第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題初中一年級(jí)組_練習(xí)用,含答案

1、總分第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題（初中一年級(jí)組）第二十三屆華羅慶金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題（初中一年級(jí)組練習(xí)用）一、填空題（每小題10分，共80分）1.點(diǎn) O 為線段 AB 上一點(diǎn)，ZAOC =10 /COD = 50 一 ,A O則 NBOD 二 或.2.已知m 0 ,且對(duì)任意整數(shù)k,2018 12k3m均為整數(shù)，則m的最大值為. x表示不超過x的最大整數(shù)，如-1.3 =-2 ,1.3 =1.129已知a+石+a+而+K +a+而=4 ，則a的取值范圍是.使2n +1和11n +121都是平方數(shù)的最小正整數(shù)n為.在3父3的九宮格”中填數(shù)，使每行每列及每條對(duì)角線上的 三數(shù)之和都相

2、等.如圖，有3個(gè)方格已經(jīng)填的數(shù)分別為3, 10, 2018,則 九宮格”中其余6個(gè)方格所填數(shù)之和等.已知某三角形的三條高線長(zhǎng) a, b, c為互不相等的整數(shù)，則a + b + c的最小值 為. 16張卡片上分別寫著116這16個(gè)自然數(shù)，把這16張卡片分成4組，使得 每組卡片張數(shù)一樣，每組卡片上所寫數(shù)的和相等，且每組有兩張卡片上的數(shù) 的和為17,共有 種分法.（說明：不考慮組的順序，也不考慮組內(nèi)數(shù)字的順序.例如將116分為四組后，保持各組內(nèi)數(shù)字不變，只改變組的順序或組內(nèi)數(shù)字的順序，視為相同的分法.）8. a , b , c是三個(gè)不同的非零整數(shù)，則abc4ab -2bc 3ca的最小值為（初中一年

3、級(jí)組）第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題參考答案第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題（初中一年級(jí)組）二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡(jiǎn)要過程）.現(xiàn)有兩種理財(cái)方式供王老師選擇.方案一：購買一款分紅產(chǎn)品，前三年 每年 年初交10萬元，第6年年初返6萬元，以后每年處返1.5萬元; 方案二：購買一款年利率5%,滿一年計(jì)息的儲(chǔ)蓄產(chǎn)品，第一年初存款 10萬元，接下來 兩年每年年初追加本金10萬元，并將之前的本息全部 續(xù)存.請(qǐng)問哪個(gè)選擇更劃算？請(qǐng)說明理由.（參考數(shù)據(jù)：1.054 + 1.053 + 1.052=3.47563125 ）.如圖，考古發(fā)現(xiàn)一塊正多邊形的瓷磚殘片（如圖

4、），瓷磚上已不能找到 完整的一個(gè)“角”，考古專家判定D , E兩點(diǎn)是該正多邊形相鄰的兩個(gè) 頂點(diǎn)，C , D兩個(gè)頂點(diǎn)之間隔有一個(gè)頂點(diǎn).經(jīng)過測(cè)量/CDE = 1357DE =13厘米.原 正多邊形的周長(zhǎng)是多少厘米？P. 一筐蘋果，若分給全班同學(xué)每人 3個(gè)，則還剩下25個(gè)；若全班同學(xué)一起 吃，其中5個(gè)同學(xué)每人每天吃1個(gè)，其他同學(xué)每人每天吃2個(gè)，則恰好 用若干天 吃完.問筐里最多共有多少個(gè)蘋果？12.給定一個(gè)5名方格網(wǎng)，規(guī)定如下操作：每次可以把某行（或列） 中的連續(xù)3個(gè)小方格改變顏色（把白格變黑格，把黑格變白格）.如果開始時(shí)所有 25個(gè)小方格均為白色，請(qǐng)問：能否經(jīng) 過8次這樣的操作，使得55方格網(wǎng)恰好

5、變?yōu)楹诎紫嚅g（如圖 所示），且任何一個(gè)小方格在前4次操作中至多變色1次？如果能，請(qǐng)給出一種操作方案（直接畫出第4, 5, 6, 7次操作后的方格網(wǎng)顏 色）；如果不能，請(qǐng)給出證明.三、解答下列各題（每小題 15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）.求證：不存在3個(gè)有理數(shù)的平方和等于15.如圖，一個(gè)由41個(gè)小方格組成的棋盤.先將其中 的任 意8個(gè)方格染黑， 然后按照以下規(guī)則繼續(xù)染 色：如果某個(gè)方格至少與2個(gè)黑格都有恰好1個(gè) 公共頂點(diǎn)，那么就將這個(gè)方格染黑.這樣操作下 去能否將整個(gè)棋盤都染成黑色？（初中一年級(jí)組）第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題參考答案第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題

6、 練習(xí)用參考答案（初中一年級(jí)組）一、填空題（每小題10分，共80分）題號(hào)12345678答案120或23-0.5 a 0.4或者0.4 a 0.5264-110409105215二、解答下列各題（每小題10分，共40分，要求寫出簡(jiǎn)要過程）.【答案】：方案二更劃算.解：方案二，第4, 5年年初將之前的本息全部續(xù)存，到第 6年年初時(shí)，共有本息 10M （1 + 5%）5 +10M （1+ 5%）4 +10M （1+ 5%）3 10.53.4756 =36.5 （萬元），（初中一年級(jí)組）第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題參考答案提取6萬元后仍有約36.5 6 = 30.5 （萬元）可不斷續(xù)存

7、，以后每年可提取利息 約 30.5x5% =1.525 （萬元）.在前期投入及回報(bào)一致的情況下，顯然比方案一以后每年返1.5萬元?jiǎng)澦?而且方案二還可以隨時(shí)提取或部分提取 30.5萬元儲(chǔ)蓄用于應(yīng)急或者選擇其 它更理想的理財(cái)方式，而方案一無此選擇權(quán).綜上所述，方案二更劃算.【答案】156厘米【解答】如圖，設(shè)原圖是正n邊形，其中C , D間的頂點(diǎn)為F ,連接CF , DF ,則（n - 2 ）ZCFD =/FDE =（）,180 n因?yàn)?C F= F ,所以NC D F=2F C D1 8 0一 F D =1 82n所以解得C D E= F D E-.n =12 .F D-Cn13,（初中一年級(jí)組）

8、第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題參考答案所以原本多邊形是正12邊形，周長(zhǎng)為13x12=156 （厘米）.【答案】130.【解答】解答1:設(shè)全班同學(xué)有n人，根據(jù)題意，3n + 25是2n -5的倍數(shù)，則n + 30為整2n - 5數(shù).又.n 十 30 J 2n - 5 十 65 J652n - 5 2 2n - 52 2n -5I ）65二是奇數(shù)，2n -5 2n - 5最大為65, n最大為35,:筐里最多共有3父35 + 25 =130個(gè)蘋果.解答2:設(shè)全班同學(xué)有n人，根據(jù)題意，3n + 25是2n-5的倍數(shù)，則n + 30為整2n - 5數(shù).記n + 30 = k , k為正整數(shù)

9、，則n + 30 = k(2n - 5),兩邊同乘2,得到2n - 52n + 60 = 2k(2n 5) , 2n + 60 = 2n 5 + 65 , 2n 5 + 65 = 2k(2n 5),(2k -1)(2n 5) = 65 = 5M13 .（初中一年級(jí)組）第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題參考答案2k -1 =1 時(shí)，2n 5 = 65 , n = 35,2k -1 = 5 時(shí)，2n 5=13, n =9 ,2k -1 =13 時(shí)，2n -5 = 5, n = 5,2k -1 = 65 時(shí)，2n -5 = 1, n = 3,n為35時(shí)，蘋果數(shù)最多，此時(shí)筐里的蘋果數(shù)為35M3

10、 + 25 =130 .【答案】可以【解答】操作如下：（1 經(jīng)過4次操作可染成如下：(2繼續(xù)操作(初中一年級(jí)組)第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題參考答案三、解答下列各題(每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程).證明：注意到(_刈2=/,只需考慮非負(fù)有理數(shù)的平方和.假設(shè)存在3個(gè)有理數(shù)n- q其中m n，p，q，k，t是自然數(shù)， m p k且(m, n) =1, ( p, q) =1 , (k, t) =1 ,使得 15 n 2 q 2 t 2,()()()m p k那么 15m2n2 p2 = (npk)2 (mqk)2 (mpt)2,(初中一年級(jí)組)第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)

11、賽決賽試題參考答案即 15d 2 =a2+b2+c2,其中 a, b, c, d 是自然數(shù).(1)如果d為偶數(shù)，那么經(jīng)過有限次如下步驟，可使得 d為奇數(shù).假設(shè)d = 2d，若a, b, c兩奇一偶，則 a2 +b2+c2被4除余2,而15d2被4整除，矛盾！所以a, b, c都是偶數(shù)，故令a = 2al , b = 2bl , c = 2G (an b1, g諫是自然數(shù))，所以15d 2 =a 2 +b 2 +c 2 (其中a +b +c a + b + c).如果d11111111是偶數(shù)，類似上述討論，經(jīng)過有限次后可得到奇數(shù).(2)如果d為奇數(shù)，即d = 2r+1 (r是自然數(shù))，那么 15

12、d 2 = 15(2r +1)2 = 15(4r(r +1) +1),即 15d 2 被 8 除余 7.另一方面，若a, b, c為三個(gè)奇數(shù)，那么a2 + b2 + c2被8除余3;若a, b, c為兩偶一奇，那么a2+b2 + c2被8除余1或5;第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題參考答案（初中一年級(jí)組）矛盾!因此，假設(shè)不成立，故不存在 3個(gè)有理數(shù)的平方和等于15.【答案】不可能【理由】如右圖，可以將棋盤上的方格分為兩類，灰色方格和白 色方格.由染色規(guī)則可知，兩類方格的染色互不影響，因此需要分別考慮.首先考慮灰色方格.將只屬于1個(gè)黑色方格的頂點(diǎn)數(shù)量稱為 “邊界頂點(diǎn)數(shù)”.由染色的規(guī)則可以知道，每染一個(gè)方格