自動控制原理-(4)課件

1、第四章 根軌跡法第一節(jié) 前 言第二節(jié) 根軌跡的基本概念第三節(jié) 根軌跡繪制的基本法則第四節(jié) 根軌跡草圖繪制舉例第五節(jié) 參量根軌跡 第六節(jié) 增加極點或零點對根軌跡的影響 第七節(jié) 設(shè)計實例 閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與其運動特性是緊密相關(guān)的，如果我們能夠確定閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，那么就可以掌握瞬態(tài)響應(yīng)的基本特征。 然而，在沒有計算機之前，求解高次代數(shù)方程是很困難的. 為了解決這個問題，1948年伊文斯（W.R.Evans）提出了根軌跡。 所謂根軌跡是指當系統(tǒng)中某一參數(shù)的數(shù)值從零至無窮大變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在根平面上所描繪的曲線。 應(yīng)用這些曲線可以分析不同參數(shù)情況下的系統(tǒng)過渡過程特征，以及進一步指出改善系統(tǒng)

2、過渡過程品質(zhì)的方向。 應(yīng)用根軌跡曲線研究系統(tǒng)運動特性的方法，稱為根軌跡法。 在根軌跡法中，最常用的變化參數(shù)是系統(tǒng)開環(huán)增益K或與之成比例的所謂根軌跡增益K*。有時也取其他參數(shù)為變化參數(shù)，但用的不多，所以以后不特別指明，變化參數(shù)均為K或K*。 用根軌跡法不但可以進行系統(tǒng)分析，而且可以進行系統(tǒng)設(shè)計，它是經(jīng)典控制理論的基本方法之一。 本章主要介紹根軌跡的基本概念、作圖方法，并通過例題給出用根軌跡分析系統(tǒng)的方法。 根軌跡定義：當系統(tǒng)中某一參數(shù)的數(shù)值從零至無窮大變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在平面上所描繪的曲線。 根軌跡法定義：應(yīng)用根軌跡曲線研究系統(tǒng)運動特性的方法，稱為根軌跡法。 本章重點：本章主要介紹根軌

3、跡的基本概念、作圖方法、并通過例題給出用根軌跡分析系統(tǒng)的方法。41 根軌跡的基本概念一、 二階系統(tǒng)的根軌跡 我們先舉一個例子來說明根軌跡例41 若二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖41所示，試繪 制其根軌跡曲線。解：根據(jù)圖41得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為式中閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為解方程(4-1)得對(4-2)式取不同的 值，得對應(yīng) 的數(shù)值列表4-1。根據(jù)表41繪出系統(tǒng)的根軌跡曲線示于圖42。 分析：由根軌跡曲線可以看出 ：當K1時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根為具有負實部的共軛復(fù)數(shù)。表 4-1 例 4-1 中 與 的對應(yīng)值 二、輻角條件和幅值條件 高階系統(tǒng)特征方程的求解遇到困難時，其根軌跡的畫法就不能和上述二階系統(tǒng)一樣先求出閉環(huán)系

4、統(tǒng)的特征根；如果易于求解，根軌跡就失去了意義。 事實上，高階系統(tǒng)的根軌跡是用圖解法繪制的。 下面將重點介紹繪制根軌跡的基礎(chǔ)輻角條件和幅值條件。閉環(huán)傳遞函數(shù)為為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，而閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為比較式兩端的模和幅角，可得一般開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成稱為根軌跡增益，它與系統(tǒng)開環(huán)增益 存在下述關(guān)系：式中 為開環(huán)系統(tǒng)零點， 為開環(huán)系統(tǒng)極點，由有則如果將積分環(huán)節(jié)視為 的特殊情況，則上式可寫成令因為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為p1p2p31230s1zj取s平面上任一點s1為實驗點，畫出由零點和極點至s1的矢量，并計算各矢量的模和輻角，如果下式成立，則s1是根軌跡上的一個點式中分別為開環(huán)系統(tǒng)零、極點至s1所畫的各s

5、1的根軌跡增益由下式確定：矢量的輻角。 通過上例歸納出根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零極點繪制根軌跡曲線的步驟如下：1）在s平面上找出所有滿足輻角條件的點， 然后把這些點連接成光滑曲線，這些曲線就是K*由零變至無窮大時的根軌跡。2）應(yīng)用輻值條件，對根軌跡上若干所關(guān)心 的點計算K*，并標在該點旁邊，如果有必要還可求出相應(yīng)的K值。分析： 由上面的步驟不難看出，按照這樣的試探法繪制根軌跡曲線是很復(fù)雜的。所以，在一般情況下，先根據(jù)根軌跡的性質(zhì)繪制草圖，然后再對感興趣的點計算出精確值。42 根軌跡的性質(zhì)及草圖繪制法則一、根軌跡的起點、終點和分支數(shù) 原則：根軌跡的起點是指當根軌跡增益 時的根 軌跡點，而終點是指

6、時的根軌跡點。 根軌跡起于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，終于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點，根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)系統(tǒng)的極點數(shù)n與零點數(shù)m之大者。分析： 由根軌跡的幅值條件可知， 故有n條根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點；故有m條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點。 在物理系統(tǒng)中，mn。當mn時，有n-m條根軌跡終止于無窮遠處。的確，當s時， 如果把有限值零點稱為有限零點，把無窮遠處的零點稱為無窮零點，則可以說所有的根軌跡均終止于零點。當變化參數(shù)為K時，nm；當變化參數(shù)不是K時，可能nm。因此，根軌跡的分支數(shù)等于m和n之大者。二、根軌跡的對稱性 由于閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根只有實數(shù)和共軛復(fù)數(shù)兩種，所以根軌跡必然對稱于實軸。三

7、、實軸上的根軌跡原則：對于實軸上某一區(qū)域，如果在其右方的開環(huán)實數(shù)極點個數(shù)與開環(huán)實數(shù)零點之和等于奇數(shù)，則該區(qū)域是根軌跡。 請看下一頁的圖45。 由前頁圖可得出以下結(jié)論：1）開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點 和 至 的矢量輻角之和為 所以開環(huán)系統(tǒng)共軛復(fù)數(shù)極點對實軸上的根軌跡輻角條件式?jīng)]有影響。同理，開環(huán)共軛復(fù)數(shù)零點 和 對實軸上的根軌跡輻角條件也沒有影響。2）試驗點 之左的開環(huán)實數(shù)極點 和實數(shù)零點 至 的矢量輻角均等于零，對實軸上根軌跡輻角條件沒有影響。3）試驗點 之右的開環(huán)實數(shù)極點 和實數(shù)零點 至 的矢量輻角均等于 。 由上面三點可知，在計算各矢量輻角時，只需計算在試驗點之右的開環(huán)實數(shù)極點和實數(shù)零點至該試驗點的

8、矢量輻角即可。若在實驗點之右有A個實數(shù)極點和B個實數(shù)零點，在不計算開環(huán)復(fù)數(shù)零、極點和實驗點之左零極點至實驗點的矢量輻角時，則可寫成對于圖4-5的 點，A=1，B=2，A+B=2，所以 區(qū)間的實軸不是根軌跡。四、根軌跡的漸近線當 很大時，可近似為： 四、根軌跡的漸近線若 在 時，有 條根軌跡伸向無窮遠處，并在無窮遠處根軌跡趨近于漸近線，則漸近線與正實軸的交角為漸近線與實軸的交點為式中 為開環(huán)傳遞函數(shù)極點， 為開環(huán)傳遞函數(shù)零點。例 4-2 若開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試畫其實軸上的根軌跡和s時的漸近線。解1) 在圖4-6上標出開環(huán)傳遞函數(shù)極點：在實軸上(-1,0)和(-,-2)區(qū)間之右的實數(shù)零極點數(shù)之和為

9、奇數(shù)，故這兩個區(qū)間的實軸是根軌跡。本題n=3，m=0，故有三條根軌跡在K時伸向無窮遠處，其漸近線與實軸的交點為漸近線與正實軸的交角為當k=0時，當k=1時，當k=-1時，p1p2p3j18060-60圖 4 - 6五、根軌跡的分離點 當K*由零至無窮大變化過程中，幾條根軌跡在s平面某一點相遇后立即分開，這一點稱為分離點。 最常見的分離點出現(xiàn)在實軸上，實軸上的分離點由兩種情況：實軸上的根軌跡相向運動，在某一點相遇后進入復(fù)數(shù)平面；五、根軌跡的分離點ii) 復(fù)數(shù)平面內(nèi)的一對共軛復(fù)數(shù)根軌跡在實軸上相遇，然后趨向?qū)嵼S上的零點。 不難看出，如果根軌跡在兩相鄰極點或兩相鄰零點之間至少有一個分離點。下面介紹分

10、離點的求法。方法一 分離點對應(yīng)閉環(huán)特征方程的重根，可以此作為計算分離點的依據(jù)。若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為式中P(s)和Q(s)為s的多項式函數(shù)，則其閉環(huán)特征方程為若s2是方程的二重根，則s2滿足下面二式：而 次重根 應(yīng)滿足在此應(yīng)指出，若按上式求出的所謂分離點處的K0，則此點不在根軌跡上，不是分離點。例 4-3 若開環(huán)傳遞函數(shù)為試求根軌跡的分離點，并繪制根軌跡草圖。解 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為分離點應(yīng)滿足得整理得解方程得得分離點的K值j 方法二：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，得 求極值即可確定分離點（或會合點）的參數(shù)。若開環(huán)傳遞函數(shù)為 由 得 解之得 相應(yīng)的增益為 方法三：分離點（或會合點）的坐

11、標可由方程 解出，其中 為開環(huán)極點， 為開環(huán)零點。分離角 分離角定義為根軌跡進入分離點的切線方向與離開分離點的切線方向之間的夾角。分離角為顯然，當時，分離角必為直角。 六、根軌跡的起始角和終止角 為使所繪制的根軌跡草圖有一定精度，還需要求出根軌跡在開環(huán)復(fù)數(shù)極點和零點附近的移動方向。起始角：根軌跡在開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸的夾角稱為起始角 六、根軌跡的起始角和終止角 終止角 ：根軌跡在開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角稱為終止角 。 試驗點s1在十分靠近某開環(huán)復(fù)數(shù)極點或零點的地方移動時，由其他開環(huán)極點或零點指向s1的矢量幅角之和可認為保持不變。因此，根軌跡在開環(huán)復(fù)數(shù)極點的起始角和在開環(huán)零點處

12、的終止角可由輻角條件解出。起始角為終止角為式中 和 分別為待求的起始角和終止角， 和 為由其余開環(huán)零點和極點指向根軌跡終止的開環(huán)零點或起始的開環(huán)極點的矢量輻角。 起始角可表示為： 式中 分別表示矢量 與正實軸之間的夾角。終止角為 式中 和 分別為待求的起始角角， 和 為由其余開環(huán)零點和極點指向根軌跡終止的開環(huán)零點或起始的開環(huán)極點的矢量輻角。例 4-4 若開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求根軌跡的起始角、終止角及根軌跡草圖。解：1) 在圖上標出開環(huán)傳遞函數(shù)的極點和零點，并畫出由p3以外各零極點指向p3的矢量。2) 確定p3的起始角j124p3把上述指向p3的矢量輻角代入(4-45)式，得確定p4的起始角

13、由于根軌跡的對稱性，所以p4的起始角為確定z2的終止角 圖4-12示出除z2之外各開環(huán)零極點至z2的矢量輻角，根據(jù)圖4-12可得j1234把上述各角度代入(4-46)式，得確定z3的終止角 同樣，由于根軌跡的對稱性，得z3的終止角為應(yīng)用根軌跡性質(zhì)及繪制法則畫出的根軌跡草圖示于圖4-13請看下一頁的圖4-13。78.4-78.4149.6-149.6j 根軌跡曲線從左半s平面通過虛軸進入右半s平面以后，系統(tǒng)就變的不穩(wěn)定了。 因此精確的確定根軌跡與虛軸的交點是非常之必要的，確定該交點最方便的方法是應(yīng)用勞思穩(wěn)定性判據(jù)來確定。七、根軌跡與虛軸的交點 方法一：應(yīng)用勞思穩(wěn)定性判據(jù) 當兩條根軌跡對稱原點交于

14、虛軸時，閉環(huán)系統(tǒng)將有一對純虛根出現(xiàn)，此時勞思行列表的 行左端第一個數(shù)等于零，而行列表左端第一列其它數(shù)均大于零。因此，可以利用這一關(guān)系確定根軌跡與虛軸的交點。七、根軌跡與虛軸的交點 方法二：將 代入特征方程中得： 或 令 則可解出 值及對應(yīng)的臨界開環(huán)增益 及 來。例 4-5 若開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點，并繪制全部根軌跡草圖解 該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)其閉環(huán)特征方程為即1) 列寫勞思行列表2) 求根軌跡與虛軸的交點-1-2j八、根之和與根之積系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為1) 若滿足nm+2，則八、根之和與根之積系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為2) 若開環(huán)傳遞函數(shù)在原點有極點，則式中 為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)零點

15、 為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點 為該系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。證明 或?qū)懗梢蛏厦鎯蓚€方程實為一個方程，所以有下面等式：其閉環(huán)特征方程為 若滿足nm+2，則 和 項的系數(shù)與 和 無關(guān)，所以存在2) 若開環(huán)傳遞函數(shù)在原點有極點，則左端第二部分常數(shù)項為零，所以有或?qū)懗善溟]環(huán)特征方程為若開環(huán)傳遞函數(shù)在原點有極點，則左端第二部分常數(shù)項為零，所以有分析：根之和表明，當 變化時，閉環(huán)特征方程根的重心 保持不變。也就是說，當系統(tǒng)滿足nm+2時，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點之和與根軌跡增益無關(guān)，而且等于該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)極點之和；即隨 的增大，若閉環(huán)特征方程的某些根在s平面上向左移動，其它根必向右移動，使其和保持不變。這一特性可以

16、估計根軌跡曲線的變化趨勢，并可用這一關(guān)系式確定其中的某個未知閉環(huán)極點。表明：當開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)時，閉環(huán)傳遞函數(shù)極點之積與開環(huán)傳遞函數(shù)極點無關(guān)，僅與開環(huán)零點及根軌跡增益 有關(guān) 。這一關(guān)系式也可以用來確定其中的未知量。 例 若開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試確定根軌跡與虛軸相交時所對應(yīng)的閉環(huán)實數(shù)根解方法一 由于該系統(tǒng)滿足nm+2，有由例 4-5 可知，當根軌跡與虛軸相交時，由題設(shè)知所以有即返 回方法二 由于該系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)，有4-3 根軌跡草圖繪制舉例為了熟悉根軌跡的性質(zhì)及草圖繪制法則，本節(jié)再舉一些例題。例 4-7 若開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試繪制其根軌跡草圖解1) 在圖(4-15)上標出開環(huán)傳遞函數(shù)的極點確

17、定根軌跡的分支數(shù)及漸近線 由于m=0，n=4，故有四條根軌跡，而且這四條根軌跡當 時趨向無窮遠處。漸近線與實軸的交點為漸近線與實軸的交角為當k=0時，當k=1時，當k=2時，當k=3時，確定實軸上的根軌跡 由于在(-3,0)區(qū)間之右的開環(huán)實數(shù)零、極點數(shù)之和等于1，故實軸上(-3,0)區(qū)間是根軌跡。確定分離點 d可采用試探法求解，具體方法是假定一個d值，并把它代入式中，直到左端計算的數(shù)值與零之差小于給定的值為止。第一次試探 令d=-1.5，把d的數(shù)值代入得第二次試探 令d=-2.3，把d的數(shù)值代入得第三次試探 令d=-2.28，把d的數(shù)值代入得由上面計算出等式的符號相異可以判斷，d的準確值在-2

18、.3與-2.28之間，最大誤差小于0.02，今取d=-2.28。5) 求復(fù)數(shù)極點的起始角求 p3以外各極點指向p3的矢量圖示于圖可得s11=1352=26.64=90p3 = -71.6ii) 由于根軌跡的對稱性可得確定根軌跡與虛軸的交點 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為其勞思行列表為令 和 得 把此 值代入 行，并以此行的數(shù)值為系數(shù)列寫方程 解此方程得根據(jù)上面六步繪制的根軌跡草圖示于圖(4-15)。45-4571.6-71.6例 4-9 若開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫其根軌跡。解1) 在圖(4-19)上標出開環(huán)系統(tǒng)極點2) 確定實軸上的根軌跡在(-4,0)區(qū)間之右僅有一個實數(shù)極點，故此區(qū)間實軸是根軌跡。3) 確定根

19、軌跡分支數(shù)及漸近線 由于n=4，m=0，故有4條根軌跡，且均在 時伸向無窮遠處。其漸近線與實軸的交點為根軌跡與實軸的交角為當k=0時，當k=1時，當k=-1時，當k=-2時，4) 確定分離點 該閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為根據(jù)(4-26)及(4-27)式，分離點應(yīng)滿足和由于G(s)H(s)的極點分布對稱于(-2,j0)點，根據(jù)(4-48)式的根軌跡上的點重心不變原則，可判斷s2=-2為一個分離點，即s=-2是方程的一個根。因此(4-58)式左端除以(s+2)可得另外的因子，于是(4-58)式可分解為由上式解出另外兩個分離點為5) 求根軌跡與虛軸的交點 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為令 和 得 把此值代入 行，并

20、用此行個數(shù)構(gòu)成方程解上面方程得根軌跡與虛軸的交點為 4-4 參量根軌跡在用根軌跡分析自動控制系統(tǒng)時，最常用的參變量是K*，但有時也取其它參數(shù)為變化參量，這時所繪制的根軌跡稱為參量根軌跡。繪制參量根軌跡的方法: 首先寫出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程然后對此方程進行變換，將其化成下面形式：式中 為根軌跡所使用的變化參量 為以s為自變量的函數(shù)，稱為等效開環(huán)傳遞函數(shù)。這時，可以繼續(xù)使用以K*為變化參量的根軌跡繪制法則。例 若反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試畫以速度負反饋系數(shù)為參變量的根軌跡，并討論速度負反饋對系統(tǒng)過渡過程的影響。解1) 求等效開環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為上式通分，得因此上式除以多項式得式中

21、等效開環(huán)傳遞函數(shù)為2) 繪制以 為參變量的根軌跡) 在圖(4-22)上標出等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點) n=3，m=1，有三條根軌跡，其中一條當 時趨于零點z=0，其它二條趨于無窮遠。III) 根軌跡的漸近線 漸近線與實軸的交點為漸近線與實軸的交角為當k=0時， 當k=-1時， IV) 實軸上的根軌跡 在(-5.4 , 0)區(qū)間之右僅有一個實數(shù)零點，故此區(qū)間實軸是根軌跡。V) 求復(fù)數(shù)極點p2和p3的起始角 指向的矢量輻角分別為 根據(jù)(4-45)式有由根軌跡的對稱性，可得通過以上五步繪制的以 為參變量的根軌跡示于圖(4-22)。由上述例題可以得出關(guān)于參量根軌跡的兩條結(jié)論:I）參量根軌跡的繪制方法與

22、以K*為變化參量的根軌跡的繪制法則相同，關(guān)鍵在于求出等效開環(huán)傳遞函數(shù)。II）求等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點時，對于高于三階以上的系統(tǒng)，要應(yīng)用計算機。3) 速度負反饋對系統(tǒng)過渡過程的影響 由圖(4-22)可知，當 時，原系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)有一個負實數(shù)極點和一對共軛復(fù)數(shù)極點，實數(shù)極點與共軛復(fù)數(shù)極點至虛軸距離之比為5.4/0.3=18，所以它是一個以p2和p3為主導(dǎo)極點的等效二階系統(tǒng)，當 增大時，即速度負反饋增大時，共軛復(fù)數(shù)極點左移， 增大， 增大；同時實數(shù)極點右移。這樣會使系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量 下降和調(diào)節(jié)時間ts 縮短。當 =7.75時，共軛復(fù)數(shù)極點與實數(shù)極點距離軸的距離相等，超調(diào)量 會下降的很小，同時調(diào)節(jié)時間ts 也會很小。當繼續(xù)增大 時，即繼續(xù)增大速度負反饋時，實數(shù)極點距虛軸的距離比復(fù)數(shù)極點近，系統(tǒng)具有一階系統(tǒng)的特征，超調(diào)量 =0，且隨 增大，ts 增大；當 時，實數(shù)極點接近坐標原點，此時系統(tǒng)反應(yīng)很遲鈍，ts 很大。 返 回 4.6 增加極點或零點對根軌跡的影響根軌跡直接與開環(huán)傳遞函數(shù)的極點和零點有關(guān)，所以增加一個開環(huán)極點或增加一個開環(huán)零點必然會使根軌跡移動，從而使閉環(huán)極點位置發(fā)生變化。用根軌跡方法對系統(tǒng)進行校正實質(zhì)： 為校正裝置傳遞函數(shù)選擇合適的極點和零點，以