博弈論基本概念和其在決策中的應(yīng)用

1、博弈論基本概念和其在決策中的應(yīng)用2內(nèi)容概覽6.1 博弈論的基本概念6.2 零和博弈（矩陣博弈）6.3 二人非零和博弈6.4 博弈論在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用3博弈論(Game Theory) ，又稱對(duì)策論，策略運(yùn)籌學(xué)等，是研究競(jìng)爭(zhēng)策略運(yùn)籌的科學(xué)，或者說是研究具有競(jìng)爭(zhēng)、沖突等問題的科學(xué)，其應(yīng)用始終與經(jīng)濟(jì)決策有密切的聯(lián)系，在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中大有用武之地。我國(guó)早在古代時(shí)期的孫子兵法就閃爍著對(duì)策論的思想光輝。田忌與齊王賽馬的故事就是一個(gè)經(jīng)典的博弈故事。41944年，馮諾依曼（VonNeumann）與摩根斯坦（Morgenstern）合著發(fā)表了對(duì)策論與經(jīng)濟(jì)行為一書，開創(chuàng)了對(duì)策論的系統(tǒng)化、公理化的研究。5 博弈在經(jīng)濟(jì)決

2、策中的應(yīng)用到了20世紀(jì)80年代，博弈論已經(jīng)受到世界各國(guó)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)家的重視，并認(rèn)為是經(jīng)濟(jì)理論分析和決策的核心方法，列為西方經(jīng)濟(jì)學(xué)有關(guān)專業(yè)學(xué)生的一門必修課程。在此期間，博弈論的思想、概念和方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)雜志上大量涌現(xiàn)，在世界范圍內(nèi)興起一股學(xué)習(xí)和研究博弈論的熱潮。6特別是在1994年10月份，瑞典皇家科學(xué)院宣布該年度的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予美國(guó)普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)教授約翰納什(J. Nash)、加州大學(xué)教授約翰哈薩尼(J. Harsanyi) 和德國(guó)波恩大學(xué)教授瑞哈德澤爾滕(Reinhard Selten) 三人，以表彰他們把博弈論應(yīng)用到現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)分析所做的貢獻(xiàn)，使得博弈論在世界范圍內(nèi)影響更大。719

3、94年、2001年和 2005年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)都頒發(fā)給了在博弈論方面做出了突出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家，更加顯示了博弈論在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究和應(yīng)用中的地位。發(fā)展至今，博弈論已經(jīng)成功應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、管理、軍事、政治等諸多領(lǐng)域，已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)研究和決策的重要工具。8本章簡(jiǎn)明介紹博弈論的基本概念、基本方法及其在決策中的應(yīng)用博弈現(xiàn)象普遍存在于軍事、政治、經(jīng)濟(jì)、管理、科技等競(jìng)爭(zhēng)活動(dòng)中。雖然，博弈來源于競(jìng)爭(zhēng)，但并非所有競(jìng)爭(zhēng)都構(gòu)成博弈。例如，小孩之間玩投擲一顆篩子的競(jìng)賽，誰(shuí)擲出的點(diǎn)數(shù)多則為獲勝者，這不是博弈，但如果玩石頭、手絹等游戲就構(gòu)成博弈。所以要構(gòu)成一個(gè)博弈問題，必須具備一定條件9 6.1 博弈論的基本概念例1：兒時(shí)的

4、游戲：“石頭、剪子、布”。規(guī)則為每人從中確定一種出法，出法確定后，就決定了一個(gè)“局勢(shì)”，并確定每個(gè)人的輸贏。游戲規(guī)則規(guī)定：獲勝者得1分，輸者得 -1分，出現(xiàn)平手時(shí)各得0分，則可以把各種可能的局勢(shì)和得分情況表示為如下一個(gè)矩陣：甲 乙 石頭 剪子 布石頭剪子布（0，0）（1，-1）（-1，1）（-1，1）（0，0）（1，-1）（1，-1）（-1，1）（0，0）10在這個(gè)例子中，有玩者、策略及其策略集合、以及損益函數(shù)（支付函數(shù)）1.局中人或參與人（player）：兩個(gè)小孩2. 策略(Strategy)和策略集：石頭，剪子，布.支付函數(shù)(Payment): 得到的分?jǐn)?shù)。一般雙方會(huì)形成一個(gè)得益矩陣11而

5、且，在此問題中同一局勢(shì)下，兩個(gè)局中人的得益之和等于0，這樣的博弈模型稱為二人零和博弈。對(duì)于這類特殊的二人零和博弈，其得益矩陣可簡(jiǎn)化為只寫出第一個(gè)局中人（或參與人）的得益即可，在上例中，支付矩陣可簡(jiǎn)化寫為：12例2：囚徒困境問題支付矩陣為此例中兩人得益之和不等于0，稱為二人非零和博弈。囚徒A坦白抵賴 坦白 抵賴囚徒B13例3 ：兩廠商生產(chǎn)產(chǎn)量的博弈問題某地區(qū)有、兩個(gè)廠商生產(chǎn)同一類產(chǎn)品，為了占領(lǐng)市場(chǎng)，各自制定了自己的產(chǎn)銷計(jì)劃，假設(shè)兩個(gè)局中人各有兩種產(chǎn)出水平，記為（A1，A2）和（B1，B2）.如果廠商率先進(jìn)入市場(chǎng)，并選擇一種產(chǎn)出水平，然后廠商再進(jìn)入市場(chǎng)，并選擇相應(yīng)的產(chǎn)出水平，這一市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)過程可用“

6、對(duì)策樹”描述如下：14（3，2）（2，4）（6，3）（4，6）廠商廠商廠商A1A2B2B1B1B2進(jìn)入市場(chǎng)有先后順序時(shí)的決策樹底下的為頂點(diǎn)上面的為終點(diǎn)15在以上例子中，可以看到博弈的所有參與者稱為局中人(player)，當(dāng)然至少有兩個(gè) ；并且利益完全一致的多個(gè)參與者應(yīng)視為一個(gè)局中人。如打橋牌中的相對(duì)而坐的兩個(gè)人算作一個(gè)局中人。每一局中人都有一套可供選擇的方案或辦法對(duì)付對(duì)方，這樣的一套備選方案稱為策略或戰(zhàn)略（strategy）；局中人各自選定某一策略之后就會(huì)形成某種局勢(shì)（situation），其中兩個(gè)局中人各有所得，稱為支付或得益(payment)或支付函數(shù)（payoff function），它

7、依賴于局勢(shì) 。若列出的是矩陣形式則稱為支付矩陣 。16博弈模型的三個(gè)要素局中人（參與人，player）策略（戰(zhàn)略, strategy）支付函數(shù)（得益, 贏得， payment）17所以，構(gòu)成博弈有三個(gè)要素：1.局中人或參與人（player）：有權(quán)決定選擇何種策略的參加者。根據(jù)局中人的多少，分為兩人對(duì)策和多人對(duì)策2. 策略(Strategy)和策略集：在每局對(duì)策中，參加對(duì)策的局中人都有可供實(shí)際選擇的完整的行動(dòng)方案，成為策略集合。其中，一種方案成為一個(gè)策略。如，石頭，剪子，布就是一個(gè)策略集。根據(jù)策略集中元素個(gè)數(shù)多少，可分為有限對(duì)策與無限對(duì)策.支付函數(shù)(Payment): 又稱為贏得函數(shù)，是指每一局

8、對(duì)策結(jié)束之后，對(duì)其中一個(gè)局中人來說，其得到的成果（也許是物質(zhì)或現(xiàn)金之類的收入或支出），統(tǒng)稱為得益。常常以某一函數(shù)統(tǒng)一表示。18博弈模型的表示一般形式：G=I，S，P其中，I表示居中人的集合；S為策略集合；P表示支付函數(shù)。若某個(gè)策略S*=（S1*，S2*，Sn*）S，使得滿足某種均衡性質(zhì)和條件，則稱該策略S*為S的均衡點(diǎn)（或均衡解），對(duì)應(yīng)的支付為均衡支付P(S*)19博弈論的分類策略型博弈（Strategic form）: 用支付矩陣表示。如例1，例2。擴(kuò)展型博弈 ( Extensive form）：用對(duì)策樹表示。如例3。上述兩種博弈中，若各局中人之間不能協(xié)商或訂立有約束力的協(xié)議，稱為非合作博弈

9、。否則，若局中人之間存在有約束力的協(xié)議，稱為合作博弈。20其中，重點(diǎn)介紹兩人零和博弈，又稱矩陣博弈。意思是滿足兩條件局中人有兩人：可以是公司、個(gè)人或團(tuán)體，也可以是大自然等虛擬的局中人零和：，在每一局勢(shì)下，兩人的支付之和為0216.2 兩人零和博弈（矩陣博弈）對(duì)于這種特殊博弈問題的支付矩陣，可用普通矩陣（即只寫出第一局中人的得益，省略第二局中人的得益）表示。假設(shè)，各局中人的策略和支付是“共同知識(shí)（common knowledge ）”，即每一局中人不但知道自己的策略集合和支付，而且也知道對(duì)方的策略集與支付，還知道對(duì)方知道我知道這些。現(xiàn)在的問題是，局中人要獨(dú)立的選擇自己的策略，并且在不知對(duì)方到底要

10、選取哪個(gè)策略的條件下，要使得自己得到最大的得益（或贏得）。22先介紹一般概念和符號(hào)表示：假設(shè)兩個(gè)局中人為、，局中人有m 個(gè)純策略1，2，,m.局中人有n個(gè)純策略1,2, n記為并稱之為純策略集合。并記支付矩陣為A=aij，那么，矩陣博弈可簡(jiǎn)記為它表示出了一個(gè)博弈的三個(gè)要素。23例4: 設(shè)某個(gè)矩陣博弈為G=S1，S2，A其中策略集分別為S1=1，2，3.S2=1,2,3，支付矩陣為由于局中人都是理性人，每一局中人必然會(huì)考慮到對(duì)方會(huì)設(shè)法使自己獲益最少，同時(shí)自己又力求在各種可能情況下謀求自己的最大利益。1，2，3， 1，2，324因此，局中人應(yīng)該在最不利的情況下尋找最大贏得,即應(yīng)在 而局中人也應(yīng)在最

11、不利的情況下尋找最大贏得,即應(yīng)在即，二人都遵循“小中取大”原則來選取策略，即在最不利的各種可能之中尋找最有利的策略。25由于可知，局中人應(yīng)選擇2，局中人應(yīng)選擇3，這時(shí)局勢(shì)（2，3）是最穩(wěn)定的，稱該局勢(shì)為該對(duì)策的均衡解。 策略2和3分別稱為局中人和的最優(yōu)純策略；并稱該對(duì)策G的值為2。注意到這里的元素a23滿足不等式有下面的定義1，2，3， 1，2，326定義1：對(duì)于矩陣博弈G=（S1，S2，A）如果有某個(gè)局勢(shì)滿足則稱局勢(shì)為對(duì)策G的解，此時(shí)，i* 和j* 分別為二局中人的最優(yōu)純策略，稱 為對(duì)策G的值。27TH1：矩陣博弈G=（S1，S2，A）在純策略意義下有解的充分必要條件是即每行中的最小值當(dāng)中的

12、最大者恰好等于每列中的最大值當(dāng)中的最小者此類對(duì)策也稱為有鞍點(diǎn)的博弈均衡解，或者是稱純策略意義下有解28但有些矩陣博弈在純策略意義下無解例如，小孩們玩的“石頭、剪子、布”游戲這個(gè)博弈就沒有純策略意義下的解。但我們還是可以憑直覺設(shè)想得出答案，該博弈中的每個(gè)局中人應(yīng)該以1/3的等可能性隨機(jī)地選取各種策略，才是最優(yōu)的。于是，在沒有純策略意義下的最優(yōu)解的情況下，就產(chǎn)生了混合策略的概念。29混合策略的概念定義：設(shè)分別是定義在純策略集S1和S2上的概率分布（即每個(gè)分量上的數(shù)值是概率的含義，且分量數(shù)值之和為1），則稱它們分別是局中人、的混合策略，（x，y）稱為混合局勢(shì)。這樣，以前的純策略可以看作是混合策略的特

13、殊情況。實(shí)際上，當(dāng)局中人選取純策略i時(shí)，可以看作他選取了混合策略所以，用混合策略的概念更具有一般性。30在混合策略意義下，得益就成為期望得益的概念在局勢(shì)（x, y）下，局中人得到的期望（平均值的含義）支付為而局中人的期望支付為 E（x,y）31定義2 ：設(shè)矩陣對(duì)策為G=（S1，S2，A）X，Y分別為兩局中人的混合策略集。對(duì)于xX, yY, E(x,y)是局中人的期望支付，則稱G*=X，Y，E為G的混合擴(kuò)充。如果存在x*X, y*Y,使得對(duì)一切xX, yY都成立，則稱（x*,y*）為混合擴(kuò)充中的解，并稱x*,y*分別為兩局中人的最優(yōu)策略。E（ x*,y* ）稱為對(duì)策G在混合擴(kuò)充下的值32TH2：

14、矩陣對(duì)策G=（S1，S2，A）在混合擴(kuò)充意義下，對(duì)策G有解的充分必要條件是33例5 ：公司投資決策問題某公司計(jì)劃將30萬(wàn)元投資到三個(gè)不同行業(yè)A1，A2 和 A3中，估計(jì)一年后所得的利潤(rùn)將隨著經(jīng)濟(jì)形勢(shì)的狀況而定。對(duì)于不同的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，這筆投資可能獲得的利潤(rùn)預(yù)測(cè)為下表所示。利潤(rùn)預(yù)測(cè)值 行業(yè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)（抽象的社會(huì)管理者） 蕭條 一般 良好投資行業(yè)（公司可控）A1A2A3 2 0 20 3 11 2 134試問：該公司應(yīng)如何決定其投資方案？解答：我們將三個(gè)行業(yè)A1、A2、A3視為投資者的三個(gè)備選策略，將經(jīng)濟(jì)形勢(shì)的不同狀態(tài)視為另一局中人（是抽象的社會(huì)管理者）的備選策略。從而將該問題看作是一個(gè)矩陣博弈問題。兩

15、個(gè)局中人投資者依據(jù)“小中取大”原則，得到由于二者不等，所以在純策略意義下無解。35為了求出在混合擴(kuò)充意義下的最優(yōu)解需要求解下列線性規(guī)劃問題：36采用軟件（算法是單純形法）求解，得到該對(duì)策的解為對(duì)策的值為v*=3/4萬(wàn)元。這表明，在不能確定明年的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)條件下，該公司的最優(yōu)策略這可解釋為，向A1行業(yè) 投資301/3=10萬(wàn)元，向A3行業(yè)投資302/3=20萬(wàn)元，而不投資A2行業(yè)，一年后預(yù)期可至少獲得利潤(rùn)萬(wàn)元。376.3 二人非零和博弈在兩人博弈中，每個(gè)局中人博弈的結(jié)果是雙方的得益之和不為0，也不等于某一個(gè)常數(shù)，而是每一結(jié)果用一個(gè)數(shù)對(duì)表示，如（1，3）本小節(jié)對(duì)此作一介紹，其應(yīng)用很廣泛。38一、囚徒

16、困境模型支付矩陣為此例中兩人得益之和不等于0，稱為二人非零和博弈。囚徒A坦白抵賴 坦白 抵賴囚徒B39一、囚徒困境模型最后雙方博弈的結(jié)果是，雙方均選擇“坦白”這一策略，由于任何人都沒有單獨(dú)改變自己策略的動(dòng)機(jī)，它稱為博弈的均衡解為 “坦白”，“坦白”40二、寡頭削價(jià)競(jìng)爭(zhēng)囚徒困境模型在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中的應(yīng)用是雙寡頭的削價(jià)競(jìng)爭(zhēng)。雖然降價(jià)促銷手段十分普遍，但這不一定都是成功的策略，有時(shí)候仍存在較大的風(fēng)險(xiǎn)。例6 ：假設(shè)某地區(qū)有甲、乙兩家大型超市，經(jīng)營(yíng)相同品種的商品。并假定在無其他競(jìng)爭(zhēng)者的條件下，這兩家公司均可使用“降價(jià)”或“維持原價(jià)”這兩種銷售策略。41其盈利情況是：（1）當(dāng)雙方均維持原價(jià)是，每方的利潤(rùn)時(shí)10

17、萬(wàn)元；（2）如果甲方降價(jià)，乙方維持原價(jià)，則甲方銷售量迅速上升，利潤(rùn)升至15萬(wàn)元，而乙方銷量下降，利潤(rùn)下降至3萬(wàn)元；（3）反之，如果乙方降價(jià)，甲方維持原價(jià)，則乙方銷售量迅速上升，利潤(rùn)升至15萬(wàn)元，而甲方銷量下降，利潤(rùn)下降至3萬(wàn)元；（4）如果雙方都降價(jià)，則雙方利潤(rùn)均為7萬(wàn)元。42由上述得到甲、乙兩方的得益狀況如下表所示甲、乙利潤(rùn) 乙公司 維持原價(jià) 降價(jià)甲公司維持原價(jià) 10，10 3，15降價(jià) 15， 3 7，743 甲、乙兩方的贏得矩陣為顯然，最后雙方都選擇“降價(jià)”策略，這是博弈的均衡解。因?yàn)殡p方是競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，都無法相信對(duì)方，都有防備對(duì)方利用自己的信任去搶占市場(chǎng)，牟取收益。這就是競(jìng)爭(zhēng)有助于形成（較低

18、的）公平價(jià)格的市場(chǎng)機(jī)制。這也是為什么政府鼓勵(lì)競(jìng)爭(zhēng)，反對(duì)壟斷的原因。但是這對(duì)雙方來講并不是最好的策略。維持原價(jià) 降價(jià) 維持原價(jià)降價(jià)446.4 博弈論在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用主要介紹三個(gè)方面的應(yīng)用一、產(chǎn)品決策二、價(jià)格決策三、降價(jià)競(jìng)爭(zhēng)決策45一、產(chǎn)品決策問題（二人定值博弈）例7：某地區(qū)彩電的總需求量為10000臺(tái)，有A、B兩家企業(yè)在該地進(jìn)行銷售競(jìng)爭(zhēng)，A企業(yè)設(shè)計(jì)了三種不同質(zhì)地的電視，分別以1，2，3記之，B企業(yè)設(shè)計(jì)了四種不同質(zhì)地的電視，分別以1，2，3，4記之。A企業(yè)對(duì)市場(chǎng)需求與銷售量作了市場(chǎng)調(diào)查和市場(chǎng)預(yù)測(cè)，結(jié)果如下表所示：46該問題屬于兩人定值博弈，即兩企業(yè)銷量之和為10000臺(tái)，故只需要給出A企業(yè)銷量即

19、可雙方的利益是完全沖突的：因?yàn)橐粋€(gè)企業(yè)利潤(rùn)多了，另一個(gè)企業(yè)利潤(rùn)就少了，因而是一種不合作的博弈，這類博弈存在著一種局勢(shì)，使其相應(yīng)的策略對(duì)雙方來說都是最優(yōu)的，即存在純策略均衡解。 A企業(yè)的銷售量 企 業(yè) B1，2，3，4企業(yè)A1，2，37000 2500 5000 80002800 4000 5500 60007500 7200 6000 680047求均衡解的方法使用曾介紹的方法首先，求出每行的最小值，他們分別是2500，2800，6000。然后，再求出其中的最大值，即 Max(2500,2800,6000)=6000臺(tái)，該方法簡(jiǎn)稱“小中取大”原則。這表明對(duì)企業(yè)A來說，從最不利的局勢(shì)下尋求最好的

20、結(jié)果。48接下來，求企業(yè)B的策略首先，求出每列的最大值，他們分別是7500，7200，6000，8000。然后，再求出其中的最小值，即 Min(7500, 7200, 6000，8000)=6000臺(tái)，該方法簡(jiǎn)稱“大中取小”原則。這表明對(duì)企業(yè)B來說，從最有利的局勢(shì)下尋求最壞的結(jié)果（因?yàn)槎呃嫱耆珱_突的。想一想，這與零和博弈的純策略均衡解的條件是一致的）。由于兩者都是6000，滿足有純策略解的充要條件，即該點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)，鞍點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的策略(3,3)，即為最優(yōu)策略。你能說明具體的選擇策略嗎？此時(shí)，企業(yè)A的銷售量為6000臺(tái)，企業(yè)B的銷售量為10000-60000=40000臺(tái)。如果企業(yè)B不生產(chǎn)質(zhì)地為

21、3的電視，而改變?yōu)槠渌呗裕瑒t市場(chǎng)分額將比4000臺(tái)要少。由此可見，3的確是企業(yè)B的 最優(yōu)策略，49二、價(jià)格決策問題（二人非零和博弈）由于市場(chǎng)需求量是有限的，因此在價(jià)格水平下銷售出去的產(chǎn)品數(shù)量也是有限的。如果投放市場(chǎng)的產(chǎn)品數(shù)量超過了容量，只能依靠降價(jià)才能銷售完。例8：假定面包企業(yè)每天面臨的市場(chǎng)容量為2000個(gè)，甲、乙兩面包商的生產(chǎn)成本、品種、價(jià)格、服務(wù)等均相同，因此幾乎二者平分市場(chǎng)份額和利潤(rùn)，不論哪一方要想擴(kuò)大市場(chǎng)分額，只有降價(jià)銷售才能實(shí)現(xiàn)。50假設(shè)兩家企業(yè)均有獨(dú)立的定價(jià)權(quán)面包價(jià)格為1元/個(gè)，最高不超過元。因此兩家面包企業(yè)的價(jià)格選擇只能在1元之間。已知兩面包商的盈利情況如下表所示： 雙方盈利

22、面包企 業(yè)乙 1元/個(gè) 1.3元/個(gè)面包企業(yè)甲1元/個(gè)1.3元/個(gè)0，0 1700，300300，1700 1200，120051面包商為了取得良好利潤(rùn)，根據(jù)市場(chǎng)行情，靈活掌握銷售價(jià)格（即采用混合策略）：面包商甲：以概率p的機(jī)會(huì)賣價(jià)1元/個(gè)，又以概率1-p的機(jī)會(huì)賣價(jià)元/個(gè)。面包商乙：同樣策略這種競(jìng)爭(zhēng)雙方的產(chǎn)品相同，價(jià)格策略也相同，自然導(dǎo)致雙方有相同的期望利潤(rùn)：0p+1700(1-p)=300p+1200 (1-p)解此方程，得到：p=5/8, 1-p=3/852這說明，甲乙兩家企業(yè)的最優(yōu)策略是：以概率5/8的機(jī)會(huì)賣價(jià)1元/個(gè)，又以概率3/8的機(jī)會(huì)賣價(jià)元/個(gè)。這是一種混合策略。并進(jìn)一步可計(jì)算各家的每天期望利潤(rùn)為：53三、降價(jià)競(jìng)爭(zhēng)問題（合作博弈）關(guān)于降價(jià)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)雙方來說，由于所處環(huán)境不同，很可能有不同的結(jié)果。例9