高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：8.6空間向量及其應(yīng)用36

1、 第六節(jié) 空間向量及其應(yīng)用考綱解讀1.空間向量及其運(yùn)算.（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.2.空間向量的應(yīng)用.（1）理解直線的方向向量與平面的法向量；（2）能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系；（3）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理；（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的應(yīng)用.命題趨勢(shì)探究立體幾何試題中，證明線

2、面、面面的位置關(guān)系一般利用傳統(tǒng)方法（非向量法）證明，對(duì)于空間角和距離的計(jì)算，既可用傳統(tǒng)方法解答，也可以用向量法解答，而且多數(shù)情況下向量法會(huì)更容易一些.知識(shí)點(diǎn)精講一、空間向量及其加減運(yùn)算1.空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模.空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的模，若向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或.2.零向量與單位向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作.當(dāng)有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合時(shí)，.模為1的向量稱為單位向量.3.相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等

3、向量.空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量.與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為.4.空間向量的加法和減法運(yùn)算（1），.如圖8-152所示. （2）空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律 ，二、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)時(shí)，與向量方向相同；當(dāng)時(shí)，向量與向量方向相反. 的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍.2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律，.3.共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作.4.共線向量定理對(duì)空間中任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，

4、使.5.直線的方向向量如圖8-153所示，為經(jīng)過已知點(diǎn)且平行于已知非零向量的直線.對(duì)空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式可化為和都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，此式叫做線段的中點(diǎn)公式.6.共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.圖 8-1547.共面向量定理如果兩個(gè)向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使.推論：（1）空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)，有，該式稱為

5、空間平面的向量表達(dá)式.（2）已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，滿足向量關(guān)系式（其中）的點(diǎn)與點(diǎn)，共面；反之也成立.三、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1.兩向量夾角已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作.2.數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量，則叫做，的數(shù)量積，記作，即.零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，.3.空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：，（交換律）；（分配律）.四、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用（1）設(shè)，則； ； ； ； .（2）設(shè)，則. 這就是說，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).（3）兩個(gè)向量的夾角及兩

6、點(diǎn)間的距離公式.已知，則；已知，則,或者.其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式.（4）向量在向量上的射影為.（5）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，是內(nèi)的兩條相交直線，則，由此可求出一個(gè)法向量（向量及已知）.（6）利用空間向量證明線面平行：設(shè)是平面的一個(gè)法向量，為直線的方向向量，證明，（如圖8-155所示）.已知直線（），平面的法向量，若，則.（7）利用空間向量證明兩條異面直線垂直：在兩條異面直線中各取一個(gè)方向向量，只要證明，即.（8）利用空間向量證明線面垂直：即證平面的一個(gè)法向量與直線的方向向量共線.圖 8-155（9）證明面面平行、面面垂直，最終都要轉(zhuǎn)化為證明法向量互相平行、法向量互相垂直

7、.（10）空間角公式.異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則.線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則.二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中.（11）點(diǎn)到平面的距離為，為平面的法向量，則.題型歸納及思路提示題型116 空間向量及其運(yùn)算思路提示空間向量的運(yùn)算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，可以類比平面向量的運(yùn)算法則.一、空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算例8.41 如圖8-156所示，已知空間四邊形，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，且，用，表示，

8、則 .解析 ，.變式1 如圖8-157所示，已知空間四邊形，其對(duì)角線為，和分別是對(duì)邊和的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)用基向量，表示向量，設(shè)，則的值分別是（ ）解析 因?yàn)樗杂炙砸虼?。故選D。變式2 如圖8-158所示，在四面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則 （用，表示）.解析 在OBC中，因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以在OAD中，因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以變式3 在空間四邊形中，連接對(duì)角線，若是正三角形，且為其重心，則的化簡(jiǎn)結(jié)果為 .解析 如圖8-352所示，連接DE并延長(zhǎng)交BC于F，因?yàn)镋是BCD的重心，所以F為BC的中點(diǎn)，則，所以變式4 如圖8-159所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，則下列向量中與

9、相等的向量是（ ） 解析 如圖8-353所示，由M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，故M為A1C1的中點(diǎn)，則，故選A。二、空間共線向量定理的應(yīng)用空間共線向量定理：.利用此定理可解決立體幾何中的平行問題.例8.42 已知，且不共面，若，求的值.解析 因?yàn)榍?，所以，?又因?yàn)椴还裁?，所以，解?二、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；求模長(zhǎng)時(shí)，可根據(jù)；求空間向量夾角時(shí)，可先求其余弦值.要判斷空間兩向量垂直時(shí)，可以求兩向量的數(shù)量積是否為0，即.為銳角；為鈍角.由此，通常通過計(jì)算的值來判斷兩向量夾角是銳角還是鈍角.例8.43 已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，的值為（ ）. 解析 依題意，點(diǎn)分別是

10、的中點(diǎn)，如圖8-160所示， .故選. 變式1 如圖8-161所示，已知平行六面體中，且，則 .解析 ，所以。變式2 如圖8-162所示，設(shè)是空間不共面的4個(gè)點(diǎn)，且滿足，則的形狀是（ ）.鈍角三角形 直角三角形銳角三角形 無法確定解析 同理，因此BCD為銳角三角形。故選C。例8.44 如圖8-163所示，在的二面角的棱上有兩點(diǎn)，點(diǎn)分別在內(nèi)，且，則的長(zhǎng)度為 .分析 求的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為求空間向量的模.解析 因?yàn)?，?，設(shè)點(diǎn)在內(nèi)的射影為，則，.故.故，則.變式1 已知二面角為，動(dòng)點(diǎn)分別在面內(nèi)，到的距離為，到的距離為，則兩點(diǎn)之間距離的最小值為（ ）. 分析 利用空間向量的模來求解P，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值

11、。解析 如圖8-354所示，作平面于點(diǎn)，平面于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，由二面角為60，得。所以，故選C。變式2 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)，沿軸把坐標(biāo)平面折成的二面角后，的長(zhǎng)為（ ）. 解析 如圖8-355所示，過點(diǎn)B作，垂足分別為，又，所以，則，故選D。例8.45 如圖8-164所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)在棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上，記.當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍.解析 由題設(shè)可知，以為單位正交基底，建立如圖8-165所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，.由，.顯然不是平角，所以為鈍角，等價(jià)于，即，得.因此，的取值范圍是.評(píng)析 利用向量知識(shí)將為鈍角轉(zhuǎn)化為求解是本題的關(guān)鍵.變式1 已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上，當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的

12、體積為（ ）. 解析 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖8-356所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0,0,0），A（1,0,0），C（0,1,0）,D1(1,1,1)。不妨設(shè)，。，當(dāng)時(shí)，的值最小，故APC最大。，故選B。例8.46 如圖8-166所示，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為正方形，側(cè)面底面，為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為（ ）.解析 取的中點(diǎn)，以為軸，垂直于的為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖8-167所示.設(shè)，正方形的邊長(zhǎng)為， 則，得，即.所以點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為一條線段，且過點(diǎn)和的中點(diǎn).故選.評(píng)注 本題利用空間線面位置關(guān)系求解也很快.由題意知空間內(nèi)與兩定

13、點(diǎn)距離相等的點(diǎn)均在線段中垂面內(nèi)，即在線段的中垂面內(nèi).又為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的軌跡為兩平面的交線落在底面內(nèi)的部分，排除、.又，故排除.故選.變式1 到兩互相垂直的異面直線距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是（ ）.直線 橢圓 拋物線 雙曲線分析 兩條互相垂直的異面直線可模型化為在兩個(gè)互相垂直的平面東西走向和南北走向的兩條直線和。解析 設(shè)題中過其中一條直線且平行于另一條直線的平面為，為兩異面直線的公垂線，在內(nèi)取P1（0，0），P（x,y）建立坐標(biāo)系，如圖8-357所示，依題意，得，故選D。變式2 空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫

14、做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，已知平面，兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離都是3，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的2倍，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是（ ）. 解析 如圖8-358所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x,y,0）、A(3,3,0),則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|y|,由|PH|=2|PA|得，化簡(jiǎn)得12.即|y-3|，y，所以，故選A。題型117 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用思路提示用向量法可以證點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線（或點(diǎn)）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可以求空間角和距離.因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡(jiǎn)單.用向量法解題的途徑有兩種

15、：一種是坐標(biāo)法，即通過建立空間直角坐標(biāo)系，確定出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標(biāo)向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點(diǎn)而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進(jìn)行向量運(yùn)算.一、證明三點(diǎn)共線（如A，B，C三點(diǎn)共線）的方法先構(gòu)造共起點(diǎn)的向量，然后證明存在非零實(shí)數(shù)，使得.例8.47 如圖8-168所示，已知在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn) 在上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn).求證：，三點(diǎn)共線.解析 以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖8-169所示.不妨設(shè)，則，則，因?yàn)?，故?/p>

16、三點(diǎn)共線.變式1 在正方體中，,分別為棱和的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線，都相交的直線（ ）.不存在 有且只有兩條 有且只有三條 有無數(shù)條解析 設(shè)所在直線與直線A1D1，EF,CD交于點(diǎn)H、K、M，以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖8-359所示的空間直角坐標(biāo)系D1-xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則H（a,0,0），M（0,b,2），K（x,y,1），因?yàn)辄c(diǎn)H、K、M共線，又，即點(diǎn)K為H、M的中點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)K在面A1B1C1D1的射影為，滿足即a+b=4，a,bR，如H(2,0,0)，K（1,1,1），M（0,2,2），H（4,0,0）(2,0,1),M(0,0,2),故可以找到無數(shù)條與三條直線A1D1，D

17、C，EF相交的直線，故選D。變式2 如圖8-170所示，在空間四邊形中，分別是和的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為的重心.求證：三點(diǎn)共線.二、證明多點(diǎn)共面的方法要證明多點(diǎn)（如，）共面，可使用以下方法解題.先作出從同一點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量（如，），然后證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得.例8.48 如圖8-171所示，平面平面，四邊形與都是直角梯形，.求證：四邊共面.解析 由平面平面，又，平面平面，得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖8-172所示.設(shè)，則，.，因?yàn)?，所以，則確定一個(gè)平面，即四點(diǎn)共面.變式1 如圖8-173所示，已知平行六面體，分別是棱的中點(diǎn). 求證：四點(diǎn)共面. 解析 設(shè)，因?yàn)镋，F(xiàn)，G,H分別

18、為A1D1，D1C1，C1C，AB的中點(diǎn)，所以有，顯然與不共線，此時(shí)，則有，所以向量與向量，共面，即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面。三、證明直線和直線平行的方法將證線線平行轉(zhuǎn)化為證兩向量共線.設(shè)是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為，則.例8.49 如圖8-174所示，在正方體中，是異面直線與的公垂線段.求證：.解析 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖8-175所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，.設(shè)，由是異面直線與的公垂線段，得，又，故，令，則，所以，即.因此.四、證明直線和平面平行的方法（1）利用共面向量定理.設(shè)為平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得，則.（2）轉(zhuǎn)化為證明直線和平面內(nèi)的某

19、一直線平行.（3）轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）.例8.50 如圖8-176所示，在直四棱柱中，已知，是的中點(diǎn).求證：平面.解析 因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，所以平?評(píng)注 利用空間向量證明線面平行，已知直線的方向向量為，只要在平面內(nèi)找到一條直線的方向向量為，問題轉(zhuǎn)化為證明即可.變式1 如圖8-177所示，已知是正方形所在平面外一點(diǎn)，、分別是、上的點(diǎn)，且.求證：直線平面.解析 。在BC上取一點(diǎn)E，使，于是，所以MNPE，又PE平面PBC，MN平面PBC，故MN平面PBC。五、證明平面與平面平行的方法（1）證明兩平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行.（2）轉(zhuǎn)化為證兩平面

20、的法向量平行（常用此方法）.例8.51 如圖8-178所示，在正方體中，分別是 的中點(diǎn).求證：平面平面.解析 解法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖8-179所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以，即，所以，即.因?yàn)?，所以平面平?解法二：設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得，所以.設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得，所以.因?yàn)?，所以平面平?變式1 如圖8-180所示，在平行六面體中，分別是的中點(diǎn).求證:平面平面.解析 設(shè),則而，所以，故，即。又。又因?yàn)镕GEF=F，ACB1C=C，所以平面EFG平面AB1C。六、證明直線與直線垂直的方法設(shè)直線的方向向量為，則.這里要特別指出的

21、是，用向量法證明兩直線尤其是兩異面直線垂直是非常有效的方法.例8.52 如圖8-181所示，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，.求證：.分析 平面平面，在平面內(nèi)作平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.解析 作，垂足為，則平面，且為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立如圖8-182所示的直角坐標(biāo)系. 設(shè)，由已知條件知，.因?yàn)?，所以。?評(píng)注：。變式1 如圖8-183所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于.點(diǎn)M，N分別為邊AB，CD的中點(diǎn).求證：MN為AB和CD的公垂線.解析 設(shè)，由已知，且三向量?jī)蓛蓨A角均為60，則因?yàn)楣蔒NAB。同理，MNCD，因此MN為AB和CD的公垂線。七.證明直

22、線與平面垂直的方法(1)證明直線和平面內(nèi)的兩天相交直線垂直.(2)證明直線和平面內(nèi)的任一直線垂直.(3)轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的法向量共線.例8.53 如圖8-184所示,在直四棱柱ABCD-中,已知ABCD,AB=AD=1,=CD=2.ABAD.求證：BC平面.解析 如圖8-185所示,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,所以,因?yàn)?所以.因?yàn)橛置?所以BC平面.變式1 正三棱錐O-ABC的三條側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為2，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，H是EF的中點(diǎn)，過EF的一個(gè)平面與側(cè)棱OA,OB,OC或其延長(zhǎng)線分別交于，。求證：面.解析 以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖8-361所

23、示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A（2,0,0），B（0,0,2），C（0,2,0），E(1,0,1),F(1,1,0),H(1, ),所以，故，因?yàn)?，所以BC平面OAH，由EFBC得EF平面OB1C1，所以EFB1C1，則B1C1BC，所以B1C1平面OAH。變式2 如圖8-186所示,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).證明:PD面ABE.解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,因?yàn)锳BC是等邊三角形，所以，。如圖8-362（b），在RtACD中，過點(diǎn)C作CHAD于H，則，所以，則，因?yàn)?，所以PDAB。又因?yàn)?/p>

24、，所以PDAE。ABAE=A，AB，AE平面ABE，所以PD平面ABE。八.證明平面和平面垂直的方法(1)轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量互相垂直(2)轉(zhuǎn)化為證明一平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個(gè)平面.例8.54 如圖8-187所示，在正方體ABCD-中，E，F(xiàn)分別是，CD的中點(diǎn)，求證：平面DEA平面。解析 如圖8-188所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,令,則設(shè)分別為平面DEA與平面的法向量，則又則令，得同理可得。所以。故平面DEA平面變式1 如圖8-189所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABCD，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1.求證：平面PAD平面P

25、CD。分析 由題意可知A為“墻角”，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。解析 以A為坐標(biāo)原地，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖8-363所示，則A（0,0,0），B（0,2,0），C（1，1，0），D（1,0,0），P（0,0,1）。因?yàn)?，故，所以APDC。由題意知ADDC，APAD=A，由此可得DC平面PAD，DC平面PCD，故平面PAD平面PCD。評(píng)注 ，。九求兩異面直線所成角的方法設(shè)兩異面直線a和b的方向向量為和，利用求角余弦公式可求得和的夾角，由于兩向量所成角的范圍是0,而兩異面直線所成角的范圍是。所以。例8.55 如圖8-190所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCD的對(duì)角線上，PDA=60，求DP與

26、CC所成角的大小。分析 從PDA=60入手，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)與其相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積來就是異面直線所成角的余弦值。解析：如圖8-191所示，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A(1,0,0），C(0,1,0），C(0,1,1），。連接，在平面BD中，延長(zhǎng)DP交于，設(shè)由已知得，即可，解得，所以。因?yàn)樗?45，即求DP與CC所成角的大小為45.變式1 已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE與SD所成角的余弦值為（ ） 解析 如圖8-364所示，以底面四邊形ABCD的中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,不妨設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)

27、為2，則A（1，-1,0），S（0,0，），B（1,1,0），E（），D（-1，-1,0），。故，得：，所以AE和SD所成的角的余弦值為。故選C。變式2 如圖8-192所示，等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C-AB-D的余弦值為，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則EM和AN所成角的余弦值等于 。解析 如圖3-365所示，設(shè)O是AB的重大，F(xiàn)是DE的重大，因?yàn)锳BC是等邊三角形，ABCDE是正方形，所以COAB，F(xiàn)OAB，則COF是二面角C-AB-D的平面角，cosCOF=，選取為基向量，并設(shè)AB=2，則，。，。，所以。即EM和AN所成角的余弦值等于。變式3 如圖8-193所

28、示，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是棱形，AB=2，BAD=60，若PAAB，求PB與AC所成角的余弦值。解析 設(shè)ACBD=O，因?yàn)锽AD=60，PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖8-366所示。則P（0，2），A（0，0），B（1,0,0），C（0，0），所以，設(shè)PB與AC所成的角，則。即PB與AC所成的余弦值等于。十求直線與平面所成角的方法（）先作出該角，再利用求角余弦公式來求。（）改求直線的方向向量與平面的法向量所成角的余角，如圖所示，設(shè)直角的方向向量為，平面的法向量為，直線和平面所成角為，則或，因?yàn)榈娜?/p>

29、值范圍是，所以。例.如圖所示，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD，已知ABC，BC，AB，SASB，求直線SD與平面面SAB所成角的正弦值。解析 如圖8-196所示，作,垂足為，連接，由側(cè)面底面，得底面，由，可得。由ABC=45，得ABO為等腰直角三角形，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由得令，則得，設(shè)直線與平面SAB所成角為，則所以直線與平面SAB所成角的正弦值為.變式1 如圖8-197所示，在四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F(xiàn)分別是AB,PB的中點(diǎn)，求DB與平面DEF所成角的正弦值。分析 本題的幾何圖形不易利用幾何法

30、求直線與平面所成的角，故用向量法求解。解析 分別以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖8-367所示，設(shè)AD=a,則D（0,0,0），A（a,0,0）,B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,0),P(0,0,a),F(,),設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z),則，又，得：，取，則設(shè)DB與平面DEF所成的角，則。所以DP與平面DEF所成的角的正弦值為。變式2 如圖8-198所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AD=4,AB =2,以AC的中點(diǎn)O為球心，以AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，求直線CD與平面ACM所

31、成角的正弦值。解析 如圖8-368所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A（0,0,0），P（0,0,4），B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，又PA=AD，則PM=DM，故M（0,2,2）。設(shè)平面ACM的法向量n=(x,y,z)，則，又，得，令，則。又，設(shè)直線CD與平面ACM所成的角為，則。故直線CD與平面ACM所成的角的正弦值為。變式3, 如圖8-199所示，四棱錐S-ABCD中，ABCD，BCCD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.求AB與平面SBC所成角的正弦值解析 如圖8-369所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角

32、坐標(biāo)系C-xyz,則C(0,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),D(1,0,0),設(shè)S(x,y,z)，因?yàn)锳B=BC=2，且SAB為等邊三角形，所以|SA|=|SB|=2,即。 解得。又SD=1，所以。 由得,即。所以設(shè)面BCS的法向量為,則，令則，即設(shè)直線AB與平面SBC所成的角為，則。故直線AB與平面SBC所成角的正弦值為。十一、求平面與平面所成角的方法 在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，（是交線的方向向量），其方向如圖8-200所示，則二面角-的平面角的余弦值為。(2)設(shè)是二面角-的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向二面角內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向二面角的外側(cè)，則二面角-的余弦值為。例8.57 如圖8

33、-201所示，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，PA=AB=2，ABC=60，E,F分別為BC，PC的中點(diǎn)，求二面角E-AF-C的余弦值。解析 因?yàn)锳E，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖8-202所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，所以（,），設(shè)平面AEF的法向量為，則，又得，令，則。因?yàn)锽DAC，BDPA，PAAC=A，所以BD平面PAC，故為平面AFC的法向量。又所以由圖知所求的二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為。變式1 如圖8-203所示，已知四棱錐P-ABCD，PBAD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABC

34、D為棱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角為120，求平面APB與平面CPB所成二面角的余弦值。解析 過點(diǎn)P作PO平面ABCD于點(diǎn)O，連接OB交AD于點(diǎn)E，連接PE，因?yàn)镻BAD，所以PBBC，OBAD，則PEAD，PEB為二面角P-AD-B的平面角，所以PEB=120，則PEO=60。過點(diǎn)O做OFAD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF為x軸，OB為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖8-370所示，因?yàn)镻AD為正三角形，所以AE=ED=1，PE=，因?yàn)锳B=AD=2，所以，則，所以，過A作AGPB于G，因?yàn)锽CPB，所以與的夾角就是二面角A-PB-C的平面角，因?yàn)镻A=AD=AB，所以G

35、為PB的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，。設(shè)面APB與面CPB所成二面角為，則。故平面APB與平面CPB所成角的余弦值為。變式2 如圖8-204所示，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上一點(diǎn)，平面EDC平面SBC，求二面角A-DE-C的大小。解析 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸正半軸，建立如圖8-371所示的直角坐標(biāo)系D-xyz。設(shè)A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)., ,設(shè)平面SBC的法向量為n=（a,b,c）,由，得，故，令則，則。設(shè)，則，。設(shè)平面CDE的法向量，因，故，令，則。由平面DEC平面S

36、BC，得mn，得，即，故SE=2EB，則，設(shè)平面ADE的法向量為，由，得，令，得，由圖觀察知二面角A-DE-C為鈍角，故二面角A-DE-C的大小為120。變式3 如圖8-205所示，直三棱柱中，ACB=90，AC=1，CB=，側(cè)棱=1，側(cè)面的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為D，的中點(diǎn)為M，求平面與平面CDM所成二面角的正弦值。 解析建立如圖8-372所示的空間直角坐標(biāo)系C-，由AC=1，BC=，=1，知C（0，0，0），A（0，0，1），B（，0，0），（0，1，0），（0，1，1），(，1，0),M(，1，0)，D(，)，所以=(,1，0)，(，)設(shè)=(，)為平面CDM的法向量則=0，=0,得,令=,得=

37、(,1,1)設(shè)=(，)為平面BBD的法向量,則=0.=0又=(,),=(0,，0),得令，得，0，2），所以cos=0設(shè)平面CDM與平面BD所成二面角為，則cos=o,所以sin=1,即平面CDM與平面BD所成二面角的正弦值為1.十二.求點(diǎn)到平面距離的方法如圖8-206所示,平面的法向量為,點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)P是平面外的任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到平面的距離d,就等于向量在法向量方向上的投影的絕對(duì)值,即或例8.58 如圖8-207所示,該多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截而得到的,其中AB=4,BC=2,BE=1,求點(diǎn)C到平面的距離.解析 建立如圖8-208所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則.設(shè),因

38、為四邊形為平行四邊形,所以,得(-2,0,z)=(-2,0,2),故z=2，F(xiàn)（0,0,2），設(shè)為平面的法向量，由得，又，得，令，得，又，則點(diǎn)C到平面的距離變式1 如圖8-209所示，在直三棱柱中，ACB=90，AC=BC=a，D，E分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，M為棱上的點(diǎn)，二面角M-DE-A為30，求AM的長(zhǎng)，并求點(diǎn)C到平面MDE的距離。解析一C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-，如圖8-373所示，則A（，0，0），B(0，,0),D(，0)，E（0，0），設(shè)M（，0，），則=(,),=(,0，0),設(shè)平面MDE的法向量為=（），則，得得，令，得=（0，），平面ADE的法向量為（0,0,1），

39、因?yàn)槎娼荕-DE-A為，所以，解得，即MA的長(zhǎng)為，則=（0，），又CE=（0，0），所以點(diǎn)C到平面MDE的距離為變式2 如圖8-210所示，在四棱錐ABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PA=AD=，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)，線段AD上是否存在點(diǎn)Q，到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。解析以O(shè) A（0，-1,0），B(1，-1，0),C(1，0，0) ,D (0，1，0), P (0，0，1), 則=(-1，1，0),=(-1，0，1),假設(shè)存在點(diǎn)Q,其到平面PCD的距離為，設(shè)平面PCD的法向量=()則

40、所以即，令=1，得=（1,1,1），設(shè)Q（0，0）（則=(0，1-,0),又Q到平面PCD距離為，得=，即=，解得=，或=（舍），此時(shí)，,所以存在點(diǎn)Q符合題意，此時(shí)=.評(píng)注以平行，垂直，距離和角的問題為背景的探究性問題是近幾年高考數(shù)學(xué)命題創(chuàng)新的一份顯著特點(diǎn)，由于此類問題涉及到的點(diǎn)具有運(yùn)動(dòng)性和不確定性，所以用傳統(tǒng)的方法解決起來難度較大，若用向量方法處理，則思路簡(jiǎn)單，解法固定，操作方便，最有效訓(xùn)練題36（限時(shí)45分鐘）如圖8-211所示，在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，N為的靠近B的三等分點(diǎn)，若則（ ）A BC. D. 2.ABC的頂點(diǎn)分別為A（1，-1,2），B（5，-6,2），C（1,3

41、，-1），則AC邊上的高BD=（ ） A.5 B. C.4 D.3.已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)=（ ） A B. C. D. 4.已知向量,且與互相垂直,則的值是( ) A.1 B. C. D.5.有4個(gè)命題:若,則與共面;若與共面,則;若,則共面;若共面,則.其中真命題的個(gè)數(shù)是( )A.1 B.2 C.3 D.46.如圖8-212所示,正四棱柱中,=2AB,異面直線與所成角的余弦值為( )A. B. C. D.7.若之間的夾角為鈍角,則的取值范圍為 .8.如圖8-213所示,直三棱柱中,ACB=90,BAC=30,BC=1,M是的中點(diǎn),則異面直線與所成角為 .9.如圖8-214所示,將等腰直

42、角三角形ABC沿其中位線DE將其折成60的二面角A-DE-B,則直線AB與平面BCDE所成的角的正切值是 .10.如圖8-215所示,在30的二面角-的棱上有兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)C,D分別在,內(nèi),且ACAB,BDAB,AC=BD=AB=1,則CD的長(zhǎng)度為 。11.如圖8-216所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)。求證：（1）AM平面BDE；（2）AM平面BDF。12.如圖8-217所示，在直三棱柱中，ACB=90，2AC=BC=2，D為上一點(diǎn)。（1）若D為的中點(diǎn)，求證：平面平面（2）若二面角的大小為60，求AD的長(zhǎng)。最有效訓(xùn)練題361C 解析=，故選C2 A 解析設(shè),D()，則（）=（0,4，），所以=1，=4-1，=2-3，所以=(),=5，故