高中數(shù)學(xué) （3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法）示范教案 新人教A版必修5

1、PAGE 13.2一元二次不等式及其解法3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法從容說課本節(jié)課是人民教育出版社A版必修數(shù)學(xué)5第三章不等式第二大節(jié)3.2一元二次不等式及其解法的第一節(jié)課.一元二次不等式及其解法教學(xué)分為三個學(xué)時，第一個學(xué)時先由師生共同分析日常生活中的實(shí)際問題來引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法，以此激發(fā)學(xué)生對科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設(shè)置思考項(xiàng)，讓學(xué)生探究，層層鋪設(shè)，以便讓學(xué)生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解

2、法的教學(xué).講述完一元二次不等式的概念后，再回歸到先前的具體事例，總結(jié)一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系和一元二次不等式解法的步驟，由學(xué)生用表格將一元二次不等式解法與二次函數(shù)的數(shù)形關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系用圖表形式表示出來；然后用一個程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來，根據(jù)這些圖表，得出一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，再輔以新的例題鞏固.整個教學(xué)過程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系本質(zhì)，引出一元二次不等式解法的步驟和過程，并及時加以鞏固，同時讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)重點(diǎn) 1.從實(shí)際問題中抽象出一元二次不等式

3、模型.2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.教學(xué)難點(diǎn) 理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系.教具準(zhǔn)備 多媒體及課件，幻燈片三張三維目標(biāo)一、知識與技能1.經(jīng)歷從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程;2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系;3.會解一次二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計求解的程序框圖.二、過程與方法1.采用探究法，按照思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、得出結(jié)論的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué);2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性實(shí)驗(yàn);3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過利用二次函數(shù)的圖象來求解一元

4、二次不等式的解集，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;2.通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生認(rèn)識到事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，樹立辯證的世界觀.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 上網(wǎng)獲取信息已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ畹闹匾M成部分，因特網(wǎng)服務(wù)公司（Internet Service Provider）的任務(wù)就是負(fù)責(zé)將用戶的計算機(jī)接入因特網(wǎng)，同時收取一定的費(fèi)用.某同學(xué)要把自己的計算機(jī)接入因特網(wǎng)，現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇，公司A每小時收費(fèi)1.5元；公司B的收費(fèi)原則是在用戶上網(wǎng)的第一小時內(nèi)收費(fèi)1.7元，第二小時內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時減少0.1元.（若用戶一次上網(wǎng)時間超過17小時，按17小時計算）一般來說，一

5、次上網(wǎng)時間不會超過17小時，所以，不妨一次上網(wǎng)時間總小于17小時，那么，一次上網(wǎng)在多長時間以內(nèi)能夠保證選擇公司A比選擇公司B所需費(fèi)用少？假設(shè)一次上網(wǎng)x小時，則A公司收取的費(fèi)用為1.5x，那么B公司收取的費(fèi)用為多少？怎樣得來？生 結(jié)果是元，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，其首項(xiàng)為1.7，公差為-0.1，項(xiàng)數(shù)為x的和，即師 如果能夠保證選擇A公司比選擇B公司所需費(fèi)用少，則如何列式？生 由題設(shè)條件應(yīng)列式為1.5x(0 x17)，整理化簡得不等式x2-5x0.推進(jìn)新課師 因此這個問題實(shí)際就是解不等式：x2-5x0的問題.這樣的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我們下面要學(xué)習(xí)討論的重點(diǎn).什么叫做一元二次不等式？含有

6、一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）.例如2x2-3x-20，3x2-6x-2，-2x2+30等都是一元二次不等式.那么如何求解呢？師 在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函數(shù)的有關(guān)知識，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函數(shù)三者之間有什么關(guān)系呢？思考：對一次函數(shù)y=2x-7，當(dāng)x為何值時，y=0？當(dāng)x為何值時，y0？當(dāng)x為何值時，y0？它的對應(yīng)值表與圖象如下：x22.533.544.55y-3-2-10123由對應(yīng)值表與圖象（如上圖）可知：當(dāng)x=3.5時，y=0，即2x

7、-7=0；當(dāng)x3.5時，y0，即2x-70；當(dāng)x3.5時，y0，即2x-70.師 一般地，設(shè)直線y=ax+b與x軸的交點(diǎn)是(x0，0),則有如下結(jié)果：（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；（2）當(dāng)a0時，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0.當(dāng)a0時，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0.師 在解決上述問題的基礎(chǔ)上分析，一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系.能通過觀察一次函數(shù)的圖象求得一元一次不等式的解集嗎？生 函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方程的根，不等式的解集為函數(shù)圖象落在x軸

8、上方(下方)部分對應(yīng)的橫坐標(biāo).a0a0一次函數(shù)y=ax+b(a0)的圖象一元一次方程ax+b=0的解集x|x=x|x=一元一次不等式ax+b0的解集x|xx|x一元一次不等式ax+b0的解集x|xx|x師 在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系.利用這種聯(lián)系（集中反映在相應(yīng)一次函數(shù)的圖象上）我們可以快速準(zhǔn)確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢？在初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，我們曾解決過這樣的問題：對二次函數(shù)y=x2-5x，當(dāng)x為何值時，y=0？當(dāng)x為何值時，y0？當(dāng)x為何值時，y0？當(dāng)時我們

9、又是怎樣解決的呢？生 當(dāng)時我們是通過作出函數(shù)的圖象，找出圖象與x軸的交點(diǎn)，通過觀察來解決的.二次函數(shù)y=x2-5x的對應(yīng)值表與圖象如下：x-10123456y60-4-6-6-406由對應(yīng)值表與圖象（如上圖）可知：當(dāng)x=0或x=5時，y=0，即x2-5x=0；當(dāng)0 x5時，y0，即x2-5x0；當(dāng)x0或x5時，y0，即x2-5x0.這就是說，若拋物線y=x 2-5x與x軸的交點(diǎn)是(0，0)與(5，0),則一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.一元二次不等式x2-5x0的解集是x|0 x5;一元二次不等式x2-5x0的解集是x|x0或x5.教師精講由一元二次不等式的一般形式知，任

10、何一個一元二次不等式，最后都可以化為ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）的形式，而且我們已經(jīng)知道，一元二次不等式的解與其相應(yīng)的一元二次方程的根及二次函數(shù)圖象有關(guān)，即由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對應(yīng)的一元二次方程的解和對應(yīng)的一元二次不等式的解集.如何討論一元二次不等式的解集呢？我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，設(shè)其判別式為=b2-4ac，它的解按照0,=0，0分為三種情況，相應(yīng)地，拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸的相關(guān)位置也分為三種情況（如下圖），因此，對相應(yīng)的一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）的解集我們也分這三種情況進(jìn)行討論.（

11、1）若0，此時拋物線y=ax 2+bx+c(a0)與x軸有兩個交點(diǎn)圖（1），即方程ax 2+bx+c=0(a0)有兩個不相等的實(shí)根x1，x2（x1x2）,則不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|xx1，或xx2；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|x1xx2.（2）若=0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸只有一個交點(diǎn)圖（2），即方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個相等的實(shí)根x1=x2=,則不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|x；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是.(3)若0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸沒有交點(diǎn)圖(3)，即方程ax2+b

12、x+c=0(a0)無實(shí)根，則不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是R；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是.=b2-4ac0=00二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象ax2+bx+c=0的根x1=x2=ax2+bx+c0的解集x|xx1或xx2x|xRax2+bx+c0的解集x|x1xx2對于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)（即a0）的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再求解.知識拓展【例1】 解不等式2x 2-5x-30.生 解：因?yàn)?，2x2-5x-3=0的解是x1=-,x 2=3.所以不等式的解集是x|x，或x3.【例2】 解不等式-3x 2+15x12.生 解：整理化簡得3x 2-15x

13、+120.因?yàn)?，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是x|1x4.【例3】 解不等式4x 2+4x+10.生 解：因?yàn)?0，方程4x 2+4x+1=0的解是x1=x 2=.所以不等式的解集是x|x.【例4】 解不等式-x 2+2x-30.生 解：整理化簡，得x2-2x+30.因?yàn)?，方程x 2-2x+3=0無實(shí)數(shù)解，所以不等式的解集是.師 由上述討論及例題，可歸納出解一元二次不等式的程序嗎？生 歸納如下：（1）將二次項(xiàng)系數(shù)化為“+”：y=ax 2+bx+c0(或0)(a0).（2）計算判別式，分析不等式的解的情況：0時，求根x1x2，=0時，求根x 1=x 2=x 0，0時，方程無解，（3）寫出解集.師 說的很好.下面我們用一個程序框圖把求解一元二次不等式的過程表示出來，請同學(xué)們將判斷框和處理框中的空格填充完整.學(xué)生活動過程方法引導(dǎo)上述過程以學(xué)生自主探究為主，教師起引導(dǎo)作用，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用與新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設(shè)的作