2022高考總復習 數學(人教A理一輪)2.4　冪函數與二次函數

1、高考總復習優(yōu)化設計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI2.4冪函數與二次函數第二章2022內容索引0102必備知識 預案自診關鍵能力 學案突破03案例探究3 二次函數的零點分布問題必備知識 預案自診【知識梳理】 1.冪函數(1)冪函數的定義:形如(R)的函數稱為冪函數,其中x是,是.(2)五種冪函數的圖象y=x 自變量 常數(3)五種冪函數的性質 冪函數y=xy=x2y=x3y=x-1定義域 值域 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性 定點(1,1),(0,0)(1,1)RRR0,+)x|xR,且x0R0,+)R0,+)y|yR,且y0增x0,+)時,增,x(-,0)時,

2、減增增x(0,+)時,減,x(-,0)時,減2.二次函數(1)二次函數的三種形式一般式:;頂點式:,其中為頂點坐標;零點式:,其中為二次函數的零點.f(x)=ax2+bx+c(a0) f(x)=a(x-h)2+k(a0) (h,k) f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0) x1,x2 (2)二次函數的圖象和性質 常用結論1.冪函數y=x的圖象在第一象限的兩個重要結論:(1)恒過點(1,1);(2)當x(0,1)時,越大,函數值越小;當x(1,+)時,越大,函數值越大.2.研究二次函數y=ax2+bx+c(a0)在區(qū)間m,n(m0時,若|x1-m|x2-m|,則f(x1)f(x2);當a|

3、x2-m|,則f(x1)f(x2).常用結論4.一元二次方程f(x)=x2+px+q=0的實根分布:(1)方程f(x)=0在區(qū)間(m,+)內有根的充要條件為f(m)bcB.abcC.bcaD.ac0,否則0;若0,再觀察第一象限的圖象是上凸還是下凸,上凸時01;最后由x1時,在第一象限內的值按逆時針方向依次增大得出結論.對點訓練2(1)下面給出4個冪函數的圖象,則圖象與函數的大致對應的是()(2)(2020河北定州模擬,理4)已知點(a, )在冪函數f(x)=(a-1)xb的圖象上,則函數f(x)是()A.奇函數B.偶函數C.定義域內的減函數D.定義域內的增函數答案 (1)B(2)A 考點3冪

4、函數的性質及應用解題心得1.冪函數的主要性質(1)當0時,冪函數的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+)上單調遞增;(2)當0時,冪函數的圖象都過點(1,1),且在(0,+)上單調遞減.2.比較兩個冪的大小,如果指數相同而底數不同,此時利用冪函數的單調性來比較大小;如果底數相同而指數不同,此時利用指數函數的單調性來比較大小;如果兩個冪指數、底數全不同,此時需要引入中間變量,常用的中間變量有0,1或由一個冪的底數和另一個冪的指數組成的冪.答案 (1)(3,5)(2)A 考點4求二次函數的解析式【例4】 已知二次函數f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,試

5、確定此二次函數的解析式.(方法2)(利用頂點式)設f(x)=a(x-m)2+n(a0).(方法3)(利用兩根式)由已知f(x)+1=0的兩根為x1=2,x2=-1,故可設f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.解得a=-4或a=0(舍去).所求函數的解析式為f(x)=-4x2+4x+7.解題心得確定二次函數解析式,一般用待定系數法,選擇規(guī)律如下: 變式發(fā)散1將本例中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”改為“與x軸的兩個交點坐標為(0,0)和(-2,0)”,其他條件不變,試確定f(x)的解析式.解 設f(x)=ax(x+2).因為函數f(x)的最大值為

6、8,所以a0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,所以a=-8,所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x.變式發(fā)散2將本例中條件變?yōu)?二次函數f(x)的圖象經過點(4,3),在x軸上截得的線段長為2,且xR,都有f(2+x)=f(2-x),試確定f(x)的解析式.解 因為f(2-x)=f(2+x)對xR恒成立,所以f(x)的對稱軸為直線x=2.又f(x)的圖象在x軸上截得的線段長為2,所以f(x)=0的兩根為1和3.設f(x)的解析式為f(x)=a(x-1)(x-3)(a0).又f(x)的圖象過點(4,3),所以3a=3,所以a=1.所以f(x)的解析式為f(x)=(x-1)(x-

7、3),即f(x)=x2-4x+3.考點5二次函數的圖象與性質(多考向探究)考向1二次函數的單調性及應用【例5】 (1)已知函數f(x)=-x2+2ax+3在區(qū)間(-,4)上單調遞增,則實數a的取值范圍是.(2)已知函數f(x)=ax2+(a-3)x+1在區(qū)間-1,+)上是單調遞減的,則實數a的取值范圍是()A.-3,0)B.(-,-3C.-2,0D.-3,0答案(1)4,+)(2)D解析 (1)f(x)=-x2+2ax+3對稱軸方程為x=a,f(x)在區(qū)間(-,4)上單調遞增,所以a4.故a的取值范圍為4,+).(2)當a=0時,f(x)=-3x+1在-1,+)上單調遞減,滿足題意.解得-3a

8、f(cx)D.與x有關,不確定答案 (1)D(2)A (2)由題意知,函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱,b=2.又f(0)=3,c=3,則bx=2x,cx=3x.易知f(x)在區(qū)間(-,1)上單調遞減,在區(qū)間1,+)上單調遞增.若x0,則3x2x1,f(3x)f(2x);若x0,則3x2xf(2x).f(3x)f(2x),即f(bx)f(cx).故選A.考向2二次函數的最值問題【例6】 (1)已知函數f(x)=(x+2 013)(x+2 015)(x+2 017)(x+2 019),xR,則函數f(x)的最小值是.(2)若函數f(x)=ax2+2ax+1在1,2上有最大值4,則a的值為.解

9、析 (1)令x+2 016=t,則f(t-2 016)=(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=t4-10t2+9=(t2-5)2-16,當t2=5時,有最小值-16,故f(x)的最小值是-16.(2)對函數f(x)=a(x+1)2+1-a,當a=0時,f(x)在區(qū)間1,2上的值為常數1,不符合題意,舍去;當a0時,f(x)在區(qū)間1,2上單調遞增,最大值為f(2)=8a+1=4,解得a= ;當a0時,f(x)在區(qū)間1,2上單調遞減,最大值為f(1)=3a+1=4,解得a=1,不符合題意.綜上可知,a的值為 .解題心得二次函數在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動,

10、不論哪種類型,解決的關鍵是考慮對稱軸與區(qū)間的關系,當含有參數時,要依據對稱軸與區(qū)間的關系進行分類討論,當確定了對稱軸和區(qū)間的關系,就明確了函數的單調性,從而確定函數的最值.答案 (1)D(2)1解析 (1)設x0.有f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2.又f(-x)=f(x),當x0時,f(x)=(x+1)2,依題意,nf(x)m恒成立,則n0,m1,即m-n1,故m-n的最小值為1.(2)因為函數f(x)=x2-ax-a的圖象為開口向上的拋物線,所以函數的最大值在區(qū)間的端點取得.考向3與二次函數有關的恒成立問題【例7】 設函數f(x)=mx2-mx-1,若對于x1,3,f(x)0恒成立,

11、則實數a的取值范圍是.考向4二次函數中的雙變量問題【例8】 已知函數f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),對任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),則實數a的取值范圍是.解析對任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0)在-1,2上g(x)的值域f(x)的值域,g(x)=ax+2(a0)在-1,2上的值域為2-a,2+2a,因為f(x)=x2-2x在-1,2的最小值為f(1)=-1,最大值為f(-1)=3,即f(x)在-1,2的值域為-1,3.解題心得已知函數f(x),g(x),若對任意的x1a,b都存在x0c,d,使得g(x1)=f(

12、x0)等價于g(x1)在a,b上的值域是f(x0)在c,d上的值域的子集.對點訓練8(2020河北唐山模擬)已知函數f(x)=-x2+ax-6,g(x)=x+4,若對任意x1(0,+),存在x2(-,-1,使f(x1)g(x2),則實數a的最大值為()A.6B.4C.3D.2答案 A考點6二次函數、方程、不等式的關系(多考向探究)考向1一元二次方程與一元二次不等式【例9】 關于x的不等式x2+px-20(a0),f(x)0的x的范圍即為一元二次不等式ax2+bx+c0的解集;一元二次不等式ax2+bx+c0的解集的端點值即為一元二次方程ax2+bx+c=0的根.對點訓練9(1)已知不等式ax2

13、+bx+20的解集為x|-1x2,則不等式2x2+bx+a0的解集為()C.x|-2x1 D.x|x1(2)若關于x的不等式x2-ax+10的解集中只有一個整數,且該整數為1,則a的取值范圍為()(3)不等式(a2-4)x2+(a+2)x-10的解集是空集,則實數a的取值范圍為() 答案 (1)A(2)A(3)B 要點歸納小結1.冪函數y=x(R)的圖象的特征:當0時,圖象過原點和點(1,1),在第一象限內從左到右圖象逐漸上升;當0時,圖象過點(1,1),但不過原點,在第一象限內從左到右圖象逐漸下降.2.求二次函數的解析式時,應根據題目給出的條件,選擇恰當的表示形式.3.“恒成立”與“存在性”

14、問題的求解是“互補”關系,即 要點歸納小結案例探究3 二次函數的零點分布問題【例1】 關于x的方程x2+(m-3)x+m=0滿足下列條件,求m的取值范圍.(1)有兩個正根;(2)有兩個負根;(3)有一正一負根.思考對于(1)(2)(3),都是判斷兩根的符號,那么如何利用韋達定理給出判斷?【例2】 關于x的方程x2+(m-3)x+m=0滿足下列條件,求m的取值范圍.(1)一個根大于1,一個根小于1;(2)一個根在(-2,0)內,另一個根在(0,4)內;(3)一個根小于2,一個根大于4;(4)兩個根都在(0,2)內.思考對于此題,韋達定理適合嗎?還有哪些方法可以解決此問題呢?能否利用數形結合的思想列出符合題意的不等式?解令f