的數(shù)字圖像加密算法1、基本思路2、算法說明 當(dāng)u=3.74時，加密后的圖片出現(xiàn)了明顯

15、的周期現(xiàn)象，這是由于計算機數(shù)值表示精度不夠造成的，并不是Logistic方程出現(xiàn)了周期現(xiàn)象。所以，u值的選擇很重要。 通過對圖4-1的分析可知，當(dāng)u3.65時，Logistic映射進入混沌狀態(tài)，圖像漸漸達到了混沌效果，但是僅當(dāng)u3.85后，圖像才達到較好的加密效果。根據(jù)加密圖像的不同效果，容易發(fā)現(xiàn)Logistic方程迭代函數(shù)存在局部周期性，由圖4-1可以看出u=3.63，3.74，3.83，3.84，3.85時加密圖像呈現(xiàn)出條紋狀，這說明相鄰點的像素值也相似。所以圖像的輪廓(lnku)也就隱約可見。這些u的取值不利于圖像的加密，所以要盡量避免取到這些值。對于不同的圖像，可以得到相同的試驗結(jié)果。共三十五頁4數(shù)字圖像的混沌(hndn)加密共三十五頁4數(shù)字圖像的混沌(hndn)加密共三十五頁4數(shù)字圖像的混沌(hndn)加密共三十五頁4數(shù)字圖像的混沌(hndn)加密共三十五頁5復(fù)合混沌(hndn)理論初步復(fù)合混沌理論的提出(t ch)復(fù)合混沌理論的基礎(chǔ)復(fù)合混沌理論的特性復(fù)合混沌理論的應(yīng)用（詳細參見0510-復(fù)合混沌理論及其應(yīng)用.PPT）共三十五頁第五章 混沌(hndn)計算車生兵中南(zhn nn)林業(yè)科技大學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院本章結(jié)束共三十五頁內(nèi)容摘要第五章 混沌計算。1963年，Lorenz