第13講梅涅勞斯定理與塞瓦定理目標預備班教師版

1、13E梅涅勞斯定理與塞瓦定理板塊一梅涅勞斯定理及其逆定理知識導航梅涅勞斯定理：如果一條直線與 4ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于 F、D、E點, ABC叫梅氏三角形.BD CEBD CE =1 .這條直線叫 ABC的梅氏線,DC EA那么”FBAH1 HF2E H3C 作 CG / DFDC FG AE AF.AFBDCE AFFBFG,- 一 = =1.FBDCEA FBFGAF證法二：如中圖，過 A作AG II BD交DF的延長線于GAF BD CE AG BD DC d 1FB DC EA BD DC AGA、B、C作DE的垂線，分別交于 Hi、H2、H3.AGBC DDBFB

2、 EC FGAFAGBD BDCE DCFB BDDC DC EA AG三式相乘即得:證法三：如右圖，分別過GAFFEBC DBC D貝U有 AH1 / BH2 / CH3 ,AF BD CE 所以一 .一 .一FB DC EAAH1 BH2 CH 3-，:，一二=1 .BH2 CH3 AH1【例1】夯實基礎【解析】習題1.習題2.直線FEC是4ABD的梅氏線,.AE DC BF- =1 .而ED BC FADC 1AEED笆=1,即生FAED2AFBF-在 ABC中，D是BC的中點，經過點FA EAF .求證： =.FC EBD的直線交AB于點E ,E、F三點，應用梅氏定理，知交CA的延長線

3、于點直線截4ABC三邊于BD =BC ,所以巨EA空=1,即位FCFCEAEB如圖，在 ABC中,ZACB =90)CDDB生上=1,又因為EA FCAC =BC . AM為BC邊上的中線,梅涅勞斯定理的逆定理：若F、D、E分別是4ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點,如果竺，BD ,生=1 ,則F、D、E三點共線.FB DC EA如圖，在 4ABC中，AD為中線，過點 C任作一直線交 AB于點F ,交AD于點E ,求 證：AE: ED =2AF : FB .AEEBCD _LAM于點D , CD的延長線交 AB于點E .求注【解析】C由題設，在 RtAAMC 中，CD _LAM ,

4、AC =2CM ,由射影定理ADDMAD AM AC2,=-2 4 DM AM CM對ABM和截線EDC ,由梅涅勞斯定理,AE BCEB CMMDAE=1 ,即DAEB所以些=2.EB【例2】 如圖，在 AABC中，D為AC中點，BE=EF=FC,求證:BM : MN : ND =5:3: 2 .【解析】直線AE是 BCD的梅氏線,.BM DA CE , -=1 .MD AC EB TOC o 1-5 h z .BM 1 2BM 1-一 ，一 =1 ,.=一MD 2 1MD 1直線AF是ABCD的梅氏線,.BN DA CF d=1 , ND AC FB.BN 1 1. BN 4一 一 =1

5、,=一.ND 2 2 ND 1BM :MN : ND =5:3: 2 .習題 3. 如圖，在 ABC 中，D 為 BC 的中點， AE :EF : FD =4:3:1 .求 AG :GH : AB .【解析】 HFC是4ABD的梅氏線,.AH BC DF ,=1 . HB DC FA D 為 BC 的中點， AE: EF :FD =4:3:1 TOC o 1-5 h z .BC2DF1 DC1FA7 .AH21,AH7一 ，一 =1 ,=. HB17HB2 GEC是 ABD的梅氏線，=1 ,AG 1GB - 2.AG BC DEGB DC EA .AG 2 1 , , - ,一 ,- =1 ,

6、GB 1 1AG:GH :HB =3:4: 2.AG:GH : AB =3:4:9【例3】過4ABC的重心G的直線分別交 AB、AC于點E、F ,交CB的延長線于點 D作直線AG交BC于M , MG :GA =1:2 , BM =MC .AE BD MG AE BD 1- -=- - = 1 .EB DM GA EB DM 2.EB BD=.AE 2DM同理，CF二旦，F(xiàn)A 2DM而 BD DC =BD BD 2BM =2(BD BM ) =2DM.BE CF BD DC 2DM . =1EA FA 2 DM2DM 2DM【例4】 如圖，點D、E分別在4ABC的邊AC、AB上， AE = EB

7、,AD于點 F , Saabc =4。.求 SaeFD .2_ .、=,BD 與 CE 交DC 3對4ECA和截線BFD ,由梅氏定理得： 空,CD，空=1 ,即EF,2 =1,FC DA BEFC 2 1所以正FC 3所以 Sabfe =_Sabec =一 Saabc，進而 Saefd = S ABDSa bef1 q一 Sa abc8114040 =1148習題4.如圖，在ABC中，三個三角形面積分別為 5, 8, 10.四邊形AEFD的面積為x,求x 的值.對4ECA和截線BFD ,由梅氏定理得：CD -AB-，變=1 ,即“，叱竺1=1,解得DA BE FC5 x 152x=22 .6

8、個小三角形,如圖， ABC被通過它的三個頂點與一個內點O的三條直線分為其中三個小三角形的面積如圖所示，求ABC的面積.對4ABD和截線COF ,由梅氏定理得：處 BC，DO=1，即&，空工=1 ,所以FB CD OA3 CD 2BC 3BC二一,所以 3 . 所以Saabc =3Sa ABD =3父105=315 .CD 2BD【例5】非常挑戰(zhàn)如圖， 在4ABC中，/A的外角平分線與邊 BC的延長線交于點 P , NB的平分線與 邊CA交于點Q, /C的平分線與邊 AB交于點R,求證：P、Q、R三點共線.【解析】AP是ZBAC的外角平分線，則BP AB 小PC CABQ是/ABC的平分線，則C

9、Q BCQA ABCR是/ACB的平分線，則AR CA RB BCMM得AB BCCA ABBP CQ ARPC QA RB因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延長線上,則根據梅涅勞斯定理的逆定理得:P、Q、R三點共線.習題5.證明：不等邊三角形的三個角的外角平分線與對邊的交點是共線的三個點.如圖,AB、AC、BC 于D、E、F .過 C 作 BE 的平行線，貝U /BCP =/CBE =/EBD =/CPB ,所以4BPC是等腰三角形.則 PB=CB .CE PB CB 貝 U有：一二一二一.EA BA BAAD ACBF BA同理一=一；一二一.BA=1 .ACDB CBFC AC所以 C

10、E AD BF CB ACEA DB FC- -BA CB所以D、E、F共線.冷小板塊一塞瓦定理及其逆定理1f a r, - -知識導航D、E、塞瓦定理：如果 ABC的三個頂點與一點 P的連線AP、BP、CP交對邊或其延長線于點F ,如圖，那么 BD CE AF =1 .通常稱點P為4ABC的塞瓦點.DC EA FB證明:.直線FPC、EPB分別是 ABD、4ACD的梅氏線,BC DP AF 彳 DB CE AP=1 , CD PA FB BC EA PD兩式相乘即可得：型 CE .空=1 .DC EA FB塞瓦定理的逆定理：如果點D、口 BD CE AF且 =1,那么 AD、DC EA FB

11、E、F分別在 ABC的邊BC、CA、AB上或其延長線上，并 BE、CF相交于一點（或平行）.如圖,證明:作直線由塞瓦定理得:又已知BD CEDC EABDDCAFCEEAFB=1 ，AF 一 二1F BAFFBAFF B.ABFBF與F重合CF與CF重合AD、BE、CF 相交于一點. 若AD與BE所在直線不相交,BDDCEAACEABD CE,又已知ACDC EA則 AD / BEAF如圖.CE AFEA FB=1 ,即 CE 一=1,FBFBAC AFBE/FC , AD II BE / FC .說明：三線平行的情況在實際題目中很少見.探索提升0,- 【例6】(1)設AX , BY , CZ

12、是 ABC的三條中線，求證:(2)若AX , BY , CZ為ABC的三條內角平分線.求證： AX , BY , CZ三線共點.AYX【解析】(1)由條件知， BX =XC , YC =YA, ZA =ZB .BX CY，空=1 XC YA ZB 根據塞瓦定理的逆定理可得三條中線AX , BY , CZ共點.這個點稱為這個三角形的重心.(2)由三角形內角平分線定理得：三式分別相乘，得： BX CYXC YABX AB CYBCAZACXC - AC ? YA -BA ? ZB- - BCAZ _ AB BC AC _ZB - AC AB BC 根據塞瓦定理的逆定理可得三角形三內角平分線AX ,

13、 BY , CZ共點,這個點稱為這個三角形的內心.習題6.若AX , BY , CZ分別為銳角 4ABC的三條高線，求證： AX , BY, CZ三線共點.【解析】由ABXsCBZ 得：BX=空；由BYAsCZA 得： 絲=9；BZ BCAY AB由AXCSBYC可得：”=里.所以的工上=空上空=1.CX AC BZ AY CX BC AB AC根據塞瓦定理的逆定理可得三條高線AX , BY , CZ共點.對直角三角形、鈍角三角形，同樣也可以證得三條高線共點.我們把一個三角形三條高線所在直線的交點叫做這個三角形的垂心.【例7】如圖， M為4ABC內的一點，BM與AC交于點E , CM與AB交于

14、點F ,若AM通 過BC的中點D ,求證：EF II BC .【解析】對 ABC和點M應用塞瓦定理可得:AF BDFB DCCEEA=1 .又因為BD = DC ,所以AFFBCECE =1 .進而EAAFFBAE=，所以EFEC/ BC .習題7.如果梯形 ABCD的兩腰AD、BC的延長線交于 M ,兩條對角線交于 N .求證：直線MN 必平分梯形的兩底.NFPMD P C板塊三梅涅勞斯定理、塞瓦定理綜合非常挑戰(zhàn)【解析】AB / CD=1 ,AQ =QB.AQQBBE、CF交于點P , AP的延長線交 BC于點D .求AP :PD的值.EAQBPC-，DP=PC. QB【備選】如圖，E、F分別為ABC的AC、AB邊上的點，且 AE=3EC, BF=3FA,BD CFB DC EA 3 DC 3MD CMBCCM（由塞瓦定理得）AQ QBBCCMDPAQ【解析】 P為ABC的塞瓦點.DABCMDDAMDDAAF BD CE 1 BD 1 =一 - - =1BDBDDC -彳，BC 10 , EPB