結(jié)構(gòu)力學(xué)課件：12彎矩分配法

1、第六章 超靜定結(jié)構(gòu)的解法位移法6-1 基本概念6-2 位移法舉例6-3 計算無側(cè)移結(jié)構(gòu)的彎矩分配法6-4 計算有側(cè)移結(jié)構(gòu)的反彎點法第六章6.3 彎矩分配法 彎矩分配法是基于位移法的逐步逼近精確解的近似方法。 從數(shù)學(xué)上說，是一種異步迭代法。 單獨使用時只能用于無側(cè)移（線位移）的結(jié)構(gòu)。 以圖示具體例子加以說明 按位移法求解時，可得下頁所示結(jié)果由此可得到什么結(jié)論呢？6.3 彎矩分配法 結(jié)點力偶可按如下系數(shù)分配、傳遞到桿端即那么如果外荷載不是結(jié)點力偶，情況又如何呢？6.3 彎矩分配法疊加得最終桿端彎矩為為進(jìn)一步推廣，先引進(jìn)一些基本名詞的定義。 位移法求解如圖所示，相當(dāng)?shù)腃點集中力偶M為6.3 彎矩分配

2、法基本名詞定義 轉(zhuǎn)動剛度：AB桿僅當(dāng)A端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)動時，A端所施加的桿端彎矩，稱為AB桿A端的轉(zhuǎn)動剛度，記作SAB。 A端一般稱為近端（本端）， B端一般稱為遠(yuǎn)端（它端）。 對等直桿，由形常數(shù)可知SAB只與B端的支撐條件有關(guān)。 三種基本單跨梁的轉(zhuǎn)動剛度分別為 不平衡力矩：結(jié)構(gòu)無結(jié)點轉(zhuǎn)角位移時，交匯于A結(jié)點各桿固端彎矩的代數(shù)和，稱為A結(jié)點的不平衡力矩。顯然， A結(jié)點各桿的分配系數(shù)總和恒等于1。 分配系數(shù)：分母為結(jié)構(gòu)交匯于A結(jié)點各桿的轉(zhuǎn)動剛度總和,分子某桿該端的轉(zhuǎn)動剛度，稱為該桿A結(jié)點的分配系數(shù)。 它可由位移法三類桿件的載常數(shù)求得。 例如交匯于A結(jié)點的n桿中第i桿A結(jié)點的分配系數(shù)為 分配力矩：將A

3、結(jié)點的不平衡力矩改變符號，乘以交匯于該點各桿的分配系數(shù)，所得到的桿端彎矩稱為該點各桿的分配力矩（分配彎矩）。顯然，傳遞系數(shù)也僅與遠(yuǎn)端約束有關(guān)。 傳遞系數(shù)：三類位移法基本桿件AB，當(dāng)僅其一端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移時，遠(yuǎn)端的桿端彎矩和近端的桿端彎矩的比值，稱為該桿的傳遞系數(shù)，記作CAB 。 例如對位移法三類等直桿 傳遞力矩：將A結(jié)點的分配力矩乘以傳遞系數(shù)，所得到的桿端彎矩稱為該點遠(yuǎn)端的傳遞力矩（傳遞彎矩）。 對于僅一個轉(zhuǎn)動位移的結(jié)構(gòu)，應(yīng)用上述名詞，本質(zhì)是位移法的求解也可看成是先固定結(jié)點，由固端彎矩獲得結(jié)點不平衡力矩； 最終桿端彎矩：桿端固端彎矩、全部分配彎矩和傳遞彎矩的代數(shù)和即為該桿端的最終桿端彎矩。 這種

4、直接求桿端彎矩，區(qū)段疊加作M圖的方法即為彎矩分配法。 然后用分配系數(shù)求桿端分配彎矩； 接著用傳遞系數(shù)求傳遞彎矩； 最后計算桿端最終桿端彎矩。 單結(jié)點分配設(shè)有如圖所示單結(jié)點(位移)結(jié)構(gòu)。首先鎖定結(jié)點使無位移。由載常數(shù)可獲得AC、CB桿的固端彎矩，此時附加剛臂上產(chǎn)生不平衡力矩 。放松結(jié)點(反向加不平衡力矩)使產(chǎn)生實際結(jié)點位移，此時可分配和傳遞計算分配和傳遞彎矩。6.3 彎矩分配法 因此桿端最終彎矩由固端彎矩和分配彎矩（或傳遞彎矩）相加得到，這時結(jié)果是精確解。鎖定結(jié)果和放松結(jié)果疊加，結(jié)點達(dá)到平衡、產(chǎn)生實際結(jié)點位移，這就是位移法的結(jié)果。6.3 彎矩分配法6.3 彎矩分配法固定狀態(tài):放松狀態(tài):最終桿端彎

5、矩:CAB=1/2CBC=0固定狀態(tài):放松狀態(tài):最終桿端彎矩:分配傳遞M例1.計算圖示梁,作彎矩圖分配傳遞解:M例2.計算圖示剛架,作彎矩圖解:分配傳遞結(jié)點桿端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/8-1/41/41/8練習(xí)求不平衡力矩作圖示梁的彎矩圖(利用傳遞系數(shù)的概念)40kN.m20kN.m練習(xí):作彎矩圖解:10050分配傳遞作業(yè):6-166-17二.多結(jié)點力矩分配對多結(jié)點(位移)結(jié)構(gòu)，彎矩分配法的思路是：首先將全部結(jié)點鎖定，然后從不平衡力矩最大的一結(jié)點開始，在鎖定其他結(jié)點條件下放松該結(jié)點使其達(dá)到“平衡”(包括分配和傳遞)。 接著重新鎖定該結(jié)點，放松不平衡力矩次大的結(jié)點，如此一

6、輪一輪逐點放松，直至不平衡力矩小到可忽略。二.多結(jié)點力矩分配分配和傳遞可從任意一點開始，前述從不平衡力矩最大點開始，經(jīng)驗證明這樣可加速收斂。由彎矩分配法思路可知，對多結(jié)點問題它是一種逐漸逼近精確解的近似方法。實際應(yīng)用時，一般只進(jìn)行二、三輪的分配和傳遞(考試只進(jìn)行二輪即可)。因為分配系數(shù)小于1，傳遞系數(shù)也小于1(因為定向支座處不分配)，因此一輪分配、傳遞后，新的不平衡力矩一定比原來的小，理論上經(jīng)過無限次分配、傳遞結(jié)構(gòu)一定達(dá)到平衡，也即可以獲得問題的精確解。-57.1固定狀態(tài):二.多結(jié)點力矩分配-28.6-42.921.4-9.2-12.2-6.16.16.13.52.61.81.8 . 放松結(jié)點

7、2(結(jié)點1固定):放松結(jié)點1(結(jié)點2固定):-57.1-28.6-42.928.621.4-9.2-12.2-6.16.16.13.52.61.81.8 . 分配傳遞0.5710.4290.5710.4290150-10010000-57.1-42.90-28.6-12.2-9.20-6.13.52.601.8-0.8-1.00140-14040.3-40.3014040.3M例：試求作圖示連續(xù)梁的M圖。EI等于常數(shù)，l1=6 m, l2=5 m，P=1000kN。（只計算二輪）172119226565953279-2500-15001500-2500-938 -5621765 735883-

8、735-281-469-301 -301-151-15194 5747291074454-42 -42-44-1922656-656-5955941721-1721-3279例：試作M圖。1）計算分配系數(shù) 解：設(shè)EI=6 結(jié)點C：結(jié)點D：例：試作M圖。1）計算分配系數(shù) 解：設(shè)EI=6 結(jié)點C：結(jié)點D：2）計算固端彎矩3）力矩分配2）計算固端彎矩3）力矩分配例：試作M圖。1）計算分配系數(shù) 解：設(shè)EI=6 結(jié)點C：結(jié)點D：2）計算固端彎矩3）力矩分配例：試作M圖。1）計算分配系數(shù) 解：設(shè)EI=6 結(jié)點C：結(jié)點D：作業(yè):6-216-226-23三、分層法 計算剛架在豎向荷載作用下的彎矩剛架在豎向荷載

9、作用下，計算結(jié)果有以下兩個特點：1）結(jié)點的位移主要是轉(zhuǎn)角，側(cè)移很??；2）作用在某根梁上的荷載主要對本層及上下柱子有影響，對其它層桿件的影響很小。1）在豎向荷載作用下，忽略剛架的側(cè)移；2）作用在梁上的荷載只對本層梁及上下層的柱子有影響。為了簡化計算，由此作如下假設(shè)：根據(jù)以上假設(shè)，計算可作如下簡化：1）計算方法：由于剛架的側(cè)移被忽略，因此可以用彎 矩分配法計算。2）計算簡圖：由于荷載只對本層梁及上下柱有影響， 因此計算簡圖只需取相關(guān)部分即可。例：取三、分層法例：+q+q取三、分層法2）計算分配系數(shù)時，一層以上柱子的線剛度要乘折 減系數(shù)0.9，傳遞系數(shù)取1/3。一層柱子的線剛度 不需折減，傳遞系數(shù)取1/2。1）按上述4個計算簡圖，分別用力矩分配法進(jìn)行計算3）對4個計算結(jié)果進(jìn)行疊加，主要是一層以上柱其 內(nèi)力應(yīng)