專題09動態(tài)幾何定值問題(原卷版)

1、 專題九動態(tài)幾何定值問題【考題研究】數(shù)學(xué)因運動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點問題，以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的變“與 不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸對稱（翻折） 、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對稱、滾動）等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要 以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以動態(tài)幾何問題為

2、基架而精心設(shè)計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射?！窘忸}攻略】動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題是動態(tài)幾何中的常見問題，其考點包括線段（和差）為定值問題；角度（和差）為定值問題；面積（和差）為定值問題；其它定值問題。解答動態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成：先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示 .再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置，找出定值的表達式，然后寫出證明第二種是采用綜合法，直接寫出證明.【解題類型及其思路】在中考中，動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題命題形式主要為解答題。在中考壓軸題中，動態(tài)幾何之定值（恒等）問題的重點是線段（和差）為定值問題，問

3、題的難點在于準(zhǔn)確應(yīng)用適當(dāng)?shù)亩ɡ砗头椒ㄟM行探究?！镜淅敢款愋鸵弧揪€段及線段的和差為定值】【典例指引1】已知： ABC是等腰直角三角形，/BAC=90。，將4ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到 ABC, 記旋轉(zhuǎn)角為 %當(dāng)90v /V 180時，作ADXAC,垂足為D, AD與BC交于點E.圖1S2(1)如圖1,當(dāng)/CAD=15。時，作/AEC的平分線EF交BC于點F.寫出旋轉(zhuǎn)角”的度數(shù)；求證：EAEC=EF；(2)如圖2,在(1)的條件下，設(shè)P是直線AD上的一個動點，連接PA, PF,若AB=戊,求線段PA+PF的最小值.(結(jié)果保留根號)【舉一反三】如圖(1),已知/ MON =90,點P為射線O

4、N上一點，且OP=4 , B、C為射線OM和ON上的兩個動點(OC OP),過點P作PA BC ,垂足為點 A,且PA=2 ,聯(lián)結(jié)BP .Im倍力S PAC 1八(1)若- 彳時，求tan BPO的值；S3邊形 ABOP 2(2)設(shè)PC x, 2 y求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；BC(3)如圖(2),過點A作BP的垂線，垂足為點 H ,交射線ON于點Q,點B、C在射線OM和ON上運動 時，探索線段OQ的長是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化， 求出它的值。若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示OQ 的長.類型二【線段的積或商為定值】【典例指引2】如圖，矩形ABCD中，AB 2,BC 5, BP 1,

5、 mpn 900 ,將 MPN繞點P從PB 處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)， PM交邊AB (或AD )于點E , PN交邊AD (或CD )于點F .當(dāng)PN旋轉(zhuǎn) 至PC處時， MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.(1)特殊情形：如圖 ，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過點A時，PN也恰好過點D ,此時 ABP是否與 PCD相似？并 說明理由；PEPF(2)類比探究：如圖，在旋轉(zhuǎn)過程中， 匚三的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；(3)拓展延伸：設(shè) AE t時，EPF的面積為S,試用含t的代數(shù)式表示S;在旋轉(zhuǎn)過程中，若t 1時，求對應(yīng)的 EPF的面積；在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)EPF的面積為4.2時，求對應(yīng)的t的值.【舉一反三】

6、如圖1,已知直線y=a與拋物線y1 2、一 X交于A、B兩點(A在B的左側(cè)，交y軸于點C 4(1)若AB = 4,求a的值 一.一 1.一 一一(2)若拋物線上存在點 D(不與A、B重合)，使CD AB ,求a的取值范圍 22于M、如圖2,直線y=kx+2與拋物線交于點 E、F,點P是拋物線上的動點，延長PE、PF分別交直線y=-N兩點，MN交y軸于Q點，求QM QN的值。類型三【角及角的和差定值】【典例指引3】如圖，在4ABC中，Z ABC 60, /BACv60,以AB的同側(cè))，連接CD.(1)若/ABC 90, /BAC 30,求 / BDC 的度數(shù)；(2)當(dāng)/BAC 2/BDC時，請判

7、斷 ABC的形狀并說明理由；(3)當(dāng)/ BCD等于多少度時，/ BAC 2 / BDC恒成立.AB為邊作等邊4ABD (點CD在邊【舉一反三】 如圖1,拋物線W : y ax2 2的頂點為點 A,與x軸的負半軸交于點 D,直線AB交拋物線 W于另一點C ,點B的坐標(biāo)為1,0 .(1)求直線AB的解析式；(2)過點C作CE x軸，交x軸于點E,若AC平分 DCE,求拋物線 W的解析式；-41(3)若a將拋物線 W向下平移m m 0個單位得到拋物線 W1 ,如圖2,記拋物線W,的頂點為A,與x軸負半軸的交點為 D1，與射線BC的交點為C1.問：在平移的過程中，tan D1C1B是否恒為定值？若是，

8、請求出tan DQ1B的值；若不是，請說明理由.類型四【三角形的周長為定值】【典例指引4】如圖，現(xiàn)有一張邊長為 2J2的正方形ABCD,點P為正方形 AD邊上的一點(不與點 A、點D重合)，將正方形紙片折疊，使點 B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接BP, BH.(1)求證：EPBEBP;(2)求證：APBBPH ;(3)當(dāng)點P在邊AD上移動時，4PDH的周長是否發(fā)生變化？不變化，求出周長，若變化，說明理由；(4)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.【舉一反三】如圖，在等腰直角三角形 ABC中，ZC=90, AB = 8 J2 ,點。是AB的中點

9、.將一個邊長足 夠大的RtADEF的直角頂點E放在點。處，并將其繞點 O旋轉(zhuǎn)，始終保持 DE與AC邊交于點G , EF與 BC邊交于點H.(1)當(dāng)點G在AC邊什么位置時，四邊形 CGOH是正方形.(2)等腰直角三角ABC的邊被RtA DEF覆蓋部分的兩條線段 CG與CH的長度之和是否會發(fā)生變化，如不發(fā)生變化，請求出 CG與CH之和的值：如發(fā)生變化，請說明理由.類型五【三角形的面積及和差為定值】【典例指引5】綜合與實踐：矩形的旋轉(zhuǎn)問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以 矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動.具體要求：如圖 1,將長與寬都相 等的兩個矩形紙片 ABCD和EFGH疊放在一起，這時對角線

10、 AC和EG互相重合.固定矩形 ABCD ,將矩形EFGH繞AC的中點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，直到點 E與點B重合時停止，在此過程中開展探究活動. 操作發(fā)現(xiàn)：(1)雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)邊 AB與EF交于點M,邊CD與GH交于點N,如圖2、圖3 所示，則線段 AM與CN始終存在的數(shù)量關(guān)系是 .(2)雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開始后，當(dāng)兩個矩形紙片重疊部分為四邊形QMRN時，如圖3所示，四邊形QMRN為菱形，請你證明這個結(jié)論.(3)雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問題(2)中的四邊形 QMRN中/MQN與旋轉(zhuǎn)角/ AOE存在著特定的數(shù)量關(guān)系， 請你寫出這一關(guān)系，并說明理由.實踐探究：(4)在圖3中，隨著

11、矩形紙片EFGH的旋轉(zhuǎn)，四邊形QMRN的面積會發(fā)生變化.若矩形紙片的長為 2+J2，寬為J2,請你幫助雄鷹小組探究當(dāng)旋轉(zhuǎn)角ZAOE為多少度時，四邊形 QMRN的面積最大？最大面積是多少？(直接寫出答案)E【舉一反三】如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E直角頂點的直角三角形 EFG的兩邊EF , EG分別過點B,C, ZF = 30.(1)求證：BE=CE(2)將 EFG繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到 EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動.若EF, EG分別與AB,BC相交于點M, N.(如圖2)求證：ABEMA CEN;若AB = 2,求4BMN面積的最大值；當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點 B恰好在FG上(

12、如圖3),求sin / EBG的值.【新題訓(xùn)練】1 .已知在平行四邊形 ABCD中，AB=6, BC=10, /BAD=120, E為線段BC上的一個動點(不與 B, C重合)，過E作直線AB的垂線，垂足為 F, FE與DC的延長線相交于點 G,(1)如圖1,當(dāng)AELBC時，求線段BE、CG的長度.(2)如圖2,點E在線段BC上運動時，連接 DE, DF, BEF與4CEG的周長之和是否是一個定值，若是請求出定值，若不是請說明理由.(3)如圖2,設(shè)BE=x, ADEF的面積為y,試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點 C為頂點的拋物線經(jīng)過點 A,點P是

13、拋物線上 點A、C間的一個動點(含端點)，過點P作PFLBC于點F,點D、E的坐標(biāo)分別為(0, 6), (-4, 0),連接 PD, PE, DE.(1)求拋物線的解析式;(2)小明探究點P的位置是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點 P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進而猜想：對于任意一點P, PD與PF的差為定值，請你判定該猜想是否正確，并說明理由;(3)請直接寫出4PDE周長的最大值和最小值.如圖，四邊形 ABCD 中，AD / BC, /ABC=90.(1)直接填空：/ BAD = (2)點P在CD上，連結(jié)AP, AM平分/DAP, AN平分/FAB, AM、AN分別與射線 BP交于點M、N.設(shè)求/

14、BAN的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示).若ANLBM,試探究/AMB的度數(shù)是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請用 a的代數(shù).將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點A旋轉(zhuǎn)，連接BC, DE.探究Saabc與Saadc的比是否為定值.（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時，Saabc ： Saade是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由.（圖）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30。角的直角三角板時，Saabc： Saade是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由.（圖）（3）兩塊三角板中，ZBAE+ZCAD=180, AB=a, AE=b, AC=m,

15、 AD = n （a, b, m, n 為常數(shù)），Saabc： S/xade是否為定值？如果是，用含 a, b, m, n的式子表示此定值（直接寫出結(jié)論，不寫推理過程），如果不是，說明理由.（圖）.（解決問題）如圖1,在 ABC中，AB AC 10, CG AB于點G .點P是BC邊上任意一點，過 點P作PE AB , PF AC ,垂足分別為點 E ,點F .(1)若 PE 3, PF 5,則 ABP 的面積是, CG 且 PE BC,(2)猜想線段PE , PF , CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.PG的值.(3)(變式探究)如圖2,在 ABC中，若AB AC BC 10,點P是 ABC內(nèi)任意

16、一點,PF AC , PG AB ,垂足分別為點E ,點F ,點G ,求PE PF(4)(拓展延伸)如圖3,將長方形 ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C處，點P為折痕EF上的任意一點，過點 P作PG BE , PH BC,垂足分別為點8, CF 3,直接寫出PG PH的值.P1B圖3.如圖，已知銳角 ABC中，AB、AC邊的中垂線交于點 O(1)若/ A= e (0 “V 90),求/ BOC;(2)試判斷/ ABO+/ACB是否為定值；若是，求出定值，若不是，請說明理由. OO的直徑AB= 15cm,有一條定長為9cm的動弦，CD在弧AB上滑動(點C和A、點D與B不重合)，且

17、 CELCD 交 AB 于 E, DFLCD 交 AB于 F.(1)求證：AE=BF（2）在動弦CD滑動過程中，四邊形 CDFE的面積是否為定值，若是定值，請給出證明，并求這個定值, 若不是，請說明理由.如圖，動點M在以。為圓心，血 為直徑的半圓弧上運動（點 M不與點4 B及軸 的中點F重合），連接0n .過點a/作neids于點,以ee為邊在半圓同側(cè)作正方形 bcde ,過加點作二o的切線交 射線DC于點X ,連接BAF、SX.（1）探究：如左圖，當(dāng) a1動點在石上運動時；判斷四1二是否成立？請說明理由；設(shè) 絲二二 二匕 六是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；設(shè)上U3N=）,值

18、是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；（2）拓展：如右圖，當(dāng)動點 3/在手丑上運動時；分別判斷（1）中的三個結(jié)論是否保持不變？如有變化，請直接寫出正確的結(jié)論.（均不必說明理由）.如圖，已知。的半徑為2, AB為直徑，CD為弦.AB與CD交于點M ,將Cd沿著CD翻折后, 點A與圓心O重合，延長OA至P ,使AP OA,鏈接PC .（1）求CD的長.(2)求證：PC是。的切線.(3 )點G為ADB的中點，在PC延長線上有一動點 Q ,連接QG交AB于點E ,交？C于點F ( F與B、C不重合).則GE GF為一定值.請說明理由，并求出該定值.在平面直角坐標(biāo)系中，點A和點B分別在x軸的

19、正半軸和y軸的正半軸上，且 OA=6, OB=8 ,點D是AB的中點.(1)直接寫出點D的坐標(biāo)及AB的長;(2)若直角/ NDM繞點D旋轉(zhuǎn)，射線DP分別交x軸、y軸于點P、N,射線DM交x軸于點M,連接MN .當(dāng)點P和點N分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸時，若 PDMsmon,求點N的坐標(biāo);在直角ZNDM繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，/DMN的大小是否會發(fā)生變化？請說明理由.11.如圖, AOB 中，A ( 8, 0),B (0, 32), AC平分/OAB,交y軸于點C,點P是x軸上一點,3OP經(jīng)過點A、C,與x軸于點D,過點C作CELAB,垂足為E, EC的延長線交x軸于點F,(1) OP的半徑為;

20、(2)求證：EF為。P的切線；(3)若點H是CD上一動點，連接 OH、FH ,當(dāng)點值，求其值；若不是定值，請說明理由.H在CD上運動時，試探究 OH是否為定值？若為定FH12.如圖，在菱形 ABCD中，Z ABC=60, AB=2.過點A作對角線BD的平行線與邊 CD的延長線相交于點E. P為邊BD上的一個動點(不與端點 B, D重合)，連接PA, PE, AC.(1)求證：四邊形 ABDE是平行四邊形；(2)求四邊形ABDE的周長和面積；(3)記4ABP的周長和面積分別為 Ci和Si, APDE的周長和面積分別為 C2和S2,在點P的運動過程中, 試探究下列兩個式子的值或范圍：C1+C2,S

21、1+S2,如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值的，請直接寫出它的取值范圍.如圖，在eO中，圓心O關(guān)于弦AB的對稱點C恰好在eO上，連接AC、BC、BO、AO. (1)求證：四邊形AOBC是菱形；(2)如圖，若點Q是優(yōu)弧AmB (不含端點A、B)上任意一點，連接 CQ交AB于點P, e O的半徑為2.3試探究線段CP與CQ的積CP CQ是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由;求CPPO的取值范圍.如圖，拋物線的頂點坐標(biāo)為 C (0, 8),并且經(jīng)過A (8, 0),點P是拋物線上點 A, C間的一個動點(含 端點)，過點P作直線y=8的垂線，垂足為點 F,點D, E的坐標(biāo)分別為(0, 6), (4, 0),連接