第三章線性方程組第二、三節(jié)維向量_第1頁
第三章線性方程組第二、三節(jié)維向量_第2頁
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1、1第二節(jié)向量及其線性運算2一、向量的概念定義行向量列向量或3 向量可視為特殊的矩陣, 因此, 向量的相等、加減法、分量全部為零的向量稱為零向量，記為 。數(shù)乘等概念完全與矩陣相同.則4向量的線性運算滿足以下八條運算律： (1) a+b=b+a (2) a+(b+g)=(a+b)+g(3) a+=a (4) a+(-a)= (5) (k+l)a=ka+la (6) k(a+b)=ka+kb(7) (kl)a=k(la)(8) 1a=a其中a, b, g 都是n維向量, k, l 為實數(shù).5除了上述八條運算規(guī)則，顯然還有以下性質：例1解其中移項規(guī)則6練習：P141 習題三7第三節(jié)向量間的線性關系8一

2、、向量組的線性組合定義如果兩個向量組可以互相表出,則稱等價。9例如, b =(2,-1,1), a1=(1,0,0), a2=(0,1,0), a3=(0,0,1), 因為 b = 2a1-a2+a3 , 或者說 b 可由a1,a2,a3 線性表示.即b 是 a1,a2,a3 的線性組合, 10稱為n維基本單位向量組。 11對線性方程組將系數(shù)矩陣A分裂成列向量則方程組改寫為12例1解13例2解14但表示法不唯一。 15二、向量組的線性相關性定義16包含零向量的向量組一定線性相關:單個向量線性相關當且僅當它為零向量:例3設有17定理證使則18定理(線性無關)的充分必要條件是齊次線性方程組有(無)

3、非零解,19例4解判斷下列向量組的線性相關性:線性相關.20解線性無關.注意(1) 寫為列向量, 拼成矩陣；(2) 只作行變換。21推論線性相關(線性無關)的充分必要條件是行列式n維基本單位向量組線性無關,22例5證23例6證必線性相關。用矩陣形式，24有非零解，比如25定理證26定理證再證表法唯一。設有兩種表示法，即表法唯一。27線性相關性的性質(1) 如果向量組有一個部分組線性相關，則該向量組線性相關。等價命題:如果一個向量組線性無關, 則其任一部分組線性無關.部分相關整體相關整體無關部分無關線性相關的向量組添加若干向量仍線性相關;線性無關的向量組去掉若干向量仍線性無關.28可以推廣到添多個分量的情形.等價命題:線性相關的向量組各去掉一個(或幾個)分量所得向量組仍線性相關。證29(3) 向量組的個數(shù)如果多于維數(shù), 則必線性相關。齊次線性方程組未知量個數(shù)多于方程個數(shù)，必有非零解，線性相關(線性無關)的充分必要條件是行列式30由上述推論知，證略

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