應(yīng)用數(shù)學(xué)第五章-三-角-函-數(shù)課件

1、應(yīng)用數(shù)學(xué) 主編:河南機(jī)電學(xué)?；A(chǔ)部第五章三 角 函 數(shù)第一節(jié)角的概念的推廣圖5-1一、角的概念的推廣手表的秒針(或時(shí)針、分針)繞表盤中心旋轉(zhuǎn)；用扳手?jǐn)Q緊或擰松螺母；像這樣秒針繞表盤中心 、扳手?jǐn)Q螺母都是從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置.一般地，平面內(nèi)一條射線繞它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置形成的圖形稱為角.如圖5-1所示.射線的端點(diǎn)O稱為角的頂點(diǎn),旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線位置OA稱為角的始邊；旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線位置OB稱為角的終邊.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方向不同規(guī)定：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角稱為正角；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角稱為負(fù)角.射線不作任何旋轉(zhuǎn),仍留在開始時(shí)的位置，這時(shí)形成的角叫做零角.記作0.第一節(jié)角的概念的

2、推廣角的概念包含兩部分：射線旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的數(shù)量.角可以用小寫希臘字母，來記.例如一條射線繞它的端點(diǎn)從初始位置按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)半周形成的角可記為=180，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)兩周形成的角可記為=-720.第一節(jié)角的概念的推廣為了統(tǒng)一研究所有的角,我們?cè)谄矫嫔辖⒁粋€(gè)直角坐標(biāo)系Oxy，把角的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn),使角的始邊與x軸的正半軸重合,當(dāng)角的終邊落在哪個(gè)象限的內(nèi)部，就說這個(gè)角是第幾象限的角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.如圖5-2所示.第一節(jié)角的概念的推廣第一節(jié)角的概念的推廣圖5-2終邊為OA的角是第一象限的角，終邊為OB的角是第二象限的角，終邊為OC的角是第三象限的角，終

3、邊為OD的角是第四象限的角.如果已知角的始邊再旋轉(zhuǎn)一周或若干周后回到角終邊的位置，就生成了與角有相同的終邊和相同的始邊的角，這些角構(gòu)成了一個(gè)角的集合，可以用下面的形式第一節(jié)角的概念的推廣由上式可知，所有和角的始邊和終邊相同的角,連同角在內(nèi),有無窮多個(gè),它們和角相差360的整數(shù)倍.因此,如果給定頂點(diǎn)、始邊和終邊，就確定了一個(gè)由無窮多個(gè)角組成的集合.第一節(jié)角的概念的推廣第一節(jié)角的概念的推廣第一節(jié)角的概念的推廣第一節(jié)角的概念的推廣二、角的度量(弧度制)同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過度量角的大小的方法：即把一個(gè)周角分成360等份，其中每一份叫做一度的角，這種用“度”作單位來度量角的方法叫做角度制除了角度制外，

4、我們?cè)趯W(xué)習(xí)中還經(jīng)常用到另一種度量角的方法：我們把長度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角的大小規(guī)定為1弧度，記作1rad或1弧度這種用“弧度”作單位來度量角的方法叫做弧度制如圖53所示，如果 那么AOB=1rad； 那么AOB=2rad； 那么AOB=1/2rad.圖5-3第一節(jié)角的概念的推廣第一節(jié)角的概念的推廣三、度與弧度的換算一般地，設(shè)圓的半徑為r，圓弧長為l，該圓弧所對(duì)的圓心角的大小為l/r弧度今后我們可把“弧度”省略不寫特別地，半徑為r的圓周所對(duì)的圓心角的大小等于又由于周角的大小等于360，由此得出角度制與弧度制的換算關(guān)系如下：下面是一些特殊角的度與弧度的換算關(guān)系，列表如下：第一節(jié)角的概念的推廣

5、四、弧長公式從弧度的定義得出，在半徑為r的圓中，長度為l的圓弧所對(duì)的圓心角的大小等于l/r弧度，即|=l/r.由此得出l=|r.第一節(jié)角的概念的推廣第二節(jié)三角函數(shù)的定義我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)過銳角的正弦、余弦、正切,現(xiàn)在可把它們推廣到任意角的情形,引出三角函數(shù)的概念.一、任意角的三角函數(shù)的概念設(shè)a是一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸正半軸上的任意角, a的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，) (非頂點(diǎn)).它與原點(diǎn)的距離是 如圖5-4所示.圖5-4第二節(jié)三角函數(shù)的定義則定義： (1)比值yr叫做角的正弦，記作sin,即(2)比值xr叫做角的余弦，記作cos，即(3)比值yx叫做角的正切，記作tan，即第二節(jié)三角函數(shù)

6、的定義(4)比值xy叫做角的余切，記作cot，即cot=x/y.(5)比值rx叫做角的正割，記作sec，即sec=r/x.(6)比值ry叫做角的余割，記作csc，即csc=r/y.第二節(jié)三角函數(shù)的定義根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于終邊不在坐標(biāo)軸上的角，上述六個(gè)比值都不會(huì)隨P點(diǎn)在角的終邊上位置的改變而改變.當(dāng)角的終邊在縱軸上時(shí)，即=k+/2(kZ)時(shí)，終邊上任意一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x都為0，所以tan、sec無意義；當(dāng)角的終邊在橫軸上時(shí)，即k(kZ)時(shí)，終邊上任意一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y都為0，所以cot、csc無意義，除此之外，對(duì)于確定的角，上面的六個(gè)比值都是唯一確定的實(shí)數(shù)，這就是說，正弦、余弦、正切、余切、正

7、割、余割都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).這些函數(shù)分別叫做角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)，以上六種函數(shù)，統(tǒng)稱為角的三角函數(shù).第二節(jié)三角函數(shù)的定義第二節(jié)三角函數(shù)的定義表5-1當(dāng)自變量角是用弧度表示時(shí)，六種三角函數(shù)的定義域列表如下(表5-1)：第二節(jié)三角函數(shù)的定義二、三角函數(shù)的符號(hào)由例1及練習(xí)可知，角的終邊上一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離r總是正的，而坐標(biāo)x,y的值有正負(fù)之分，因此，角的各三角函數(shù)值的符號(hào)取決于它終邊上P點(diǎn)的坐標(biāo)x與y的符號(hào)，根據(jù)三角函數(shù)的定義和各象限里點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)可確定三角函數(shù)值的符號(hào)，列表如下(表5-2)：第二節(jié)三角函數(shù)的定義第二節(jié)三角函數(shù)的

8、定義表5-2第二節(jié)三角函數(shù)的定義圖5-5為了便于記憶，我們把sin、cos、tan的正負(fù)號(hào)標(biāo)在各個(gè)象限內(nèi)，如圖5-5所示.第二節(jié)三角函數(shù)的定義表5-310.TIF三、特殊角的三角函數(shù)值由三角函數(shù)的定義可以得出特殊角0、/6、/4、/3、/2、3/2、2的正弦、余弦、正切，見表5-3：四、三角函數(shù)的基本關(guān)系式本節(jié)例1中，sin=-4/5,cos=-3/5，tan=4/3，試問：sin2+cos2等于多少？tan與sin、cos有什么關(guān)系？根據(jù)三角函數(shù)的定義，只要三角函數(shù)有意義，就可以得到以下基本關(guān)系式：利用公式可以由一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求出這個(gè)角的其他三角函數(shù)值，還可以證明一些有關(guān)三角函數(shù)的

9、恒等式等.第二節(jié)三角函數(shù)的定義第二節(jié)三角函數(shù)的定義第二節(jié)三角函數(shù)的定義第二節(jié)三角函數(shù)的定義第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式一、 +2k，(kZ)角的誘導(dǎo)公式設(shè)是任意一個(gè)角，由本章第一節(jié)可知角+2k(kZ)的終邊與角的終邊相同，因此從角的正弦、余弦、正切的定義得出二、負(fù)角的誘導(dǎo)公式以原點(diǎn)為圓心，以O(shè)xy坐標(biāo)系中一個(gè)單位長為半徑作一圓,稱為單位圓如圖56所示：圖5-6第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式圖5-7設(shè)角/4的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,角-/4的終邊與單位圓交于點(diǎn)Q,你能看出點(diǎn)P與點(diǎn)Q有什么關(guān)系嗎? 一般地，設(shè)角是任意一個(gè)角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，角-的終邊與單位圓交于點(diǎn)Q(x,y)，

10、如圖5-7所示.由于角與角-的旋轉(zhuǎn)方向相反，而旋轉(zhuǎn)的數(shù)量相同，因此角的終邊與角-的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,所以點(diǎn)P(x,y)和點(diǎn)Q(x,y)的坐標(biāo)有如下關(guān)系:橫坐標(biāo)相等,即x=x，縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等,符號(hào)相反,即y=-y,OP與OQ的長度r都等于1.第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義可以得到：sin(-)=y1=-y/1=-sin，cos(-)=x/1=x/1=cos，當(dāng)2+k(kZ)時(shí)，有tan(-)=y/x=-y/x=-tan.即第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式圖5-8三、+角的誘導(dǎo)公式如圖5-8所示，設(shè)角4的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,角+/4的終邊與單位圓交于點(diǎn)M,你能看出點(diǎn)P

11、與點(diǎn)M有什么關(guān)系嗎?第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式一般地, 設(shè)角是任意一個(gè)角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，角+的終邊與單位圓交于點(diǎn)M(x,y)，如圖5-9所示.顯然角+的終邊是角的終邊的反向延長線，因此點(diǎn)P與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)P(x,y)和點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)有如下關(guān)系:橫坐標(biāo)的絕對(duì)值相等, 符號(hào)相反，即x=-x;縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等,符號(hào)相反,即y=-y，OP與OM的長度r都等于1.圖5-9第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義可以得到：sin(+)=y/1=-y/1=-sin,cos(+)=x/1=-x/1=-cos，當(dāng)/2+k(kZ)時(shí)，有tan(+)=y/x=-y/-x=t

12、an.即第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式四、 -,2-角的誘導(dǎo)公式1. -角的誘導(dǎo)公式由公式(2)、(3)可得：sin(-)=sin+(-)=-sin(-)=sin，cos(-)=cos+(-)=-cos(-)=-cos，當(dāng)/2+k(kZ)時(shí)，有tan(-)=tan+(-)=tan(-)=-tan.即 (4)第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式2. 2-角的誘導(dǎo)公式由公式(1)、(2)可得：sin(2-)sin2+(-)sin(-)-sin cos(2-)cos2+(-)cos(-)cos 當(dāng)/2+k(kZ)時(shí)，有tan(2-)tan2+(-)tan(-)-tan 即第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式五、誘導(dǎo)公式小

13、結(jié)公式(1)(5)的主要作用之一是把任意角的正弦、余弦、正切轉(zhuǎn)化為銳角的正弦、余弦、正切，進(jìn)而去查正弦表、余弦表、正切表，計(jì)算出相應(yīng)的函數(shù)值，因此也稱它們?yōu)檎T導(dǎo)公式.有了計(jì)算器后，我們可以直接求出任意角的正弦、余弦、正切，不必使用誘導(dǎo)公式，但是對(duì)于一些特殊的角，我們?nèi)杂谜T導(dǎo)公式計(jì)算它們的正弦、余弦、正切.第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式第三節(jié)誘 導(dǎo) 公 式一、正弦函數(shù)的定義形如f(x)sin x的函數(shù)叫正弦函數(shù),由三角函數(shù)的定義可知xR.二、正弦函數(shù)的圖像因?yàn)閟in(x+2)sin x，xR；sin(x-2)sin x，xR.這表明，自變量x每增加(或減少)2，正弦

14、函數(shù)值不變.我們把2稱f(x)sin x的一個(gè)周期. 第四節(jié) 正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 一般地，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，有f(x+T)f(x)都成立，則就把函數(shù)yf(x)叫做周期函數(shù)，這個(gè)不為零的常數(shù)T，叫做這個(gè)函數(shù)的周期.容易看出，2T、-2T、3T、-3T也是f(x)的周期.如果在所有的正周期中，存在一個(gè)最小的數(shù)，則把它稱為f(x)的最小正周期.f(x)sin x的最小正周期是2.第四節(jié) 正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 所以，如果知道了x-，時(shí),sin x的變化情況,那么也就知道了x屬于其他長度為2的區(qū)間時(shí),sinx的變化情況.因此我們只要先畫出

15、f(x)sin x在區(qū)間-，上的一段圖像,然后就可以得出f(x)sin x的整個(gè)圖像.因?yàn)閟in(-)-sin，R， 所以f(x) sin x在(-，+)上是奇函數(shù).利用奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，我們只要先畫出f(x)sin x在0，上的一段圖像，就可以得出它在-，0上的一段圖像.第四節(jié) 正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 表5-4下面我們用描點(diǎn)法畫出f(x)sin x在區(qū)間0，上的一段圖像.列表5-4:第四節(jié) 正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 由表中的對(duì)應(yīng)值描點(diǎn)，再利用對(duì)稱性，即得正弦函數(shù)f(x)sin x， x-，的圖像(圖5-10).圖5-10第四節(jié) 正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 從圖5-10可以看出，決定圖像形狀的關(guān)鍵

16、點(diǎn)是(-，0)、(-/2，-1)、(0，0)、(/2，1)、(，0).這五個(gè)點(diǎn)作出后，正弦函數(shù)f(x)sin x，x-，的圖像就基本確定了.因此，在精確度要求不太高時(shí)，我們常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑曲線將它們連結(jié)起來，就得到函數(shù)的簡圖.今后，我們將經(jīng)常使用這種近似的“五點(diǎn)法”作圖.注意：作正弦函數(shù)f(x)sin x，x0，2的簡圖時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)應(yīng)為(0，0)、 、(，0)、 、(2，0).第四節(jié) 正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 因?yàn)榻K邊相同的角的三角函數(shù)值相等，所以正弦函數(shù)f(x)sin x在區(qū)間，x-5，-3，x-3，-，x，3，x3，5，的圖像與在x-，的圖像完全一樣.因此我們只要把f(x)

17、sin x在-，內(nèi)的圖像向左或向右平行移動(dòng)2、4、6就可以得到f(x)sin x，xR的圖像；正弦函數(shù)的圖像叫做正弦曲線.圖5-11畫出了f(x)sin x在-3，3上的一段圖像.第四節(jié) 正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 圖5-11第四節(jié) 正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 三、正弦函數(shù)的性質(zhì)1.定義域：xR.2.值域：f(x)-1，1.3.周期性：f(x)sin x的最小正周期是2.4.奇偶性：由公式sin(-x)-sin x可知，f(x)sin x是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.5.單調(diào)性：在-/2+2k，/2+2k上是增函數(shù)，在/2+2k，3/2+2k上是減函數(shù)，kZ；在x=/2+2k處達(dá)到最大值1，在x=-/2+2

18、k處達(dá)到最小值-1，kZ.第四節(jié) 正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 第四節(jié) 正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 第四節(jié) 正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 第四節(jié) 正弦函數(shù)的圖像及性質(zhì) 一、余弦函數(shù)的定義形如f(x)cos x的函數(shù)叫余弦函數(shù),由三角函數(shù)的定義可知xR.二、余弦函數(shù)的圖像因?yàn)閏os(x+2)cos x，xR，因此2是f(x)cos x的一個(gè)周期.所以，如果知道了x-，時(shí),cos x的變化情況,那么也就知道了x屬于其他長度為2的區(qū)間時(shí),cos x的變化情況.因此，我們只要先畫出f(x)cos x在區(qū)間-，上的一段圖像,然后就可以得出f(x)cos x的整個(gè)圖像.第五節(jié) 余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)第五節(jié) 余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)表5-5因?yàn)閏os(-)cos，R，所以f(x)cos x在(-，+)上是偶函數(shù).利用偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，我們只要先畫出f(x)cos x在0，上的一段圖像，就可以得出它在-，0上的一段圖像.下面我們用描點(diǎn)法(表5-5)畫出f(x)cos x在區(qū)間0，上的一段圖像.由表中的對(duì)應(yīng)值描點(diǎn)，可得余弦函數(shù)f(x)cos x，x-，的圖像，如圖5-12所示.圖5-12第五節(jié) 余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)因?yàn)榻K邊相同的角的