人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教學(xué)課件：第二章第3節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性

1、第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性課程標(biāo)準(zhǔn)要求1.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.2.結(jié)合函數(shù)的周期性、最小正周期的含義,會(huì)判斷應(yīng)用函數(shù)的周期性.必備知識(shí)課前回顧 回歸教材 夯實(shí)四基關(guān)鍵能力課堂突破 類(lèi)分考點(diǎn) 落實(shí)四翼必備知識(shí)課前回顧 回歸教材 夯實(shí)四基知識(shí)梳理1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,如果xI,都有-xI且 ,那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)且 ,那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)圖象特征關(guān)于 對(duì)稱(chēng)關(guān)于 對(duì)稱(chēng)f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y軸 原點(diǎn)釋疑函數(shù)存在奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)

2、f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)每一個(gè)xD,都有x+TD,且 ,那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè) 的正數(shù),那么這個(gè) 就叫做f(x)的最小正周期.f(x+T)=f(x)最小最小正數(shù)釋疑(1)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,則nT(nZ,n0)也是函數(shù)f(x)的周期.(2)不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期,如常函數(shù)f(x)=c(c是常數(shù))是周期函數(shù),但沒(méi)有最小正周期.重要結(jié)論1.奇偶性的四個(gè)重要結(jié)論(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0.(2)如

3、果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(3)若函數(shù)滿(mǎn)足f(x)=0或解析式可化簡(jiǎn)為f(x)=0(xD),其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的非空數(shù)集,則函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(4)在公共定義域內(nèi)有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.2.周期性的常用結(jié)論設(shè)函數(shù)y=f(x),xR,a0.(1)若f(x+a)=f(x-a),則函數(shù)的一個(gè)周期為2a.(2)若f(x+a)=-f(x),則函數(shù)的一個(gè)周期為2a.3.對(duì)稱(chēng)性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),即f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng).(2)若對(duì)于R上的任意x

4、都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng).(3)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),即f(-x+b)+f(x+b)=0,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱(chēng).對(duì)點(diǎn)自測(cè)B1.(必修第一冊(cè)P84例6改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是( )A.y=x3 B.y=x2C.y=|ln x|D.y=2-x解析:A為奇函數(shù),C,D為非奇非偶函數(shù),B為偶函數(shù).故選B.B解析:因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以a+2b=0.3.若函數(shù)f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函數(shù),定義域?yàn)閍,2b,則a+2b=.答案:0答案:-45.(202

5、1山東日照高三模擬)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足f(x)=f(2-x)的奇函數(shù):f(x)=.考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用關(guān)鍵能力課堂突破 類(lèi)分考點(diǎn) 落實(shí)四翼B1.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足當(dāng)x0時(shí),f(x)=2x2-2,則f(f(-1)+f(2)等于( )A.-8B.-6C.4D.6解析:法一因?yàn)楫?dāng)x0時(shí),f(x)=2x2-2,所以f(-1)=0,又函數(shù)是奇函數(shù),則f(0)=0,f(-2)=2(-2)2-2=24-2=8-2=6=-f(2),即f(2)=-6,所以f(f(-1)+f(2)=-6.故選B.法二因?yàn)楫?dāng)x0,則-x0時(shí),-x0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x),當(dāng)x0,f(-x)=-x

6、2-2x+1=-f(x),所以f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).法二(圖象法)作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù).4.判斷下列函數(shù)的奇偶性.題后悟通1.判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則判斷f(-x)與f(x)之間的關(guān)系.(2)判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(-x)與f(x)的關(guān)系,只有各段上的x都滿(mǎn)足相同的關(guān)系時(shí),才能判斷其奇偶性.2.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值的方法:將待求函數(shù)值或不等式利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.3.根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解析式中參數(shù)的方法:根據(jù)f(x

7、)f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值.4.涉及兩個(gè)奇偶函數(shù)的和或差的解析式求奇偶函數(shù)的解析式需要用-x代替x后利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造方程組求解.注意:根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)奇偶性時(shí),若函數(shù)解析式不是最簡(jiǎn)形式,需要先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,化簡(jiǎn)時(shí)要注意等價(jià)變形.考點(diǎn)二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用例1 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x0,2時(shí),f(x)=2x-x2,則x2,4時(shí)函數(shù)f(x)的解析式為 .解析:當(dāng)x-2,0時(shí),-x0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇

8、函數(shù),所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以當(dāng)x-2,0)時(shí),f(x)=x2+2x.又當(dāng)x2,4時(shí),x-4-2,0,所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù),所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,故當(dāng)x2,4時(shí),f(x)=x2-6x+8.答案:f(x)=x2-6x+8(x2,4)典例遷移1 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x)且f(1)=2,則f(0)+f(1)+f(2)+f(2 022)+f(2 023)=.解析:依題意函數(shù)的一個(gè)周期是4,且f(1)=2,所以f(3)=f(3

9、-4)=f(-1)=-f(1)=-2.又f(2)=f(2-4)=f(-2)=-f(2),故f(2)=0.由奇函數(shù)的定義f(-x)=-f(x),可知f(0)=-f(-0)=-f(0),則f(0)=0,因此f(4)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,結(jié)合2 023=4505+3,可知f(0)+f(1)+f(2)+f(2 022)+f(2 023)=505f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)+f(3)=2+0+(-2)=0.答案:0解題策略1.根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間上的解析式,結(jié)合函數(shù)周期性與奇偶性的求值問(wèn)題,應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)將待求的自變量的值轉(zhuǎn)化到

10、已知的函數(shù)解析式上后,結(jié)合函數(shù)解析式求值.2.若函數(shù)具有奇偶性以及關(guān)于直線(或點(diǎn))對(duì)稱(chēng)時(shí),函數(shù)也具有周期性,求解時(shí)首先利用周期性的定義確定出函數(shù)的周期.針對(duì)訓(xùn)練 1.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿(mǎn)足f(x)=f(1-x),則f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)等于()A.-1B.0C.1D.2解析:因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)=f(1-x),所以f(x+1)=f(-x)=-f(x),所以f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期為2,所以f(2 020)=f(0+21 010)=f(0)=0,f(2 021)+f(2 022)=f(2 021)+f(1-

11、2 022)=f(2 021)-f(2 021)=0,所以f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=0.故選B.3.若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+1)=-f(x),且x-1,1時(shí),f(x)=x2,則x7,9時(shí)的函數(shù)解析式是.解析:由函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+1)=-f(x)可知f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),因此函數(shù)的周期是2.設(shè)x7,9,則-1x-81,因此f(x-8)=(x-8)2,根據(jù)函數(shù)的周期是2可知f(x-8)=f(x),因此f(x)=(x-8)2.答案:f(x)=(x-8)2(x7,9)考點(diǎn)三 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用角度一 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用例2-1 (1)函

12、數(shù)f(x)在(-,+)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù),若f(1)=-1,則滿(mǎn)足-1f(x-2)1的x的取值范圍是()A.-2,2B.-1,1C.0,4 D.1,3解析:(1)由函數(shù)f(x)是奇函數(shù),可知f(-1)=-f(1)=1.-1f(x-2)1,即f(1)f(x-2)f(-1).又f(x)在(-,+)上單調(diào)遞減,則有-1x-21,解得1x3.故選D.(2)已知函數(shù)f(x)=x2+log2|x|,則不等式f(x+1)-f(2)0的解集為()A.(-,-1)(3,+)B.(-,-3)(1,+)C.(-3,-1)(-1,1)D.(-1,1)(1,3)解題策略1.求解與奇偶函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題要考慮奇偶函

13、數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的定義域兩側(cè)的單調(diào)性;利用奇、偶函數(shù)的圖象特征或根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性一致,偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反,轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上求解.2.求解與偶函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題,為避免出現(xiàn)錯(cuò)誤以及分類(lèi)討論,可利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(-x)=f(|x|)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為偶函數(shù)在0,+)上的單調(diào)性求解.角度二 函數(shù)的奇偶性(對(duì)稱(chēng)性)與周期性例2-2 (2021黑龍江佳木斯高三三模)已知y=f(x)為奇函數(shù),若f(x+1)是偶函數(shù),且當(dāng)x0,1時(shí),f(x)=log2(x+a),則f(2 021)等于()A.-1B.0C.1D.2解析:由函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)以及y=f(x)為奇函數(shù)可

14、知f(x+1)=f(-x+1),即f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以對(duì)任意xR,f(x+4)=f(x).當(dāng)x0,1時(shí),f(x)=log2(x+a),所以f(0)=log2a=0,所以a=1,則f(2 021)=f(5054+1)=f(1)=log22=1.故選C.解題策略1.若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng);若y=f(x+a)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng).2.函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)與周期關(guān)系常見(jiàn)結(jié)論(1)若函數(shù)y=f(x)的兩條對(duì)稱(chēng)軸方程分別為x=a,x=b,則函數(shù)的一個(gè)周期為T(mén)=2|a-b|;(2)若函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心分別為

15、(a,0),(b,0),則函數(shù)的一個(gè)周期為T(mén) =2|a-b|;(3)若函數(shù)y=f(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為x=a,一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)(b,0),則函數(shù)的一個(gè)周期為T(mén)=4|a-b|.角度三 單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合問(wèn)題A.f(1)=0B.f(x)在-2,2上有5個(gè)零點(diǎn)C.直線x=2 022是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸D.點(diǎn)(2 022,0)是函數(shù)y=f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心解題策略函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義,以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性.(2)周期性與奇偶性的綜合.此類(lèi)問(wèn)題多考查求值問(wèn)題,常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換

16、,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合.解決此類(lèi)問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.針對(duì)訓(xùn)練 備選例題例1 (2021廣東揭陽(yáng)高三一模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿(mǎn)足f(x)=f(2-x),且對(duì)任意1x1x2均有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0成立,則滿(mǎn)足f(2x-1)-f(3-x)0的x的取值范圍是()例2 已知函數(shù)y=f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且f(x)不恒為0,函數(shù)y=g(x)為非零函數(shù),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y均有g(shù)(xy)=g(x)+g(y),則下列關(guān)

17、于函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的敘述正確的是()A.函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)均為偶函數(shù)B.函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)均為奇函數(shù)C.函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),函數(shù)y=g(x)為偶函數(shù)D.函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),函數(shù)y=g(x)為奇函數(shù)解析:令x=y=0,則有f(0)=f(0)+f(0),故有f(0)=0.令y=-x,則有f(0)=f(x)+f(-x),故有f(-x)=-f(x),又因?yàn)閒(x)不恒為0,所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).令x=1,y=-1,則有g(shù)(-1)=g(-1)1=g(-1)+g(1),故有g(shù)(1)=0,令x=y=-1,則有g(shù)(1)=g(-1)+g(-1),

18、故有g(shù)(-1)=0,令y=-1,則有g(shù)(-x)=g(x)+g(-1)=g(x),且y=g(x),f(x)為非零函數(shù),所以函數(shù)y=g(x)是偶函數(shù).故選C.例3 (2021重慶高三月考)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意xR都有f(x+4)+f(x)=2f(2),y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),則f(2 020)等于()A.0B.-2C.-1D.1例4例5 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)C.|f(x)|g(x)是偶函數(shù) D.f(|x|)g(x)是奇函數(shù)解析:令F1(x)=f(x)g(x),所以F1(-x)=f(-x)g